第一章复数与复变函数.doc

复变函数教案20122013学年度 第二学期任课教师 郭 城 课程名称 复 变 函 数 采用教材 高教三版（钟玉泉编）周课时数 4 数统 学院 数学教育 专业 2010 年级1班引言数学从产生、有发展到现在，已成为分支众多的学科了，复变函数是其中一个非常重要的分支。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论，简称函数论。我们知道，在解实系数一元二次方程ax2+bx+x=O(ao1时，如果判别式b2-4 acO，就会遇到负数开平方的问题，最简单的一个例子是在解方程x2+1=0时，就会遇到开平方的问题。年，意大利数学物理学家（卡丹）在所著重要的艺术一书中列出将分成两部分，使其积为的问题，即求方程+=0的根，它求出形式的根为和，积为然而这只不过是一种纯形式的表示而已，当时，谁也说不上这样表示究竟有什么好处。为了使负数开平方有意义，也就是要使上述这类方程有解，我们需要再一次扩大数系，于是就引进了虚数，使实数域扩大到复数域。但最初，由于对复数的有关概念及性质了解不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，因而，长期以来，人们把复数看作不能接受的“虚数”。直到十七世纪和十八世纪，随着微积分的发明与发展，情况才逐渐有了改变。另外的原因，是这个时期复数有了几何的解释，并把它与平面向量对应起来解决实际问题的缘故。复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔一欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西一黎曼条件”。关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉(Euler)作出的。他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上，用符号“i”作为虚数的单位，也是他首创的。此后，复数才被人们广泛承认和使用。在复数域内考虑问题往往比较方便，例如，一元n次方程在复数域内恒有解。这就是著名的代数学基本定理，它用复变函数来解决是非常简洁的。又如，在实数域内负数的对数无意义，而在复数域内我们就可以定义负数的对数。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。在十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西(Cauchy)、德国数学家黎曼(Riemann)和维尔斯特拉斯(Weierstrass)的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并深刻地渗人到代数学、解析数论、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支；同时，它在热力学、流体力学、和电学等方面也有很多的应用。二十世纪以来，复变函数已经被广泛应用到理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也Et益密切。致使经典的复变函数理论，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题等有了新的发展和应用。并且，还开辟了一些新的分支，如复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、广义解析函数论以及拟保形变换等。另外，在种种抽象空间的理论中，复变函数还常常为我们提供新思想的模型。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中。现在。复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。第一章 复数与复变函数1教学目的复变函数的自变量和因变量都是复数，因此，复数和平面点集是研究复变函数的基础。复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因此有其新的含义与特点。本章主要介绍复数和复变函数的基本概念，通过本章教学，使学生明确复变函数要研究的对象是解析函数，其理论基础是建立在复数域和复平面上。2教学基本要求理解复数、区域、单连通区域、多连通区域、约当曲线、光滑（逐段光滑）曲线、无穷远点、扩充复平面等概念；理解复数的性质，掌握复数的运算，理解复数的模和辐角的性质；理解并掌握复变函数极限与连续性的概念与性质；进一步认识复数域的结构，并联系中学的复数教学。3教学重点和难点 重点是复变函数的概念、极限与连续性；难点是无穷远点及无穷远点邻域。4学法指导 以自习为主，通过讲授1节习题课来加强学生对该章主要概念的理解。5教学内容与课时分配章节课时1 复数2课时2 复平面上的点集2课时3 复变函数2课时4 复球面与无穷远点1课时习题课1课时教学内容1 复数 教学目的与要求：了解复数的概念及复数的模与辐角； 掌握复数的代数运算复数的乘积与商幂与根运算.重点：德摩弗公式.难点：德摩弗公式.课时：2学时.1 复数域形如或的数，称为复数，其中和均是实数，称为复数的实部和虚部，记为，称为虚单位两个复数，与相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即且虚部为零的复数可看作实数，即，特别地，因此，全体实数是全体复数的一部分实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数和称为互为共轭复数，记为或设复数，则复数四则运算规定：容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的复平面从上述复数的定义中可以看出，一个复数实际上是由一对有序实数唯一确定因此，如果我们把平面上的点与复数对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系由于轴上的点和轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称轴为实轴，称轴为虚轴，这样表示复数的平面称为复平面或平面引进复平面后，我们在“数”与“点”之间建立了一一对应关系，为了方便起见，今后我们就不再区分“数”和“点”及“数集”和“点集”3复数的模与幅角由图1.1中可以知道，复数与从原点到点所引的向量也构成一一对应关系（复数对应零向量）从而，我们能够借助于点的极坐标和来确定点，向量的长度称为复数的模，记为图1.1图1.1.显然，对于任意复数均有， 另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式 （三角形两边之和第三边，图1.2）图1.2 （三角形两边之差第三边，图1.3）图1.3与两式中等号成立的几何意义是：复数，分别与及所表示的三个向量共线且同向向量与实轴正向间的夹角满足称为复数的幅角，记为 由于任一非零复数均有无穷多个幅角，若以表示其中的一个特定值，并称满足条件 的一个值为的主角或的主幅角，则有 注意：当时，其模为零，幅角无意义从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数，即有 同时我们引进著名的欧拉公式： 则可化为 与式分别称为非零复数的三角形式和指数形式，由式几指数性质即可推得复数的乘除有 因此 ， 公式与说明：两个复数，的乘积（或商），其模等于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）特别当时可得 此即说明单位复数乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度另外，也可把公式中的换成（某个特定值），若为主值时，则公式两端允许相差的整数倍，即有 公式可推广到有限个复数的情况，特别地，当时，有当时，就得到熟知的德摩弗公式： 例求及用与表示的式子解：4.曲线的复数方程例连接及两点的线段的参数方程为过及两点的直线（图 ）的参数方程为例 平面上以原点为心，为半径的圆周的方程为平面上以为心，为半径的圆周的方程为例 平面上实轴的方程为，虚轴的方程为.作业:第42页 2,3,4 复平面上的点集教学目的与要求：平面点集的几个基本概念;掌握区域的概念;了解约当定理.重点：区域的概念,约当定理.难点：区域的概念.课时：2学时.1. 几个基本概念定义 满足不等式的所有点组成的平面点集（以下简称点集）称为点的，记为显然，即表示以为心，以为半径的圆的内部定义 设为平面上的一个点集，若平面上一点的任意邻域内巨有的无穷多个点，则称为的内点定义 若的每个聚点都属于，则称为闭集若的所有点均为内点，则称为开集定义 若，均有则称为有界集，否则称为无界集2. 区域与约当曲线定义 若非空点集满足下列两个条件： 为开集 中任意两点均可用全在中的折线连接起来，则称为区域.定义 若为区域的聚点且不是的内点，则称为的界点，的所有界点组成的点集称为的边界，记为，若，使得，则称为的外点定义 区域加上它的边界称为闭区域，记为有关区域的几个例子例 平面上以点为心，为半径的圆周内部（即圆形区域）：例 平面上以点为心，为半径的圆周及其内部（即圆形闭区域）例与例所表示的区域都以圆周为边界，且均为有界区域例 上半平面 下半平面 它们都以实轴为边界，且均为无界区域左半平面 右半平面 它们都以虚轴为边界，且均为无界区域例 图1.4所示的带形区域表为.其边界为与，亦为无界区域例 图 所示的圆环区域表为其边界为与，为有界区域定义 设及是两个关于实数在闭区间上的连续实数，则由方程 所确定的点集称为平面上的一条连续曲线，称为的参数方程，及分别称为的起点和终点，对任意满足及的与，若时有，则点称为的重点；无重点的连续曲线，称为简单曲线（约当曲线）；的简单曲线称为简单闭曲线若在上时，及存在节不全为零，则称为光滑（闭）曲线定义 由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线定义（约当定理） 任一简单闭曲线将平面唯一地分为、三个点集（图 1.5 ），它们具有如下性质： 图1.5彼此不交与一个为有界区域（称为的内部），另一个为无界区域（称为的外部）若简单折线的一个端点属于，另一个端点属于，则与必有交点对于简单闭曲线的方向，通常我们是这样来规定的：当观察这沿绕行一周时，的内部（或挖）始终在的左方，即“逆时针”（或“顺时针”）方向，称为的正方向（或负方向）定义设为复平面上的区域，若内任意一条简单闭曲线的内部全含于，则称为单连通区域，不是单连通的区域称为多连通区域例如，例所示的区域均为单连通区域，例所示的区域为多连通区域（请同学们针对定义自己作图思考）作业: 第42页 6.(1) (3) (5) , 7, 8,9 复变函数教学目的与要求：理解复变函数的概念;了解复变函数的极限与连续的概念.重点：复变函数的概念.难点：复变函数的几何表示.课时：2学时.1 复变函数概念定义 设为一复数集，若存在一个对应法则，使得内每一复数均有唯一（或两个以上）确定的复数与之对应，则称在上确定了一个单值（或多值）函数，称为函数的定义域，值的全体组成的集合称为函数的值域 例如，及 均为单值函数，及均为多值函数今后如无特别说明，所提到的函数均为单值函数设是定义在点集上的函数，若令，则、均随着、而确定，即、均为、的二元实函数，因此我们常把写成 若为指数形式，则又可表为 其中，均为、的二元实函数由和两式说明，我们可以把复变函数理解为复平面上的点集和复平面上的点集之间的一个对应关系（映射或变换），这是由于在复平面上我们不再区分“点”（点集）和“数”（数集）故今后我们也不再区分函数、映射和变换3. 复变函数的极限和连续性定义 设于点集上有定义，为的聚点，若存在一复数，使得，当时有 则称沿于有极限，记为定义的几何意义是：对于，存在相应的，使得当落入的去心时，相应的就落入的这就说明与的路径无关即不管在上从哪个方向趋于，只要落入的去心内，则相应的就落入的内，而在数学分析中，中只能在轴上沿着的左，右两个方向趋于，这正是复分析与数学分析不同的根源今后为了简便起见，在不致引起混淆的地方，均写成可以类似于数学分析中的极限性质，容易验证复变函数的极限具有以下性质：若极限存在，则极限是唯一的与都存在，则有 另外，对于复变函数的极限与其实部和虚部的极限的关系问题，我们有下述定理：定理 设函数于点集上有定义，为的聚点，则的充要条件及证明：因为从而由不等式可得 及 故由即可得必要性部分的证明由可得充分性部分的证明定义设于点集上有定义，为的聚点，且，若则称沿于连续根据定义，沿于连续就意味着：，当时，有与数分中的连续函数性质相似，复变函数的连续性有如下性质：若，沿集于点连续，则其和，差，积，商（在商的情形，要求分母不为零）沿点集于连续若函数沿集于连续，且，函数沿集于连续，则复合函数沿集于连续其次，我们还有定理 设函数于点集上有定义,则在点连续的充要条件为：,沿于点均连续.事实上,类似于定理的证明,只要把其中的换成,换成即可得到定理的证明.例 设 试证在原点无极限,从而在原点不连续.证明：