特殊分块矩阵的逆与秩——数学计算机科学学院 朱利文.doc

特殊分块矩阵的逆与秩朱利文，数学计算机科学学院摘要：矩阵的逆和秩是矩阵的一个重要不变量,在矩阵中起着基本的作用。不论在理论上还是在实践中，矩阵的逆和秩都是一种强有力的工具。深入掌握矩阵的逆和秩可以更好地将其应用到实践中。本文利用分块矩阵的特性，研究了几个特殊分块矩阵的逆和秩。关键词：矩阵的逆和秩是矩阵的一个重要不变量,在矩阵中起着基本的作用。不论在理论上还是在实践中，矩阵的逆和秩都是一种强有力的工具。深入掌握矩阵的逆和秩可以更好地将其应用到实践中。本文利用分块矩阵的特性，研究了几个特殊分块矩阵的逆和秩。Special Inverse and Rank of Block MatrixZhu Liwen, School of Mathematics and Computer ScienceAbstract: The inverse matrix and rank is an important invariant matrix. The inverse matrix and rank is an important invariant matrix Whether in theory or in practice, The inverse matrix and rank is a powerful tool. Deep knowledge of the inverse matrix and rank can be better applied to practice . In this paper, the characteristics of block matrix.On the research of some special block matrix inverse and rank.Key words: Partitioned matrix; Inverse matrix; Rank correlation引言分块矩阵是线性代数中一个很重要的工具，研究许多问题都要用到它。分块之后使矩阵之间或矩阵内部之间的关系变的更清楚。本文就分块矩阵在证明相关矩阵秩及求矩阵的逆两个方面做了一些研究。每个部分给了一些定理和例题，通过这些可以看出分块矩阵在处理问题上的简便性和灵活性。1.分块矩阵的概念 定义1.1矩阵分块是在处理级数较高的的矩阵时常用的方法。有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样。特别在运算中，把这些小矩阵当作数一样处理。就是所谓矩阵的分块。2.常用的分块方法2.1按行按列分块 设是矩阵，是矩阵。将按列分块写成则。还可以把按列分块写成，再把按行分块写成, 则2.2找零块例如可分块为 可表示为型2.3找相同块 例如 可分块为可表示为型.2.4找单位块 例如可分块为可表示为型（这里的表示阶单位阵,本文中的I都表示单位阵）.化为分块上（下）三角阵例如可分块为 可表示为型.2.5化为分块对角阵例如可分块为 可表示为型.在具体的运算中，我们要根据运算灵活地分块，上述方法只是比较常用，我们可以灵活地运用，宗旨是使运算变得更加简便此外，我们在矩阵加法和乘法的运算中，分块矩阵的维数必须加以限制，以使所定义的运算能够进行我们称任何满足上面这种限制的矩阵分块关于所讨论的运算是相容的对于加法，相容要求两个矩阵按同样的方式分块；而对于乘法，在矩阵与矩阵相乘时，对的一个分块方式，可以有几种分块方式与之相容，这时便要考虑哪种分块方式使运算更加简便例如： ？.解：我们可以把分块为 而这时若只考虑乘法的相容性，可以分块为，或但是我们可以看到第一种分法中有单位块，对于乘法运算显然更简便.例 ,=在计算时，把,都看成是由这些小矩阵组成的，即按2级矩阵来运算.于是其中，因此 3.分块矩阵与逆定义3.1 n阶方阵可逆，如果有n阶方阵，使，这里的是n阶单位阵 而我们将要研究的分块矩阵的求逆，只不过是先将矩阵分块，然后再求逆例如分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用首先我们从最简单的22分块矩阵开始研究,如何求22分块矩阵的逆,用初等变换的方法,这是一个很好解决的问题.而我们重点研究一下这种类型的分块矩阵可逆性的存在条件及其普遍适用的求逆公式.设,A为n阶矩阵,B与C分别为nm和mn矩阵,D为m阶矩阵.定理1.若A矩阵是可逆的,则M矩阵可逆当且仅当可逆.这时证明: 由 = 故存在. 由 即 由可逆,可知存在.=, 故 存在. 定理2.若D可逆,则M可逆可逆,这时证明方法同定理1,在此略去证明过程.在此,我们还可以得出推论:推论1:若B可逆,则M可逆可逆.推论2:若C可逆,则M可逆可逆.通过以上的讨论,我们只要知道某一块可逆,运用定理及其推论就可以判断出M是否可逆,如果可逆,我们就可以运用相应的求逆公式求出.我们在实际应用时,如果一个阶数较大的矩阵,找不到特殊的块(如零块,单位块,相同块等),或者不能化为特殊型(如分块对角阵,分块上(下)三角阵等),那么求它的逆运用分块的方法优势也就不明显了.而以上所研究的求逆条件和求逆公式的实用价值也就大打折扣.而我们在实际计算当中,最常遇到的便是矩阵中含有零块的情况,下面我们来研究一下22分块矩阵中含有零块时,它的可逆性存在条件及其可逆公式是什么形式的.1.分块矩阵中含有3个零块,即 、 、 、这种情况下,分块矩阵是不可逆的.以第一种情况为例若A可逆,而=0,是不可逆的, M= 不可逆(若A不可逆,那么M就更不可逆了).2. 分块矩阵中有两个零块. 分块矩阵的两个零块在同一行或同一列,即和,则这种分块矩阵不可逆. 由定理1可知,在中若存在, =0不可逆.M不可逆. 由推论1可知,在中若存在, =0不可逆.M不可逆.分块矩阵的两个零块不在同一行或同一列,即和, 由定理1可知,在中若存在, =D,只有当D可逆时,M才可逆.代入求逆公式得 ,反过来,若D可逆,也只有A可逆时,M才可逆. 同前面的一样.由推论1可知,在中若存在, =C,只有当C可逆时,M才可逆, 此时 .可以用下面的方法求出上面的,设=,则 =.3. 分块矩阵中只有一个零块 .分块矩阵的零块在主对角线上,即和.由定理1可知,在中若存在,只有 可逆,M才可逆而= 只有当 、同时存在时,M才可逆.若A不可逆,则令=,=,=,如果要使存在,那么,一定存在. 可用同样的方法讨论.总结: 这种类型的分块矩阵,无论A(D)是否可逆,只有B、C同时可逆时,M才可逆. 分块矩阵的零块不在主对角线上,即和对于,可以直接应用定理1判断是否可逆,然后直接代入求逆公式即只有当A 、D同时可逆时,M可逆.此时= 对于,同样应用定理2可得只有当AD同时可逆时,M可逆.此时, = .通过以上的讨论,我们不难发现,如果分块矩阵中含有零块,那么判断其可逆性存在条件以及求逆公式都会相应地简单很多.因此,我们在对阶数较大的矩阵分块时应注意零块.下面我们来看一些典型的应用分块矩阵法来求逆的例子,看看是如何分块,如何应用公式及推论的.例1：设，其中与均可逆则.上述结果可以利用公式直接求得.例2：设A,B均为阶可逆方阵.则级方阵可逆，求.证明:由A.B可逆,则A的行列式B的行列式不为0，故D可逆.设则有依据矩阵相等的定义有 故.用同样的方法，可得如下结论：设A.B均可逆，则1、设,;2、设,例8 设是一个四分块方阵,其中为r阶方阵, 为阶方阵,当与(-)都是可逆矩阵时,则是可逆矩阵,且,特别地，当=， =，B与C都可逆时，有；当A=0，D0时，B与C都可逆时，有.例9:设是一个四分块方阵,其中A为r阶方阵,D为k阶方阵,当与(-)都是可逆矩阵时,则Q是可逆矩阵,且，特别地，(1)当B=0,C=0,A与D都可逆，有；(2)当C=0,B0,A与D都可逆时，有;当B=0,C0,A与D都可逆时有.4.分块矩阵与秩定义4.1 在mn矩阵A中，任意决定k行和k列 (1kminm,n) 交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式. 例如，在阶梯形矩阵 中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 ,就是矩阵A的一个2阶子式. 定义4.2.的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 的秩，记作，或. 特别规定零矩阵的秩为零.显然min(m,n) 易得： 若A中至少有一个r阶子式不等于零,且在rmin(m,n)时,A中所有的r+1阶子式全为零,则A的秩为r. 由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n,通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A) 0;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det(A)=0. 由行列式的性质1(1.54)知,矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。 例1. 计算下面矩阵的秩， 而的所有的三阶子式，或有一行为零；或有两行成比例，因而所 有的三阶子式全为零，所以r(A)。定义2. 的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 的秩,记作r(A),或rank(A). 特别规定零矩阵的秩为零. 显然min(m,n) 易得： 若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在rmin(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r. 由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n,通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A) 0；不满秩矩阵就是奇异矩阵,det(A)=0. 由行列式的性质知,矩阵A的转置的秩与A的秩是一样的. 例1. 计算下面矩阵的秩，而的所有的三阶子式,或有一行为零；或有两行成比例,因而所 有的三阶子式全为零,所以r(A). 引理 1矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩;两个矩阵中又一个是可逆矩阵时，它们乘积的秩等于另一个因子的秩.引理 2 .引理 3 特别有事实上，我们有,再利用引理1.引理4 在一个分块矩阵中，若把每个块看成一个元素,则进行通常的初等变换扔不改变矩阵的秩.例如,对的第二行乘-1加到第一行便得,从而有= 定理 1 设矩阵，则证明：因为,于是引理2.1及4，得从而有推论 1. 设矩阵，则.证明：根据定理1，由 定理2 设，且,则.证明：由于,故有,于是由引理2.1及4得推论2 设是n阶方阵，且,则.证明：由,则,故有定理2，另一方面由定理1得从而有=n.例2 设且证明 .证明：法1设,则由可知为方程的解,设为方程的基础解系,由齐次线性方程解的性质可知,向量组可由向量组线性表示,固有上面结果,即.法2 设A为mn矩阵，B为nl矩阵，若AB=0,则r(A)+r(B)n.证明 因为r(A) + r(B) = =n,所以r(A)+r(B)n. 参考文献：1 王萼芳,石生明.高等代数M.北京:高等教育出版社,1987.2 樊恽,刘宏伟.线性代数与解析几何教程M.武汉:科学出版社,2008.3 丘森.高等代数M.武汉:武汉大学出版社,2012.4 宋光艾.高等代数J.北京:清华大学出版社,2012.5 陈光大.高等代数M. 武汉:华中科技大学出版社, 2006.6 陈建龙.线性代数J.北京：科学出版社，2007.7 田原,沈亦一.线性代数J.上海：华东理工大学出版社2007.致谢语： 首先感谢我的指导老师梁峰悉心、认真的指导.在我毕业论文的选题、写作、修改、完善过程中