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文档简介

3.5 分部积分法教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。 重点：分部积分法及其应用 难点：分部积分法及其应用 教学过程： 一、问题的提出利用前面所介绍的积分方法可以解决许多积分的计算，但对于象、 等这样一些简单的积分却仍然无能为力，为了解决这个问题，我们可用两个函数乘积的微分法则推得求积分的另外一种方法分部积分法.二、 分部积分公式：定理 设函数及都具有连续的导数，则有分部积分公式：（或）证明 由公式得上式两端同时求不定积分即得 证毕由分部积分公式可知，如果等式右端中的积分较左端积分容易求出，则可借助该公式求出左端积分的结果，这种求积分的方法叫分部积分法三、 解题步骤：若某积分能表示为的形式，且使得积分较积分容易求出，那么可考虑用分部积分法计算，其一般解题步骤如下：将变成的形式，并确定函数及；根据公式将积分转化为；计算积分，从而求得原积分的结果.选取与的原则是：要容易求得，要比容易积出。当不定积分中的被积函数为反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数这五类函数的乘积时，一般取前者为，即按“反、对、幂、三、指”的顺序，将前者选项为，剩余部分选作，不难验证，这种选的方法符合上述选与的原则。四、 应用举例：例1求.解：设，那么，易得，代入分部积分公式得 而上式右端中的积分容易求出，所以.求这个积分时，如果设，那么，.于是上式右端的积分比原积分更不易求出.由此可见，应用分部积分法求积分时，恰当地选择及是一个关键.选择及一般要考虑下面两点： 要容易求得； 较积分容易求出.例2 求.解：设，那么，于是注： 由此题可以看出，同一个题中，有时须要反复多次运用分部积分法; 在运算比较熟练以后，写出及的过程可以省略.例3 求.解：.例4 求.解：.例5 求.解：.注：例4、例5可以看出，利用分部积分法求积分时，若被积函数为单一函数，则视被积式为而直接运用分部积分公式.例6 求.解：. .例7 求解：例8 求.解：取，那么（取，再次运用分部积分公式）由于上式右端的积分正是要求的积分（出现“循环”），此时可用解方程的方法，可求得.但要注意，由于上式右端不含有积分项，因此必须加上任意常数.例9 求，其中为正整数.解：用分部积分法，当时，有，于是，.以此作为递推公式，并由，即可求得.五、小结：利用分部积分法求积分时，恰当选择及是关键；当被积函数为反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数等五类函数（简称“反、对、幂、三、指”）中某两类函数的乘积时，往往采用分部积分法求积分，并且取位置靠左的函数作为函数；在求不定积分时，换元积分法与分部积分法往往会交替使用，因此在解题过程中千万不要拘泥于一种方法. 如例5
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