黏性流体动量平衡方程——纳维-斯托克斯方程介绍.doc

黏性流体动量平衡方程黏性流体动量平衡方程纳维纳维-斯托克斯方斯托克斯方 程（程（Navier-Stokes equations） 1.动量平衡的定义 流体在流动过程中遵守能量守恒定律，称为能量平衡 根据牛顿第二定律： ，运动，动力平衡 ，静止，静力平衡 0F 0F d dvm maF 作用力的合力 = 单位时间内动量的变化量 作用力形式 动量形式 动量传入量 动量传出量 +系统作用力的总和 = 动量蓄积量 动量传入量 动量传出量 + 系统作用力的总和 = 0 稳定流动系统： 不稳定流动系统： 动量收支差量 动量收支差量 动量传递方式 1 黏性动量传输 黏性动量通量 dy dvx yx 2 对流动量传输 对流动量传输 vv 作用力的形式 体积力 表面力 压力 重力 作用力 动量平衡方程的推导 元体分析法 牛顿第二定律分析法 建立方法 建立依据 Y 在直角坐标系中由于有三个方向的分速度，所以共有九 个动量通量。 zzyzxz zyyyxy zxyxxx vvvvvv vvvvvv vvvvv v 以vx为准：动量通量 A xxv v B dx x )vv( vv xx xx 动量通量收支差量 xx xx x x )vv( d 对流动量收支差量 x方向的速度、x方向的动量通量 对流动量收支差量为 xx xx zyx x )vv( ddd 同理，以vx为准，y方向、z方向的对流动量收支差量： yx xy zyx y )vv( ddd zx xz zyx )vv( ddd z 以vx为准，元体对流动量收支差量为zyx )vv( y )vv( x )vv( xz xy xx ddd z 同理，以vy、vz为准，元体对流动量收支差量为 vx vy、vz 黏性动量收支差量 黏性动量通量同样由九个分量组成 C zx z z zx zxzx d CD z z zx d zyx z zx ddd zyx y yx ddd zyx x xx ddd zyx zyz zx yx xx ddd z v x zx y vx yx x vx xx 以vx为准，C、D面上的黏性动量通量为 黏性动量通量收支差量 黏性动量收支差量 同理，vx在y、x方向的黏性动量收支差量分别为 以vx为准，元体黏性动量收支差量为 同理，以vy、vz为准的黏性动量收支差量为x y、z 牛顿流体： 作用力的总和 x x P PPd AB x x Pd PP BA zx x P ddyd zxgxddyd zxgyddydzxgzddyd x方向：PA x方向合压力为 x方向的总压力为 同理，y、z方向的总压力为x y、z PA A B dx x P PA o x y z 重力 动量蓄积量 zx )v( z ddyd zx )v( x ddyd zx )v( y ddyd z方向 x方向 y方向 单位时间内元体动量的变化量 动量传入量 动量传出量 +系统作用力的总和 = 动量蓄积量 动量平衡方程式 将以上式子代入下式，整理得：N-S方程 简化： const ，连续性方 程 const，牛顿黏性定律 动量收支差 量 x xxxxxxx g x p z v y v x v z v v y v v x v v v )()( 2 2 2 2 2 2 zyx y yyyyyyy g x p z v y v x v z v v y v v x v v v )()( 2 2 2 2 2 2 zyx z zzzzzzz g x p z v y v x v z v v y v v x v v v )()( 2 2 2 2 2 2 zyx 黏性力引起压力 体积力 积累 动量收支差量 动量平衡方程的讨论 x 2 x 2 2 x 2 2 x 2 x z x y x x x g x P z v y v x v z v y v v x v v vv 对流动量动量蓄积量 黏性动量 压 力 重 力 （1）方程的物理意义：）方程的物理意义：运动的流体能量守恒的表现 作 作作 作作 作作 作作 作 作 作作 作作 作作 作 z z v y y v x x vv vddddd zyx v z v v y v v x vv v d d zyx v z v v y v v x vv a z x y x x xx x v z v v y v v x vv a 全微分全微分 ) z , y , x ,(vv x 2 x 2 2 x 2 2 x 2 g x P z v y v x v x a y 2 y 2 2 y 2 2 y 2 g P z v y v x v y ay z 2 z 2 2 z 2 2 z 2 g P z v y v x v z az 惯性力 黏性力 压力 重力 流体在运动中以作用力及动量形式表现能量平衡流体在运动中以作用力及动量形式表现能量平衡 关系是统一的关系是统一的 适用条件 黏性流体、不稳定流动、不可压缩流体(元体范围内) 、层流流动 理想流体： 0 没有黏性的流体 简化： 0v 稳定流动， 单位质量流体 0 时，N-S方程简化为欧拉方程 理想流体、稳定流动、不可压缩流 体(元体范围内) 适用条件 流动微分方程的应用求解步骤流动微分方程的应用求解步骤 (1) 根据问题特点对一般形式的运动方程进行根据问题特点对一般形式的运动方程进行简化简化，获得针对具体问题的，获得针对具体问题的微分方程或方程组微分方程或方程组。 (2) 提出相关的初始条件和边界条件。提出相关的初始条件和边界条件。 初始条件初始条件：非稳态问题：非稳态问题 边界条件边界条件 固壁流体边界：固壁流体边界： 流体具有粘性，在与壁面流体具有粘性，在与壁面 接触处流体速度为零接触处流体速度为零。 液体气体边界：液体气体边界： 对非高速流，气液界面上，对非高速流，气液界面上， 液相速度梯度为零。液相速度梯度为零。 液体液体边界：液体液体边界： 液液界面两侧的速度或切应力相等。液液界面两侧的速度或切应力相等。 圆管中的层流 两平行板间的层流 设无限大水平平行平板均固定不动，间距为 b。y 轴垂直板面， 不可压缩牛顿流体在 x 方向的恒定压强梯度（ 常数）作用下作充分发展层流， 可简化为 x y 平面上的流动。 N-S 方程的物理和几何意义及其应用方程的物理和几何意义及其应用 物理意义：运动的流体能量守恒的表现，即流体微团的动量变化率 等于作用在流体微团上的合力。 油的泄漏流量的计算：油的泄漏流量的计算： 如右图所示 求一下柱塞缝间的泄漏： 用 N-S 方程分析： 假设活塞是不动的，这是个定 常流动问题，所以 = 0 如不计质量力作用 根据 N-S 方程式得到-+v=0 1 2 2 速度仅仅是 y 的函数，压强仅仅是 x 的函数，所以= 2 2 1 积分的 u=dp/ dx*y2+c1y+c2 1 2 由边界条件 u/y=o=o, u/y=h=0 得到 C1= - C2=0 1 2 所以得到速度分布为：u=（h-y）*y 1 2 沿流向长度为 L 的距离上两端压