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2012线性代数线性代数期中考试试卷及答案详解期中考试试卷及答案详解 一、单项选择题一、单项选择题 (每小题 4 分，共 20 分) 1. 下列各式中，哪个是 5 阶行列式 det(aij)的项 ( B ) (A) (B) 5541342312 aaaaa 2451421533 aaaaa (C) (D) 4124335215 aaaaa 5433451122 aaaaa 解解 根据n阶行列式的定义，行列式的算式中，每一项都是不同行、不同 列的n 个数的乘积，并且带有符号：(1) 若行标排列是标准排列，则该项 的符号取决于列标排列的逆序数的奇偶性；(2) 若列标排列是标准排列， 则符号取决于行标排列的逆序数的奇偶性；(3) 若行标、列标排列都不是 标准排列，则符号取决于行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性 (或者，交换一般项中的元素，使行标成为标准排列，再根据列标排列的 逆序数判断). 题中每个选项都是5 阶行列式不同行、不同列的5 个数的乘积，因此， 需进一步判断各项是否带有正确的符号. 选项(A)错误。其行标排列是标准排列，列标排列的逆序数为t(23415) =3, 故，列标排列为奇排列，(或者，由于将列标排列23415 变成标准排 列12345需要进行奇数次对换，也可得23415 为奇排列)。所以选项(A) 缺少“-”. 选项(B)正确。其行标和列标排列都不是标准排列，方法一：行标排列 和列标排列的逆序数之和t(31452)+t(35214)=4+6=10，得符号为“+”；方 法二，交换相乘的元素，使行标成为标准排列，得a15a24a33a42a51，此时 列标排列54321为偶排列，故取“+”. 同理，选项(C)和(D)错误，都应带“-”. 2. 已知n阶行列式 D=1，将 D 逆时针旋转 90o，得行列式，则D 的值为 ( C )D (A) 1 (B) -1 (C) (-1)n(n-1)/2 (D) (-1)n/2 解解 将D 逆时针旋转90o，相当于对D 先作转置(这不会改变行列式的值)， 再作上下翻转即交换n(n-1)/2 次相邻行的位置，每次交换都改变行列式 的符号，因此，应选(C). 参见“行列式的性质”布置的思考题，或者教材习题一第7题的解答. 3. n 阶行列式 Dn=0 的必要条件是 ( D ) (A) 有一行(列)元素全为零 (B) 有两行(列)元素对应成比例 (C) 各列元素之和皆为零 (D) 以 Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解 解解 选项(A)(B)(C)都是Dn=0 的充分条件(但不是必要条件). 只有选项(D)为 充分必要条件. 4. 已知 A, B 均为 n 阶方阵，E 是 n 阶单位矩阵，则下列命题中正 确的是 ( D ) (A) 若 AB，则AB (B) 若(A-E)(B-E)=O，则 A=E 或 B=E (C) A2-B2=( A+B)( A-B) (D) A2-E=( A+E)( A-E) 解解 答案为(D). 选项(A)错误，反例：, 10 01 A 11 12 B 选项(B)错误。 “两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵”，例如 ，因此， (A-E)(B-E)=O A-E=O 或 B- 00 00 30 00 00 02 E=O，反例：, 10 02 A 22 01 B 选项(C)错误。因为(A+B)(A-B)=A2-AB+BA-B2，所以，当且仅当A, B 可交换时，才会有(A+B)(A-B)=A2-B2. 选项(D)正确。因为AE=EA=A，即A, E 可交换，所以，(A+E)(A-E) =A2-AE+EA-E2=A2-E. 5. 设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列命题中正确的是 ( A ) (A) (A2)-1=(A-1)2 (B) (kA)-1=kA-1 (k0) (C) (A+B)-1= A-1+B-1 (D) A-1BA=B 解解 选项(A)正确。根据方阵的幂的定义以及可逆矩阵的运算性质，有(A2)- 1=(AA)-1 = A-1A-1 =(A-1)2 选项(B)错误。应该是(kA)-1=k-1A-1 (k0) 选项(C)错误。A, B 均为 n 阶可逆矩阵时，A+B 不一定可逆；即使 A+B 可逆，(A+B)-1也不一定是 A-1+B-1。反例：, 10 01 A ，或者, 10 02 B 10 01 A 10 02 B 选项(D)错误。矩阵乘法一般不满足交换律，故A-1BA A-1AB = B。 二、填空题二、填空题 (每小题 4 分，共 20 分) 1. 行列式 = 2013！. 10000 00002013 00020120 00200 01000 解解 = 10000 00002013 00020120 00200 01000 1 0002013 0020120 0200 1000 !2013!2013) 1( 2 ) 12013(2013 注注：以上计算过程使用了分块法计算行列式的公式： (注意 A,B 必须是方阵)BA BO OA mm kk 以及副副对角行列式的计算公式 n nn n 21 2 ) 1( 2 1 ) 1( 2. 行列式= (-1)n-1(n-1) . 一 n 0111 1011 1101 1110 解解 一 n 0111 1011 1101 1110 0111 1011 1101 1111 ), 3 , 2( 1 nnnn ni rr i 0111 1011 1101 1111 ) 1( n 一一一一一一一一一 1 1 1 1111 ) 1( ), 3 , 2( 1 n ni rri = (-1)n-1(n-1) 注注：本题行列式的特点是：各行(列)元素之和都相等. 3. = 3 4321 4321 4321 4321 3 0001 0010 0100 1000 0000 1000 0100 0010 dddd cccc bbbb aaaa 0000 0000 0000 1134 dddd 解解 用左乘矩阵A，相当于将A 的各行向上移动一行，故 0000 1000 0100 0010 = 0000 1000 0100 0010 4321 4321 4321 4321 3 dddd cccc bbbb aaaa 0000 0000 0000 4321 dddd 另外，用右乘矩阵 A，相当于将 A 左右翻转，故 0001 0010 0100 1000 = 3 4321 4321 4321 4321 3 0001 0010 0100 1000 0000 1000 0100 0010 dddd cccc bbbb aaaa 0000 0000 0000 1134 dddd 注注：参见“矩阵的运算”所布置的思考题，或者第二章习题讲义“要 点和公式”中的 Part II“一些特殊矩阵的乘积”. 4. 已知，则 A -1 = 7 5 3 1 A 1 3/1 5/1 7/1 解解 利用副对角阵的求逆公式： 1 1 1 2 1 1 2 1 a a a a a a n n 5. 已知 A 是 4 阶可逆矩阵，且A=2，则A-1= 1/2 ，A*= 8 . 解解 利用可逆矩阵的性质“A-1=A-1”以及伴随矩阵的性质 “A*=An-1 ”，可得 A-1=2-1，A*=24-1=8. 注注：也可按如下方式求A*： 因为 AA*=AE，将A=2 代入，得AA*=2E，等号两边取行列式，有 AA*=2E，即2A*=24，于是A*=8. 三、计算题三、计算题（每小题 7 分，共 35 分） 1. 设 n 阶爪形行列式, 求 D 中所有元素的代 12 12 12 2222 D 数余子式之和. 解解 将 D 的第 1 行元素全部替换为 1，并按第 1 行展开，得 D 的 第 1 行元素的代数余子式之和为 12 12 12 1111 11211 n AAA 1 13 12 ) 1(21 ), 3 , 2( 1 n n ni rr i n23 将 D 的第 2 行元素全部替换为 1，并按第 2 行展开，得 D 的第 2 行元素的代数余子式之和为 (两行元素成比例)0 12 12 1111 2222 22221 n AAA 同理，D 的第 3, 4, n 行元素的代数余子式之和也都是 0. 于是，D 的所有元素的代数余子式之和为. nA n i n j ij 23 11 注注 1 如果改变行列式 D 的某一行(列)元素，行列式虽然变了，但该 行(列)元素的代数余子式不会改变。 注注 2 本题利用了行列式按行(列)展开法则： 或 (i=1,2,n) ij n k jkik DAa 1 ij n k kjki DAa 1 2. 问：只有零解时，k 必须满足什么条件？ 02 0 02 0 43 21 41 31 xx xkx xx kxx 解解 此方程组为齐次线性方程组，并且方程个数=未知量个数，根 据“方程组只有零解 系数行列式 D0”，有 ，即 k 1/4.014 2100 001 1002 001 k k k D 3. 设方阵， 100 100 100 1000 a a a A (1) 求A的值，并指出当 a 满足什么条件时，A 是可逆矩阵； (2) 当 A 可逆时，求 A-1. 解解 对矩阵 A 分块， 100 100 100 1000 a a a A DC BO一一 (1) 331 ) 1(a CBA 当且仅当 a0 时，A0，此时 A 为可逆矩阵. (2) 根据分块法求逆矩阵的公式， OB CDBC A 1 111 1 其中，1 1 B 1 1 1 1 a a a C 11 DBC 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a a a a 于是，A-1 0001 00 00 00 11 11 11 aa aa aa 注注 1 解答中使用了分块法计算行列式的公式(参见第一章习题讲义 “要点和公式”) BA *B AO km mm kk ) 1( 注注 2 本题要求熟记分块法求逆矩阵的公式. 虽然也可以用公式 A- 1=A-1A*，但计算过程繁琐，容易出错. 注注 3 另外，求出逆矩阵后，最好验算是否有 AA-1=E. 4. 设方阵，求 Ak (k 为正整数). 369 246 123 A 解解 . T A 一一 1 , 2 , 3 3 2 1 369 246 123 于是， )()( TTTk A TTT )()( TkT 1 )( 其中 10 3 2 1 1 , 2 , 3 T AA 11 1010 nTnn 369 246 123 10 1n 注注 当矩阵的任意两行(列)元素对应成比例时，该矩阵可分解为列 矩阵和行矩阵的乘积. 5. 已知 A,B 都是 2 阶方阵，且 A* BA = 2A* B + E，其中 ，A* 是 A 的伴随矩阵，E 为 2 阶单位矩阵，求矩阵 11 12 A B. 解解 对 A* BA = 2A* B + E 两端左乘 A，得 AA*BA=2AA*B+A 根据伴随矩阵的性质 AA* =AE，有 ABA=2AB+A 由于，于是1A BA=2B+A B(A-2E)= A 其中，由于，故 A-2E 可逆，其逆 11 10 2EA12 EA 矩阵(A-2E)-1=，于是 01 11 12 23 01 11 11 12 )2( 1 EAAB 注注 求二阶可逆矩阵的逆矩阵时，可以用“两调一除”公式. 四、证明题四、证明题（每小题 8 分，共 16 分） 1. 设 A 是 n 阶反对称矩阵，n 为奇数，证明：齐次线性方程组 Ax=O 有非零解. 证证 A 是 n 阶反对称矩阵 AT=-A. 对上式两边取行列式，有 AT =-A A =(-1)nA 由于 n 为奇数，故A = -A，即A=0. 因此，当 A 是奇数阶反对称矩阵时，齐次线性方程组 Ax=O 的 系数行列式等于 0，于是该方程组有非零解. 注注 A 是方阵，所以 Ax=O 是“方程个数=未知量个数”的齐次线性方 程组，于是，要证明 Ax=O 有非零解，就是证A=0. 2. 已知 A, B 均为 n 阶方阵，且 AB=A+B. (1) 证明：A-E 和 B-E 均可逆，且互为逆矩阵； (2) 证明：如果 A 可逆，则 A+B 也可逆. 证证 (1) AB=A+B AB-A-B+E=E (A -E)(B -E)=E A-E 和 B-E 均可逆，且互为逆矩阵 (定理：“若 A 和 B 均为 n 阶方阵，且 AB=E，则 BA=E.亦 即，A,B 均可逆，且互为逆矩阵”) (2) AB=A+B A(B-E) =B 已知 A 可逆，又由(1)知 B-E 可逆，所以 B= A(B-E)可逆 (定理：n 阶可逆矩阵的乘积仍是 n 阶可逆矩阵). A 和 B 可逆，所以 AB 可逆. 由于 A+B= AB，故 A+B 可逆. 也可按如下方式证明： A 可逆 A0，于是 AB=A+B (A-E)B =A A -E B=A0 B0 于是，A+B=AB=AB0 ，故 A+B 可逆 注：注：下列错误不得分：在第(1)题中使用了 A-1或 B-1；在第(2)小题中 认为两个可逆矩阵的加和也必然是可逆矩阵. 五、解答题五、解答题（9 分） 在某地，每年有比例为 30%的农村居民移居城镇，有比例为 10% 的城镇居民移居农村，假设该地总人口不变，且上述人口迁移的 规律也不变. 把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例分别 记为 an和 bn (an+bn=1). (1) 记，求关系式中的矩阵 A； n n n b a x 1 nn Axx (2) 已知(1)中的矩阵 A 满足关系式 AP=PB，其中， 13 11 P 求矩阵 B； (