第三章 微分中值定理与导数的应用.doc

第三章 微分中值定理与导数的应用一、基本要求及重点、难点1基本要求 理解罗尔定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 熟练掌握用洛必塔法则求解各类不定式的极限。 熟练掌握用导数判别函数的单调性。理解函数极值的概念和性质，掌握极值的求法。理解函数极值和最值得关系。会求闭区间上连续函数的最大值和最小值，会求简单应用问题的最值。 会判别函数图形的凹凸及拐点。会求曲线的水平和垂直渐近线，会作函数的图形。2重点及难点 重点：拉格朗日中值定理, 洛必塔法则, 函数的单调性、极值。 难点：利用中值定理的证明题，函数图形的描绘。二、内容概述1 罗尔定理若函数满足以下条件：（1） 在闭区间上连续；（2） 在开区间内可导；（3） ；则在开区间内至少存在一点使得罗尔定理的几何意义：若连续曲线上的弧除端点外处处具有不垂直于X轴的切线，且在弧的两个端点处的纵坐标相等，则在弧上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于X轴。2 拉格朗日中值定理若函数满足以下条件：（1） 在闭区间上连续；（2） 在开区间内可导；则在开区间内至少存在一点使拉格朗日中值定理的几何意义：若连续曲线上的弧，除端点外处处具有不垂直于轴的切线，则在弧上至少有一点C，使曲线在C点的切线平行于弦。推论：如果函数在区间I上的导数恒为零，那么在区间I上是一个常数。3 柯西中值定理如果函数及满足：（1） 在闭区间连续；（2） 在开区间内可导；（3） 对任意；那么在内至少有一点使等式4泰勒中值定理如果函数在含有的某开区间内具有直到阶导数，则对有，其中 （在与之间）5洛必塔法则如果当（或时，函数和都趋于零或都趋于无穷大，则称极限为未定型极限，并分别记为“”或“”，洛必塔法则是求未定型极限的一种有效方法。（1） 未定型“”型的洛必塔法则。设函数与满足以下条件： 在点的某空心邻域内有定义，且； 在该邻域内存在，且； 存在（或为； 则（或为相应地有（或为（2） 未定型“”型的洛必塔法则设函数满足以下条件： 在点的某一邻域（点可除外）有定义，； 在该邻域内都存在，且； 存在（或为； 则（或为相应的有（或为6可化为“”和“”的其他五类不定式（1） 当而，称为型不定式（2） 当且， 称为型不定式（3） 当而， 称为型不定式（4） 当而， 称为型不定式（5） 当而， 称为0型不定式7.用函数的导数判定函数的单调增减性若当时，或则在内单调增加（或减少）且称为函数的单调增加区间（或减少区间）8.用函数的导数判定函数的极值（1） 设函数在邻域内连续。若或不存在，且时,；而时，；则在处有极小值，且 为极小值又时，；而时，；则在处有极大值，且为极大值（2） 在邻域内二阶可导，且，则在取极值其中当时，在处有极大值；当时，在处有极小值9.用函数的导数确定函数在闭区间上的最值已知函数及区间连续，且至多有有限个不可导点。则由函数在内导数为零及导数不存在点的函数值和端点的函数值一起比较，取其最大者和最小者为在内的最大值和最小值。10.用函数的二阶导数判定曲线的凹凸和拐点（1）若当时有，则曲线在内凸（2）若当时有，则曲线在内凹（3）若是曲线在内的连续点，且在的左右两边曲线的凹凸性相异，则为的拐点11.用极限确定曲线的渐近线（1） 已知在有定义，且在该邻域内或，若称曲线有水平渐近线 同样理解的渐近线。（2） 若，或，称为的铅直渐近线。12.作函数图形的步骤（1） 确定函数的定义域及奇偶性（2） 求一、二阶导数，确定或不存在，或不存在的点（3） 列表讨论曲线的升降区间，凹凸区间以及极值点，拐点（4） 确定曲线是否有水平渐近线，垂直渐近线（5） 若曲线和坐标轴相交，也可确定曲线与坐标轴交点的坐标（6） 画图时先确定极值点，拐点等点的位置和渐近线的位置，再将点和点间用升降，凹凸曲线合理连接起来三、典型例题分析例1在区间中，下列四个函数中满足罗尔定理条件的函数有（ ）个 分析：容易验证这四个函数都是 中连续的偶函数，故 。而 是这四个分段函数的分界点。故 是否存在成为检查是否满足罗尔定理的关健。解：（）不存在 （） （） 所以 不存在。 （）所以 所以 和二个函数满足罗尔定理条件。例2 求函数在区间0，1上满足拉格朗日中值定理的解：由拉格朗日中值定理 得： ， 例3求解： 原式在极限运算时，如果要使用罗必塔法则，需有三个层次的检查：(1) 它必须是或的不定式。(2) 要求存在或为，或仍为的不定式。(3) 还要求比简单。才有=否则不能用罗比塔法则。例如求，若使用罗比塔法则求不出极限。但=1例如求，若直接使用罗比塔法则，分子和分母求导后虽仍为型，但比原式复杂，但=例4求解：原式= 在该例运算中可意识到，在使用罗必塔法则求不定式极限的过程中合理地使用极限运算法则等求极限的方法，可使运算简单。例5已知存在，求解：原式 注意：本题不能用罗必塔法则。如果已知在处连续，则可用罗必塔法则求解。例6 函数在0，1上具有二阶导数且，又，则在（0，1）内至少存在一点， 使解：显然在0，1满足罗尔定理条件，使 而，显然在上满足罗尔定理条件。 ， 使例7 证明：当时，证：令 ， 则 在成立在是单升函数 当时，有，即当时，例8试问为何值时，函数在处具有极值，它是极大值还是极小值，并求极值。解：， 若为的极值，则必有 即 , 解得 又, 从而， 时，使取极大值，且极大值例9求的单调区间与极值解：显然在连续 ，令 得驻点： ，而在处不存在列表讨论如下：01 + 0 不存在 0 +单升极大值 单减不是极值单减极小值单升应指出，函数的连续不是函数取极值的必要条件，当需判别间断点的极值时要复杂。例10 容易验证是和的间断点。当时，和都单调下降；当时，和都单调上升。但是的极小值，不是的极值。例11求的凹凸区间和拐点解： ， 令 得列表讨论如下： 0 +的凹凸性 凸拐点 凹例12求曲线的拐点解：，令 时令不存在（0，1）凹凸凸凹凸凹由于函数的定义域：，又对应的：对应的点不可能是拐点。例13讨论方程：有几个实根。解：令： 当： 即：单升 当： 即：单减 又当： 是极大值故当： 时，只有一个实根 故当： 时，只有二个实根 故当： 时，没有实根 例14求 在 上的最值。解： ，令=0，得而，故最大值，最小值。例15 窗户的下部为矩形，配透明玻璃，上部为半圆形，其直径等于矩形的底，配彩色玻璃，已知窗户框架的周长为，彩色玻璃每单位面积透光亮度为透明玻璃的一半，求矩形的底与高取何值时，使窗户的透光亮度最强。解：设半圆形的直径为 ，矩形的高为，则半圆形的面积为,矩形面积为。由于窗户框架的周长为 令 得驻点 , 可见在驻点处达到极大值。由于驻点只有一个，极大值就是最大值。 即当 时，透光亮度最强。例16求数列的各项中取最大值得项解：设， 显然数列是该函数的自变量取自然数列时构成的数列令 ， 得当时 ， 当时， 为函数的极大值点，由于是唯一点，故也是最大值点而 故中的最大值必为和中的一个而是中的最大者例17证明若，则 并求， 证：函数，在，（满足拉格朗日中值定理条件，故在（0，1）内存在使 即， 由知 ，固而四、自测题A及解答一、选择题1 设函数 则方程有（ ）A 一个实根 B 二个实根 C 三个实根 D 无实根2在点有二阶导数且取极大值， 则（ ）A B C D 不一定3曲线（ ）A 没有拐点 B 有一个拐点 C 有两个拐点 D 有三个拐点4曲线（ ）A 仅有水平渐近线 B 仅有垂直渐近线C 既有水平渐近线又有垂直渐近线 D 既没有水平渐近线又没有垂直渐近线5下列极限运算中，能使用罗必塔法则的是（ ）A B C D 二、填空题1 2 设 则使拉格朗日公式成立的值是 3 设在点处可导且在点处取极小值，则曲线在点的切线方程为 4 在0，4中的最大值点 5 的单调上升区间为 三、 设曲线在某点处的切线方程为 求值四、求极限12345 五、 求的增减区间，极值点及图形的凹凸区间，拐点，渐近线六、应用题将一米长的铁丝截成两段，一段围成一个正方形，另一段围成一个圆形，问这两段铁丝各为多少长时，可使面积之和为最小七、证明题证明多项式在0，1上不可能有两个零点自测题A参考答案一、单项选择题 1 2 3 4 5 B D C C D二、填空题1 解：原式=0+1=1 2 解： 3 解：4 解：令 得 又， 显然是最大值，故最大值点 5解：令 得 ， 显然当时，有且是函数的连续点，单调上升区间为三、解：设切点为 则切线方程为 而， 且， 即 当时 ， 当时， 四、求极限1解：原式=2解：原式=3解：原式=4解：原式=5解：原式= =五、解： 连续 没有垂直渐近线 由于， 有水平渐近线 六、解：设围成圆的一段长米，围成正方形一段长为米，面积和为 故为极小值点且为唯一的故也是最小值点，当围成圆的一段长围成正方形，一段为时，可使面积和最小七、证：若在0，1上有两个零点不妨设 则由罗尔定理，使即 这与矛盾五、自测题B及解答一、 选择题1曲线的渐近线（ ）A 仅有水平的 B 水平与垂直的都有C 仅有垂直的 D 水平与垂直的都没有2函数在点处有极值，是的（ ）条件A 充分 B 必要 C 充要 D 非充分非必要3设在0，1连续，在（0，1）可导，且则（ ）正确A B C D 4函数在区间内（ ）A 单调增加 B 单调减少 C 不单调 D 不可导5函数（ ）在区间上满足罗尔定理条件A B C D 二、 填空题1 设则在上的最大值为 2是一个三次多项式，要使 则为 3极限 4曲线的凹区间为 5设曲线方程由极坐标形式给出： 则其弧微分 三、 求极限1234 （其中）5四、设 求五、设 求的值六、设在有定义，且对不等于成立。其中为某正常数，证明常数七、求的单调区间和极值，凹凸区间和拐点，并画出函数的图形。自测题B参考答案一、选择题答案： 1 2 3 4 5 D D C A C二、填空题1解：最大值2解：由泰勒公式知， ，而 3解：原式= 4解： ，显然 当时， ， 当时，凹区间为 5解： 三、求极限