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数学概念教学,吴明华 E-mail:zjjxwmh,索引,数学概念 概念教学 案例分析,概念的地位,在数学中，作为一般的思维形式的判断与推理，以定理、法则、公式的方式表现出来，而数学概念则是构成它们的基础。,数学概念,数学概念 (mathematical concepts)是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。,概念的内涵与外延,概念的内涵 对象的“质”的特征。 概念的外延 对象的“量”的范围。,概念间的属种关系,属种关系，是指一个概念的部分外延与另一个概念的全部外延重合的关系。其中，外延大的概念叫属概念，或上位概念；外延小的概念叫种概念，或下位概念。,A,B,定义,数学概念一般以定义的形式来表达。 定义，就是用简洁明确的语言对事物的本质特征作概括说明。 用符号来表示，是表达数学概念的一种独特方式，它简约、明确，从而增强了科学性。,下定义,必须抓住被定义事物的基本属性和本质特征。 把被定义的概念放在一个大的概念中， 再加上对其本质特征进行描述的限制 。 基本格式：（种概念）是（种差）的（属概念）。 也常常倒过来，用短句表达。,数学教学,专业知识 两个要素,学科,职业,理解数学,理解教学,理解数学以数列为例,什么叫一定顺序？,理解教学以角的教学为例,续上,我们是怎么让学生学习角的概念的？ 角是数量还是图形？究竟什么叫做角？,概念教学的一般程序,一、创设教学情境，引入概念 数学史话、实际问题、知识经验、实验操作等等。 二、抓住本质属性，辨析概念 关键词语解释、数学语言翻译、相似概念对比、正反例子体验等等。 三、精心设计练习，巩固概念 顺用、逆用、变用等等。,概念教学的几个误区,1、以为背出定义就完事 记定义是学习概念的一部分，但学习概念更主要是获知对象的本质特征。 2、以为学生是“一张白纸” 或因常识，或因已学习，许多概念虽是重新学习但“原来已有”，教学不能熟视无睹。 3、以为性质教学不是概念教学 探究某个对象的性质，其实也是揭示该概念的内涵，而定义只是用“最少的、最本质的特征”来界定概念。,科学性与艺术性,教学是一门科学 科学有必然，科学讲规律。 教学是一门艺术 艺术有取向，艺术讲创造。 教学首先是科学，其次是艺术 把握本质，追求自然。,如何做概念教学设计,1、知道概念的本质 2、了解学生的认识 3、读懂教材的设计 4、确定合适的途径 5、设想有效的情境 6、选择恰当的素材 7、安排相关的活动 8、预设相应的对策,概念教学设计案例,函数 直线的倾斜角与斜率 概率 椭圆（教学案例）,谢谢大家！,您的意见是关爱！ 您的建议是帮助！,吴明华 E-mail:zjjxwmh,函数的概念,内涵 初中：对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值与之对应。 高中：从数集A到数集B的映射。 外延 一次函数、二次函数 指数函数、对数函数,等差数列,想一想：种概念？属概念？种差？ 试一试：用一个单句表示。,案例一：函数,函数实例1,函数实例2,函数实例3,函数的定义,函数概念的教学,教学的起点在哪里？ 教学的目标是什么？ 为什么要举这样三个实例？ 有哪些教学的关注点？ 后续还需要“螺旋上升”吗？,函数概念教学的若干问题,起点：初中函数概念 目标：高中函数概念 举例：概念内涵的“前体验”，三种类型 关注：初中理解不够；三要素分析引导；新概念解析。 上升：定义后的巩固；映射时的比较；具体函数中的丰富。,案例二：直线的倾斜角与斜率,倾斜角的定义,确定直线的几何要素,从倾斜角到斜率,斜率的定义,倾斜角与斜率概念的教学,教材的设计有哪些环节？ 每个环节的意图是什么？ 若用教材的设计上课，你有什么体会？ 若不用教材的设计，你是怎么上课的？ 倾斜角与斜率的教学难点是什么？,倾斜角与斜率概念教学的若干问题,教材：从两点确定直线讲起，探索确定直线的几何要素；研究过定点的直线，感受直线的倾斜程度；定义倾斜角，学习新概念；联系斜坡“坡度”，定义斜率。 体会：难于处理好，源于找理由。 观点：其实没必要这么复杂。,倾斜角与斜率概念教学设计,1、用经过一点的直线来体验直线的倾斜程度，感受直线的方向性。 2、定义倾斜角，体会倾斜角的意义。 3、问题探究：如何建立倾斜角与直线上点的坐标的联系？ 4、定义斜率，体会斜率的意义。,案例三：概率,掷硬币试验1,掷硬币试验2,掷硬币试验3-4,频数、频率,计算机模拟,历史上一些掷硬币的结果,从特殊到一般,概率的定义,概率概念的教学,学生已有的概率概念是什么？ 为什么选择这样的掷硬币试验？ 独立重复试验，随试验次数的增加： 频率稳定在某个常数？ 频率越来越接近于某个常数？ 频率趋向于某个常数？ 频率的极限是某个常数？ ,对概率的理解,概率的三种定义：古典定义（初中）、统计定义（高中）、公理化定义。 试验是随机的，很难得到那个“常数”。用掷硬币试验实际是对已知验证。 从某种意义讲，说 “接近”、“趋向”、“极限”都可以，而说“稳定”最贴切，关键是需要通过辨析体会其实际的含义。,概率概念教学设计1,一、从学生已有概念说起 师：在初中我们已经学习过一些简单事件（随机事件）的概率。你知道“掷一枚硬币，正面向上”的概率吗？ 生：0.5。（应该知道） 师：你是怎么得到的？ 学生的回答可能有两种：一是计算，二是试验。 师：好！现在让我们合作做一做重复掷硬币的试验。,概率概念教学设计2,二、试验及统计 师：介绍试验操作要求（参见教材）。 生：个人试验，相互交流，小组统计。 师生：组长汇报，教师借助Excel当场统计（分组统计、累加统计）。 师：假如时间允许，我们可以做更多次试验。（呈现史料）现在将我们刚才做的试验也“写入历史”，让我们加入伟人行列一起来看看（分组统计、累加统计）。,概率概念教学设计3,三、观察统计结果，辨析直观感受 师：从统计结果看，当试验次数增多时，“掷硬币，正面向上”的频率值有什么变化特征？ 生：观察思考，相互讨论。 师生：对话互动，辨析“稳定”、“接近”、“趋向”、“极限”等直观感受。（核心：从可能性来讲）,概率概念教学设计4,四、定义概率，顺应建构 师：事实上，我们已经知道“掷硬币，正面向上”的概率是0.5，以上的试验可以看成是一种验证，受此启发，我们获得了概率的另一种说法。（给出定义） 生：体会概念含义。 师：两个定义的本质是一致的，对象条件不同、计算方法不同。,椭圆（教学案例2011）1,师：谁能说出圆的定义？ 生：？ 师：怎么样？ 生：？ （后排有学生轻轻说：木棒绕一圈。教师没听见） 师：圆上一点到圆心的距离等于 生：半径！ 师：平面上，到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆。,椭圆（教学案例2011）2,师：下面让我们来做实验！ （课前，师生每人都准备了一条细绳） 师：将细绳两端重合并固定在纸上一定点，笔尖套在绳圈内，拉紧转一圈，观察画出的图形。 生：一个圆！,从开始到这里存在的问题： 1、初中圆是怎么定义的？ 2、操作确认的意义何在？,椭圆（教学案例201