年金终值和现值的计算.pdf

1 0 1 2 3 P=30000 S i=8% 【】 通过本节的学习，要求学生理解年金的概念，准确区分年金终值、现值与复利终值、现值，认真 领会二者之间数量关系；通过时间轴的计算示意图，能理解并掌握普通年金，即付年金的计算，并能 运用货币时间价值的相关知识解决一些实际问题。 【】 教学重点：掌握年金的计算方法。 教学难点：区分普通年金，即付年金，复利终值与现值的相同点与不同点，熟练掌握运用货币时 间价值解决实际问题的技巧。 【】 【】 新授 【】 2 课时 【】 年金概念之前，学生从未接触过，对此应引导学生充分理解，在学生熟练掌握复利终值与现值的 基础上，讲授本节课时只要运用学生已学过的等比数列求和公式，对复利终值与现值求和，即可得到 年金的终值与现值的计算公式，这样做不仅可以简化本节课的重难点部分，而且可以促进学生的思维 开发。 【】 请同学画出时间轴分析以下两个问题，说出异同点： 1.企业现在存入银行 30000 元，在年利率为 8%的情况下，3 年后的本利和？ 2.企业于每年年末存入银行 10000 元，连续 3 年，在年利率为 8%的情况下，3 年后的本利和？ 板书： 1. 已知P=30000，i=8%，n=3，求S。 S=P(1+i) 3 =30000(1+8%)3 =300001.2597=37791(元) 答：企业 3 年后的本利和为 37791 元。 2 0 1 2 3 P3=10000 P2=10000 P1=10000 S1 i=8% S2 S3 2. 已知P1 =P2 =P3=10000，n1 =0，n2 =1，n3 =2，i=8%，求S=S1 +S2 +S3。 S=P1 (1+i) 1 +P 2 (1+i) 2 + P 3 (1+i) 3 =10000 +10000(1+8%)1 +10000(1+8%)2 =10000+100001.08+100001.1664 =32464 (元) 答：企业每年末存入 10000 元，3 年后的本利和为 32464 元。 3.异同点：两小题均是运用复利终值公式进行运算，不同的是第一小题为一次性收付的款项，第 二小题同样是 30000 元，但它是分三年每年年末存入等额的款项。 分析： 对于“定期、连续、等额”收付的款项，就是我们今天要学习的年金，同学们已经观察到，运用 的仍然是我们上节课所学的知识，所以今天我们主要的任务就是巩固、熟练货币时间价值的计算，运 用这一观念更快、更多地解决实际问题，现在先一起熟悉一下年金这一概念。 （一）年金的概念与分类 1.概念：年金是指在一定期间内间隔相等的时间连续、等额收到或支付的款项 (、的系 列收支)。 根据年金的特征“定期、等额” ，同学们是否可以从所接触过的现象中，例举一些可归属于年金的 形式呢？ 学生回答： 分期付款赊销、赊购；每期相等的利息；学生保险金；直线法下的折旧；每期相同的销售成本、 销售收入、养老金、分期还贷、分期支付工程款、优先股股利等等。 2.分类 那么，在种种年金的表现形式中，有些货币收支发生在期初，如预付工程款；有些发生在期末， 如折旧；有些第一次货币收支发生在第二期或第三期以后，如某些投资回报；有些无限期发生，如优 先股股利。虽说这些均属于年金，但由于它们发生的收付方式有所不同，所以它们都有自己特有的名 称，在计算时通常用“A”表示年金。 板书： 3 0 1 2 3 S1 =100(1+10%)0 =1001 S2 =100(1+10%)1 =1001.1 S3 =100(1+10%)2 =1001.21 1003.310 0 1 2 3 n P=？ A A A A S=？ （各期期末的年金） A A A A 0 1 2 3 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 n （各期期初的年金） （若干期后发生的普通年金） 普通年金 (后付年金) 即付年金 (先付年金) 递延年金 永续年金：无限期定额收付的普通年金。 （二）普通年金终值与现值 1.普通年金终值 若企业每年存入 100 元，连续 3 年，利率为 10%，则 3 年后的本利和？ 同学们已经观察到，普通年金终值实际上为每期的复利终值之和，如果年金的期数很多，用这种方 法显然相当烦琐，那么，折算终值的各期复利终值系数是否有规律可循？ 学生回答： (1+10%) 0，(1+10%)1，(1+10%)2 是一个以年金为首项，(1+10%)为公比的等比数列。 启问： 若将每年支付的金额设为A，利率i，期数n，同学们是否可以运用等比数列和公式得出普通年金终 值计算的简便方法呢？ 板书演示： 数列：A(1+i) 0，A(1+i)1，A(1+i)2，A(1+i)n1 该数列an =A，q=(1+i)，则 S=A i)(1-1 i)(1-1 n =A i i)(1-1 n =A i 1i)(1 n 讲解： 普通年金终值计算公式：S=A i 1i)(1 n =A(S/A,i,n) 4 S=? 0 1 2 3 4 5 i=10% n=5 30 30 30 30 30 其中 i 1i)(1 n 或(S/A,i,n)称为年金终值系数， 它与复利终值系数一样， 可通过查阅系数表得到。 如上例中企业每年年末存入100元， 3年后的本利和=100(S/A,10%,3)=1003.31=331(元)， 其中3.31 如前述图示就是利率为 10%，期数为 3 时的年金终值系数。 【】 查表题，请查阅“年金终值系数表” ，填写下列空格。 (S/A,10%,5)=_(S/A,10%,7)=_(S/A,10%,9)=_ 规律：_ (S/A,10%,5)=_(S/A,12%,5)=_(S/A,14%,9)=_ 规律：_ 下列各项中，属于年金终值系数的是_ A.(1+i) n B. i 1i)(1 n C. i i)(1-1 n D.(S/A,i,n) 某公司有一投资项目，分 5 年投资，每年末投入 300000 元，试计算该利率为 10%，投资项目 5 年后的投资总额。 答案： (S/A,10%,5)=6.1051 (S/A,10%,7)=9.4872 (S/A,10%,9)=13.579 规律： 均大于 1，当利率不变时，系数值随期数的增加而增加。 (S/A,10%,5)=6.1051 (S/A,12%,5)=6.3528 (S/A,14%,9)=6.5101 规律： 均大于 1，当期数不变时，系数值随利率的增加而增加。 B,D 根据题意，已知A=300000，i=10%，n=5，求S=?。 S= A(S/A,i,n) = 300000(S/A,10%,5) = 3000006.1051 =1831530 (元) 答：5 年后总投额为 1831530 元。 5 S=10, 000 0 1 2 3 4 5 i=10% A？ A？ A？ A？ A？ S=10000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 i=？ 5 5 5 5 5 5 5 5 提示： （板书） 对于年金的计算实际上十分简单，其关键在于选定时间轴，通常做法是： 以第一笔现金流出(入)的时间为“现在”时间即“0”时点，不管它是几月几日，在此基础上， 一年以一个计息期。 对于原始投资，如果没有特殊指明，均假设是在每个“计息期初”支付。 对于未说明的货币收付，尽管是陆续发生的，若无特殊说明均假设在“计息期末”发生。 分析： 对于S=A(S/A,i,n)中有四个量，S，A，i，n，只有已知其中三个，就可以通过年金终值系数表求得 另一个，其中已知S，i，n，求A，可以称A为偿债基金。而(A/S,i,n)可称为偿债基金系数，可通过 查阅“年金终值系数表”求倒数确定。 拟在 5 年后还清 10000 元债务，从现在起每年等额存入银行一笔款项，假设年利率为 10%，每年 需要存入多少元？ 企业计划 8 年后还清 615000 元债务，从现在起每年等额存入银行 50000 元，试问银行存款利率 为多少时，企业能完成偿债目标？ 板书演示： . 根据题意，已知S=10000，i=10%，n=5，求A。 A=S 1i)(1 i n =S(A/S,i,n)=S n) i, (S/A, 1 = 10000 6) 10%, (S/A, 1 = 10000 6.105 1 =100000.1638 =1638(元) 答：每年应存入 1638 元，5 年后可得 10000 元，用来还清债务。 . 根据题意，已知A=50000，S=615000，n=8，求i。 S=A(S/A,i,n) 615000= 50000(S/A,i,8) 6 0 1 2 3 1000.90%=100(1+10%) 1 1000.8264=100(1+10%) 2 1002.4868 1000.7513=100(1+10%) 3 P1 P2 P3 (S/A,i,8)=12.3 查“年金终值系数表”可知：i=12%。因此，在利率 12%的情况下，企业每年存入 50000 元，5 年 后可偿还债务 615000 元。 2.普通年金现值 分析： 在运用货币时间价值解决实务问题时，除了使用终值概念，更多的是使用现值概念。 由于不同时间的货币时间价值不能直接加减计算，需要进行折算。通常情况下，要把不同时间的 货币价值折算到“现在”时间，然后进行运算或比较。 若每年存入 100 元，在利率 10%的情况下，3 年的付款现在等效值是多少？ （板书） 根据题意，已知S1 =100，n1 =1；S2 =100，n2 =2；S3=100，n3=3，i=10%，求P。 P=P1 +P2 +P3 =S1 (1+i) n1+S 2(1+i) n2+S 3 (1+i) n3 =100(1+10%) 1 +100(1+10%)2+100(1+10%)3 =1000.9091+1000.8264+1000.7513 =1002.4868 =248.68 (元) 因此，每年末存入 100 元，在利率为 10%的前提下，3 年年终付款的现在等效值为 248.68 元。 通过年金终值的公式推导，我们可以用相同的方法推导“年金现值公式” 。 已知：a1=A(1+i) -1 q=(1+i)-1 则该数列各项之和 P=A(1+i) -1 1 n i)(1-1 i)(1-1 化简后可得：P=A n 1- (1 i) i =A(P/A,i,n) 公式中 i i)(1-1 n 也可表示为(P/A,i,n)称为“年金现值系数” ，亦可通过“年金现值系数表”确 定。 【】 请同学们运用所学知识，解决以下几个小问题： 某人出国 3 年，请你代付房租，每年租金 1000 元，银行存款利率为 10%，他应当现在给你在银 7 0 1 2 3 P=？ 1000 1000 1000 i=10% 20, 000=P 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i=10% A？ A A A A A A A A A 0 1 2 3 4 P=？ 即付年金 A A A A 普通年金 A A A A S=？ 行存入多少钱？ 假设以 10%的利率借款 20000 元，投资于某个寿命为 10 年的项目，每年至少要收回多少现金才 是有利的？ 学生解答： （ 根据题意，已知A=1000，n =3，i=10%，求P。 P=A(P/A,i,n) =1000(P/A,10%,3) =10002.4869 =2486.9 (元) 因此，他应现在给你在银行存入 2486.9 元，以用于此后 3 年，每年未支付 1000 元房租之需。 根据题意，已知A=20000，i=10%，n=8，求A。 A=P/(P/A,i,n) =20000 n) 10%, (P/A, 1 =200000.1627 =3254(元) 因此，每年至少要收回现金 3254 元，才能还清贷款本利。 讲评： 我们由此可以看到，货币时间价值这一概念，在实务中的实用性很强，它能帮助我们解决许多生 活中常遇到的问题，但如果遇到“计算期初”发生的系列收付款项，我们又应如何处理呢？我们回头 来看看前述年金概念中，发生在各期期初的是什么年金？即付年金。 （三）即付年金终值与现值 启问： 请同学们仔细观察下图，能否找到普通年金与即付年金终值与现值之间的关系？ 8 P S S=160 万元 0 1 2 3 4 5 i=8% A? A A A A S=？ 0 1 2 3 4 5 12 12 12 12 12 i=8% 同期即付年金终值比同期普通年金终值多计算一期利息；同期即付年金现值比同期普通年金现值 也多折现一期，因此，即付年金。 S=A n (1 i)1 i (1+i)=A n 1 (1 i)1 i -1=A(S/A,i,n+1)-1 P=A n 1-(1i) i (1+i)=A (n-1) 1-(1 i) i +1=A(P/A,i,n-1)+1 归纳总结： （板书） 即付年金终值系数(S/A,i,n+1)1与普通年金终值系数相比，期数+1，系数1。 即付年金现值系数(P/A,i,n1)+1与普通年金终值系数相比，期数1，系数+1。 学生训练， 财务管理习题集 。 （ P13 实训题六；P14 实训题八、九；P15 实训题十一，P19 实训题二十。 实训六： 根据题意，已知S=160 万元，i=8%，n=5，求A。 A=S n) i, (S/A, 1 =160 5) 8%, (S/A, 1 =160 5.8666 1 =27.2730 (万元) 因此，该公司每年年末需存入 272730 元，可以满足第 6 年初偿还 160 万元债务的目标。 实训八： 根据题意，已知A=120000(年初)，i=8%，n=5，求S。 S=A(S/A,i,n+1)-1 9 0 1 2 3 4 P=？ 5 5 5 5 i=10% 0 1 2 3 4 20 P=？ 5 5 5 5 5 5 分期付款 0 1 2 3 P=？ i=10% 30 000 40 000 40 000 =120000(7.3359-1) =760308 (元) 因此，该公司在第 5 年年末能取出的本利和为 760308 元。 实训九： 根据题意，已知A=5(年初)，i=10%，n=4，求P。 P=A(P/A,i,n1)+1=50000(2.4869+1)=174345(元) 因而，该公司 4 年中所付款项的现值为 174345 元。 实训十一： 分期付款现值P=50000(P/A,6%,20)=5000011.4699=573495 (元) 因为分期付款的现值 573495 元大于一次所付房款 500000 元，所以应选择一次付款购房方式。 提示： 部分学生在择优的过程中，经常为如何确定用现值计算还是用终值计算而烦恼。通常情况下，在 财务估价中，采用的最常见的方法就是折现。 注意： 实训二十： 甲方案：现在立即支付，P甲 =100000 元 乙方案： 乙方