数学及其思想的应用价值.ppt

第2章 数学及其思想的应用价值,韩龙淑制作 tysyhls数学及其思想的应用价值,教学目的：体味数学及其思想方法的应用价值；理解数学思想的六次重大突破，从认识论和思想方法的角度体味数学新学科和新思想产生的必要性。 内容要点：数学的应用价值；从算术到代数，从综合几何到几何代数化，从常量数学到变量数学，从必然数学到或然数学，从明晰数学到模糊数学，从手工证明到机器证明。 教学方法：启发式讲授、讨论等相结合 教学手段：多媒体教学 授课时数：6课时,数学的应用价值：数学的实际应用价值 数学的思维熏陶价值 数学对人类的思维训练所具有的价值是数学应用性的最大体现 思维的结果形成思想 2.1 数学的实际应用价值 数学的发展除了知识等量的积累外，更主要的是数学思想的重大突破新学科 2.2 数学思想的重大突破,2.1数学的实际应用价值,数学发展的抽象程度越来越高，是否和社会实践相脱离呢？恰恰相反，数学在历史上经久不衰地发展下去，其生命力恰恰在于实际的应用。2x+3y=10 目前数学已渗透到自然、社会、人文等许多领域。正如马克思所说：一门科学，只有当其成功地用到数学时才算达到完美的地步。,（一）数学在实际生活中的应用 例1：著名的“哥尼斯堡七桥问题” 哥尼斯堡是18世纪东普鲁士的一个城市，流经市区的普列格尔的河湾处，有两个小岛和七座桥，如图所示。人们提出了一个有趣的问题：能否在一次连续的散步中不重复的走过这七座桥？,例2：绳子自然打结问题（手不离开绳子的两端） ：数学中的扭结理论 例3：斐波那契数列 澳洲、新西兰动物园火灾，野兔繁殖速度惊人 一个人到集市上买了一对小兔子，一个月后，这对小兔子长成大兔子，然后这对大兔子每过一个月就可生1对小兔子。而每对小兔子也是一个月后长成大兔子，长成大兔子后每过一个月就可生1对小兔子，那么此人从市场上买回那对小兔子算起，第12个月时拥有多少对兔子(大兔子、小兔子)。,分析：对前几个月进行实验，观察规律，开始第1个月时1对，第2个月 1+1=2对，3月 3对， 4月 5对，5月 8对，6月 13对，因此 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 小兔子 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 大兔子 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144观察可知，每月小兔子对数等于上月大兔子对数，每月大兔子对数为上月大兔子对数与 小兔子对数之和。 为了纪念兔子繁殖的创始人，人们把数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377称为斐波那契数列。,有趣的是： 自然界中竟有一些现象与斐波那契数列有关。向日葵的种子盘。雏菊花，它的花心的蜗形小花，有21条向右转、34条向左转。据说松果球、菠萝凸起的排列也为58和813。 目前此数列在数学、物理、化学和生物学中经常出现，它又具有很奇特的数学性质，所以美国数学会每三个月出版一本专门讨论此类问题的杂志，称为斐波那契季刊。,花坛的种植问题 在一块正方形空地上种植花草，使花草面积为正方形面积的一半，如何种使花坛近尽可能美观？,数学在生活中的应用：密铺,（二）数学在生产技术中的应用 例：莫比乌斯带的运用（演示直观图和模型） 是一种拓扑学结构，它只有一个面（表面），和一个边界。,（二）数学在生产技术中的应用 数学在医疗中的应用 例：CT技术的应用 CT是一种医学影像诊断技术，其原理是用射线透射人体，然后用检测器测定透射后的放射量。通过计算机处理，重建出人体断层图像并作出诊断，这是数学的图像重建原理在医学上的成功运用。,（三）数学在语言中的应用 数学在语言学中的运用 例：红学界的争论 文学中红楼梦共120回，后40回出自谁手？对名词、动词、形容词、副词、介词等统计用词的相关量，认为出自曹雪芹之手。,例：作者是谁？让数学来说话！,1964年，美国统计学家摩斯泰勒和瑕莱斯考证了12篇署名“联邦主义者”的文章作者，可能的作者是两个人，一个是美国开国政治家汉密尔顿，另一位是美国第四任总统麦迪逊。 究竟是哪一位呢？统计学家在进行分析时发现汉密尔顿和麦迪逊在已有著作中的平均句长几乎完全相同。这使得这一能反映写作风格特征的数据此时失效了。,统计学家转而从用词习惯上来找出这两位作者的有区别性的风格特征，而且终于找到了两位作者在虚词的使用上有明显的不同。 汉密尔顿他已有的18篇文章中，有14篇使用了“enough”一词；而麦迪逊在他的14篇文章中根本未使用“enough”一词。 汉密尔顿喜欢用“while”，而麦迪逊总是用“whilst”。汉密尔顿喜欢用“upon”，而麦迪逊很少用。,然后，再把两位可能的作者的上述风格特征指标，与未知的12篇署名“联邦主义者”的文章中表现出来的相应的风格特征进行比较。 结果发现那位署名“联邦主义者”的作者就是美国第四任总统麦迪逊。,例：下列式子中的汉字表示不同的数目(0，1，29)，试找出汉字所代表的数字，使算式成立，年年岁岁=花相似，岁岁年年=人不同。 分析：从第一式观察，这两位数之积等于三位数，并且年、岁1，因而(年、岁)只有(2，3)，(2，4)，(3，2)，(4，2)四种可能。 第二次实验又可知岁岁年年，因此实验范围为(3，2)，(4，2)。若年=3，岁=2，3322=726,花=7，相=2，似=6，相=岁，不符合。若年=4，岁=2，则4422=968,花=9，相=6，似=8，2244=1 2=人 不同，人不同只能取0，1，3，5，7，不同为两位数，人为一位数，且不同为人的两倍，人不能为0，1，3，只有两种可能，人=5，不=1，同=0。（思维熏陶）,（四）数学在各学科中的应用 汉语言、音乐、历史、地理、思想政治、体育、英语、舞蹈、美术、计算机、经济学,2.2数学思想的六次重大突破,从算术到代数 从常量数学到变量数学 从综合几何到几何代数化 从必然数学到或然数学 从明晰数学到模糊数学 从手工证明到机器证明,一、从算术到代数 例：鸡兔同笼问题 鸡兔共有头18只，足60只，问鸡兔各有多少只？ 解1：假设18只全为兔，有72只足，多出12只足，多假设了6只兔，因此有兔12只，鸡6只。 解2：金鸡独立，兔后足站立，着地足数为30，足与头18差12，兔为12只。 解3：兔4足，鸡2足，不公平。鸡有2只翅膀。翅膀也算足共72。有12只翅膀，6只鸡,有两种思维方法： 算术方法：尝试，调整、穷举，列表 假设，推理。 代数方法：分析问题中的量，确定等量关 系，设未知数，列方程（不同方式），解方程。,问题：一支铅笔4元，一支钢笔7元，共有46元买10支笔，应如何购买？ 算术方法（一）尝试（猜测）调整 有的学生尝试： 买4支铅笔6支钢笔，共需要58元。调整：只有46元，不足，只能少买一些钢笔；买1支钢笔9支铅笔，可否？需43元。再调整：自己有46元，还可多买钢笔；买2支钢笔8支铅笔，恰为46元。 代数方法,算术方法：不允许未知数参与运算（未已不平等-类似种族歧视） 基本特征：算数（加减、乘、除） 基本特征：用“术”算（有规律地算） 基本特征：不同的算法不同的计算途径或程序 基本特征：解决一个一个的具体问题 通过“术”和“算”解决的问题是算术问题。 通过“术”和“算”体现逻辑思维演绎。,代数方法特征： 分析规律 表示规律 解决问题,代数方法：未知数参与代数运算（地位平等） 基本特征：用字母代替数 基本特征：用字母表示规律 量之间的相等关系、不等关系、函数关系 基本特征：通过字母的运算和运算规律 解决问题 基本特征：不同的算法不同的计算途径或程序 基本特征：一类一类地解决问题,代数方法 通过字母的运算和运算规律解决的问题是代数问题。 通过运算和运算规律体现逻辑思维演绎 算术方法与代数方法 共性： 通过“算”和“算律”解决问题 通过“算”和“算律”体现数学的逻辑思维 不同： 算术： “算数”代数：“算字母” 算术：解决具体问题代数：解决一类问题,算术方法解法多变，易培养学生的兴趣，比冷冰冰第设x列方程有人情味。过早在小学引入方程，有时易使学生思维简单化甚至僵化。 练习：小明第一天读了全书的1/4又4页，第二天读了余下的1/4又4页，还剩20页，这本书多少页？,一只船从甲地到乙地，往返共用2小时，回来时是顺水，比逆水每小时多行8千米，第二小时比第一小时多行6千米，甲乙相距多少千米？ 兄弟二人各有人民币若干元，哥比弟多50元，若哥把自己的 给弟，弟又把原来自己的 给哥，则弟比哥多10元，哥弟原来各有多少元？ 一辆汽车从甲地到乙地，若把车速提高到原速的1.2倍,可比原定时间提前1小时到达;若原速行驶120千米后,再将速度提高到原速的1.25倍,则可提前40分钟到达,甲乙两地相距多少千米？ 直观想象线段图、方形图,如何看待算术和代数方法? 必要的思维经历、思维方式、思维方法 想象、推理、空间感知的作用 公交车和地铁的不同感受。 代数解法有一定规律.,例：欧拉的分遗嘱问题 一位父亲临终时让他的几个孩子按如下方式分遗产：老大100克朗和剩下的1/10，老二200克朗和剩下钱的1/10，老三拿300克朗和剩下的1/10，老四拿400克朗和剩下的1/10，依次类推，分完后发现这种方法好极了，因为每个孩子分的钱相等，问有几个孩子？每个分多少钱？ 代数运算具有较大的普遍性。,代数的产生极大地拓宽了数学的应用范围。许多算术无能为力的问题在代数中轻而易举。 代数学的产生对整个数学发展产生了深远的影响，许多重大发现都与代数的思想方法有关。二次方程-虚数，五次方程-群论 代数应用于几何-解析几何。 文词代数简字代数符号代数,二、从综合几何到几何代数化 1.几何代数化思想产生的背景 综合几何的产生背景 几何、代数研究方法各自的优势和不足 几何：严谨的推理方法、图形直观、解题技巧（正方形的问题） 代数：符号抽象、解题方法一般化、有一定的规律 数学家韦达、法国哲学家笛卡尔（蜘蛛网） 法国数学家费尔马,解析几何的基本思想 2.几何代数化的意义 （1）把几何学推向新的阶段:定性定量、静态动态（垂直斜率） （2）为代数学的研究提供了新的工具 构造图形解不等式问题、三角函数值 直观模型和解释 例求15的三角函数值,（3）为微积分的创立准备了必要条件 变数的引入 曲线、轨迹、变量 变数引入数学为微积分的创立奠定了基础，解析几何的产生可看做是微积分创立的前奏。 恩格斯曾高度评价：数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数运动进入数学，辩证法进入数学，有了变数微分和积分立刻成为必要。,（4）为数学的机械化证明提供了重要启示 推理程序机械化 定理机械化证明的方法论基础是利用代数方法把推理程序机械化，借助计算机完成，根源可追溯到几何代数化。 （5）对数学研究从方法论上予以启示 点与数对对应、曲线与方程对应、形数结合的思想：微分几何、空间解几、向量的思想（直线与平面垂直的判定）,三、从常量数学到变量数学 1.变量数学产生的历史背景 16、17世纪社会、生产和自然科学向数学提出了一系列与运动变化有关的新问题（航海中的非匀速、切线、面积等） 刘徽的割圆术（割之弥细、失之弥少）一尺之锤，日取其半，万世不竭。 2.变量数学的形成及意义 经历两大步骤：解析几何的产生-直接前提 微积分的产生-变量数学的主要标志,英国数学家牛顿：运动学角度 1665年5月20日微积分的诞生之日 连续变化的量流量（fluent) 无限小的时间间隔瞬（moment） 流量在无限小的时间内的变化率流数 给定流量求流数导数 给定流数求流量积分 符号：、,德国数学家莱布尼兹：几何学角度 切线、面积问题 用ydy来代替求和， 表示一个总和，d表示差额。 在科学史上牛顿、莱布尼兹各自的拥护者们为微积分的最先发明权进行过一场不愉快的争论。 牛顿日记：和莱布尼兹通信中，求极值、切线等的方法，反过来没告诉莱布尼兹。莱说他也想到了一种方法，并告诉了他。,他的方法除了定义、符号、公式和产生数的想法不一样外，几乎没有多大差异。 莱布尼兹花费心思选择最好的符号，最大限度地减少人的思维劳动。他曾说过要发明就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用包含少量因素的符号来表达和比较忠实地描绘事物的本质，从而最大限度地减少人的思维劳动。莱布尼兹的微积分符号优于牛顿的流数术符号，简洁易懂便于使用。符号的自然性问题,英国数学袭用流数术符号，有一段时期落后于欧洲大陆。19世纪英国数学家巴伯奇等人成立了一个数学分析学会，反对点主义、拥护d主义，可见在英国使用符号d竟是一场奋斗的结果。,四、从必然数学到或然数学 1.或然数学的现实基础 必然数学：描述研究必然现象及其关系的数学，条件和结论之间存在必然联系。 或然数学：描述研究或然现象及其关系的数学，条件和结论之间无必然联系。 掷骰子、硬币、阴天和下雨之间 同类或然现象大量重复出现时呈现出的集体规律性统计规律性：或然现象的现实基础。,2.或然数学的产生和发展 概率论或然数学产生的标志 赌博中的学问：数学家卡当论赌博 研究或然现象的数量规律成为当时的重要研究课题。 保险事业的发展、射击、产品检验 蒲丰著：或然算术试验 蒲丰投针试验,约会问题 例：张三和李四相约晚上7-8时在码头会面，商定先到者等候15分钟，若仍然不见对方方可离去，假如二人抵达时间在7点到8点之间，问二人会面的可能性有多大 7/16,门与汽车问题 例：有三扇可供选择的门，其中一扇门后面是辆汽车，另两扇门后是空的。主持人首先让你任意挑选。在你选定后比如选的1号门，主持人将未选的两扇门中的一扇空门（比如是3号门）打开，然后问你，为了有更大的机会选中汽车，你是坚持原来的选择，还是愿意换另一扇门？（即弃1选2） 试验100次换40次，猜中24次；不换60次猜中23次。不换概率、换的概率,五、从明晰数学到模糊数学 1.模糊数学产生的背景 （1）数学适应现代科学技术需要的产物。 所有大于1的实数 所有比1大得多的实数、高、美丽、好、老 明晰数学：界限分明、范围确定 模糊数学：在量上无明晰的界限 对“模糊”数学方法研究的必要性,（2）电子计算机的发展为模糊数学的诞生准备了摇篮 电子计算机模拟人脑的思维来处理各种复杂问题。人脑的思维活动的高度灵活性源于人类的思维带有模糊的特色，逻辑和非逻辑思维同时其作用。认定长大胡子的人并不需要知道其有几根胡子。 非逻辑思维无法用明晰数学刻划，因此以二值逻辑为理论基础的计算机无法真实模拟人脑的思维活动，自然不具备人脑处理复杂问题的能力，出现了智能发展障碍。,看电视把图像和声音调得清楚一些，只要稍微调机关即可，若让计算机来完成和编程会遇到语言上的困难，“满意”、“清楚”是模糊概念，不能被普通的程序语言接纳，这样容易的事计算机却难以办到，对人工智能的发展无疑是一极大的障碍。 要你在某日上午到校门口去接一个“大胡子、高个子、长头发、戴宽边黑色眼镜的中年男人”，利用计算机需将年龄、身高、胡子、头发的准确长度和根数、眼镜的边宽厘米数、黑色的程度一一输入计算机才能找到此人。若此人中途头发掉了2根就找不到。,为把人的自然语言算法化并编入程序，让计算机能描述和处理具有模糊量的事物，就必须建立起一种能够描述和处理模糊数量及其关系的数学理论，这是模糊数学产生的另一背景。 计算机模拟人脑时，精确这个长处反而成了短处，具有一定的模糊性是需要的，从而让计算机吸取人脑识别与判决的优点，高效率地处理模糊系统。,模糊数学的创立者是美国加利福尼亚大学的扎德教授，为改进和提高计算机的的功能，他认真研究了传统数学的基础集合论，认为要从根本上解决计算机的发展和数学工具局限性的矛盾，就必须建立起新的集合论。 1965年他发表的模糊集合的论文标志着模糊数学的诞生。,2.模糊数学的思想方法 模糊数学是用数学方法研究和处理具有“模糊性现象”的数学。 扎德教授提出的描述模糊事物的新的数学方法，即是把隶属关系进一步数量化，推广了经典集合论的概念。 例“所有大于1的实数”，特征函数只取0，1两值。 而“所有比1大的多的实数”使元素与几何之间非0则1的绝对隶属关系变为可取0到1之间的任意实数的相对隶属关系。,模糊集合（Fuzzy sets）无明确的边界，只能说某个研究对象属于某个集合的程度，用隶属函数表示模糊集合。 隶属函数：集合X到0,1上的映射， 隶属度：任意x X,在该映射下对应的实数。 例：所有比1大得多的实数u(x)=0，x1 x1 例：“年轻”和“年老”是两模糊概念 隶属函数为,Y(x)= O(x)= 60岁的人属于年老集合的程度为0.8，还有0.2非老的因素。 80岁的人隶属于年老集合的程度为0.97. 35岁的人隶属于年轻集合的程度为0.2 u(x)=1或0表示x完全属于或完全不属于该集合。 普通集合可看作模糊集合的特例，模糊集合是普通集合的自然推广。,模糊数学作为新兴的数学学科，是在现代科技的迫切需要下应运而生的，其研究无论是基础理论还是实际应用都得到迅速发展。 目前在综合评判、规划、识别、决策、控制等理论方面迅速发展。 已应用到林业、生物、医学、食品工业、酒、成绩评定、人工智能等方面。,六、从手工证明到机器证明 1.机器证明的必要性和可能性 机器证明是20世纪50年代兴起的数学领域，也是现代人工智能发展的一个方向。定理的机器证明既是计算机和人工智能发展的产物，也是数学自身发展的需要。 （1）现代数学的发展迫切需要把数学研究者从繁难的逻辑推演中解放出来，以从事更富有创造性的劳动 命题证明需要技巧、灵感、洞察力、富有创造力的思维活动（歌德巴赫猜想）,（2）机器证明的必要性还表现在数学中存在大量传统的、单纯人脑支配、手工操作的研究方法难以揍效的问题。 冗长、工作量巨大 四色猜想的证明：对于平面或球面上的任何地图，用四种颜色就可使相邻的国家和地区分开，许多数学家做了尝试未能解决。直到1976年借助电子计算机才解决了这道百年难题。,（3）机器证明的可能性 认识论角度 创造性思维活动和非创造性思维活动 把创造性工作转化为非创造性工作后，就有可能把定理的证明交给计算机完成。 例阿达姆斯的幻六角形问题（断断