纳米孔真空绝热板一维稳定导热数学推导及其数值分析.pdf

第 1 7 卷第 3 期 2 0 0 8年 3月 中 国 矿 业 CHI NA M I NI NG M AGAZI NE Vo 1 1 7 。No 3 M a r ch 2 0 08 纳米孔真空绝热板一维稳定导热 数 学推导及其数值分析 林 庚 ，倪 文 ，于 昕 ，杨晓光 ( 1 北 京科技 大学金 属矿 山高效 开采 与安 全教 育部 重 点 实验 室，北 京 1 0 0 0 8 3 ； 2 北 京科技 大学 经济 管理 学院 ，北京 1 0 0 0 8 3 ) 摘 要 ：针对 纳米孔真空绝热板 的一 维稳定导热 问题进行 了数学 推导 建立了纳米 孔真空绝 热板 的 导热数学模 型 用数学模型对实验试件进行 了计算 。 关键 词 ： 纳米孔 真空绝热板 ；一维稳定导热 ；导热数学模型 ；计算 中图分类号 ：T F 0 6 5 1 6 文献标 识码 ：A 文章编号 ：1 0 0 4 -4 0 5 1 ( 2 0 0 8 )0 3 -0 0 8 5 -0 4 Na n o p o r o u s v a cu u m in s u la t io n p a ne l o n e dime n s io n a l s t a b le h e a t co nd u ct io n ma t h e ma t ic d e du c t io n a n d nu me r ica l a n a ly s i s LI N Ge n g ， NI W e n ， YU Xin 。，YANG Xia o g u a n g (1 St a t e Ke y La b or a t or y o f H igh Ef f icie nt M inin g a n d Sa f e t y of M e t a l Min es ， Civ il a n d E n v ir o n m e n t a l En g in e e r in g S ch o o l，Un iv e r s it y o f S cie n ce a n d Te ch n o l o g y B e i j in g，Be i j in g 1 0 0 0 8 3 ，Ch in a ；2 Eco n o mics a n d Ma n a g e me n t S ch o o l， Un i v e r s i t y o f S ci e n ce a n d Te ch n o l o g y Be i j in g，B e i j i n g 1 0 0 0 8 3 ，Ch i n a ) Ab s t r a ct ：M a t h e ma t ic de du ct io n o f t he pr oble m o f t h e n a no po r o us v a cuu m in s ula t io n pa ne l o ne - dime n s ion a l s t a ble he a t co nd uct ion，a nd s e t up t he he a t con duct io n M a t he ma t ic mod e 1 W e ca lcu la t e t he e xp er i me nt a l s a mple h e a t con duct io n da t a a ccor ding t he mat h e m a t ic mo de 1 Ke y wo r d s ：n a n o p o r o u s v a cu u m i n s u la t i o n p a n e l：o n e d ime n s i o n a l s t a b le h e a t co n d u ct i o n ；ma t h e ma t i c mod e l o f h e a t con duct io n，ca lcu la t ion 在稳定导热中，尤其要重视一维稳定导热( 即 温度场只是一个空 间坐标 的函数) ，这是 因为 ：第 一 ，有些实际问题在一定条件下 ，可简化成一维稳 定导热。第二，由于一维稳定导热中温度场只是一 个空间坐标的函数 ，使 问题 的数学处理得 以简化 ， 由原来的导热偏微分方程边值 问题 ，转化为常微分 方程的边值问题 。这样 ，分析求解 的可能性大大地 增加了。第三，由于一维稳定导热问题在数学上得 到了某些简化 ，就较为适合处理纳米孔真空绝热板 这样的一些较为复杂 的问题 。另外 ，一个导热问题 在一定 条 件 下简 化为 一维 稳定 导 热 问题后 ，使得 导 热现象中的一些主要特征变得更加突出 ，一些主要 规律体现的更加明显 。 收稿 日期 ：2 0 0 7 1 2 2 4 作者简介 ：林庚( 1 9 7 2 一) ，男 ，内蒙 古包 头人 ，高级工 程师 ，博 士研究生 ，从事无机非金属材料研究 。 1纳米 孔 真空绝 热 板一 直 角 坐标 系 纳 米孔 真空 绝热 板 ，当忽 略它们 沿 壁面方 向导 热的条件下 ，即可把这个平壁 问题 内的导热 问题 ， 认为是无限大平板问题 ，即一维稳定导热。在研究 无限大平板问题时，一般都采用直角坐标 ，坐标原 点可设在平板的一个边界 ( 左边界) ，坐标轴 3 7 垂 直于平板边界面，一维温度场在这里体现是 ，温度 只 是 3 7 的 函数 ，见 图 1 。 0 + 奴 图 1 用于推导纳米孔真 空绝热板 内导热方程 、 卜 蔷 出卜 冬 一 蔷 ， 维普资讯 8 6 中 国矿业 第1 7 卷 。 F面结 合 图 1推导 支配纳 米扎 真空绝 热板 内导 热现象的微分方程式。 处 温 度 沿 正 方 向 的 变 化 率 为 ： ( d T ) 处 流 向 正 方 向 的 导 热 热 流 为 ： - k d T ) +d z处温度沿正 方向的变化率为 ： ( d z ) I J 讪 +d z处 流 向 正方 向 的导热热 流为 ： 筹) 如 流入 d z范围的净热流为： ( 一 是 ) 一 ( 一 是 ) 出 将其中第二项用 T a y lo r 级数展开 ，表示成： ( 志 ) 一： ( 志 d T ) + ( 志 d T ) 出+ d 2 ( 志 d T ) + 忽 略 二 次 以 上 的高 阶项 ，得 处 由于 导 热 流 入单位长度上的净热流为： 一 ( 是 d T ) 若 处有某种热源 ( 汇)存在，热源强度为 q ( ) ( 单位长度单位时间产生的热量) ，则热力 学第一定律在一维稳定导热问题中，可表示为如下 形 式 ： q 一 一 ) ( 志 筹) + ( ) 一 0 ( 1 ) 式 ( 1 ) 的物 理 意 义 是 ，在 一 维 稳 定 导 热 情 况 下 ， 单位长度上，单位时间内产生的热量等于单位时间 内净流出这单位长度的热量 。或者说 ，在一维稳定 导热 的纳 米孔 真 空 绝 热 板 内 ，任 一 处 ，单 位 时 间 内加 在单位 长度 上 的总热量 ( 包括 热源产 生 的热 量与导热流入的热量)为零。 1 1 无内热源常物性纳米孑 L 真空绝热板 先讨论内热源 ( )为零 ，导热系数 志为常 数的纳米孑 L 真空绝热板导热问题。支配该绝热板温 度场的导热微分方程由式 ( 1 )简化可得 粤 一0 ( 2 ) d z 这个 二阶齐 次方程 的一 般解 为 ： I 一 C1 + C2 ( 3 ) 式( 3 )为一直线方程 ，说明无热源 、常物性纳米 孑 L 真空绝热板的内部温度沿温度厚度是线性分布。 式( 3 )中 C 与 C 这两个待定常数的纳米孑 L 真空 绝热板所处的边界条件来决定 。 ( 1 )给定 对流边 界条件 纳米孑 L 真 空绝 热 板 的 厚度 为 L=2 0 mm，两 则 处 于 对 流换 热 环 境 ，环 境 温 度 为常 数 T 、T 。 。 ， 对流换热 系数为 常数 h 、h ，求在上述边界条件 下纳米孑 L 真空绝热板内的温度分布。 此边界条件的数学表示为 ： 一 0 一 是d _ l h 1 ( T 一 T) ( 4 ) “ 7 C L 志d _ l = h 2 ( 2 T) ( 5 ) a Z 将式( 3 )代入式 ( 4 ) 、( 5 ) ，经整理后可得 k C1 一 h 1 C2一一 h 1 T 。 。 1 ( 6 ) ( 志+ h 2 L) C + h 。 C2一 h 2 T。 。 2 ( 7 ) 联立 求解 式 ( 6 ) 、( 7 ) ，可 得 C 、C 。 。若 令 ： 一 一 ， 则 群 _ (8 鲁+ 鲁+ 去 T 。 + ( 壶+ ) h h 一 Bi 1 2 。 忌 】 。& 2 。一 下 一 h 图 2 对流边界条件下纳米孔真空绝热板温度分布 若 Bi B 1 ，由式( 8 ) 、( 9 )可 知 ， 维普资讯 第 3期 林庚 等 ：纳米孔真空绝热板 一维稳定导热数学推导及其 数值分析 c 一 C2一T。 。 1 ( 1 O) ( 1 1 ) 式 ( 1 O ) 与式( 1 1 )表 明 ，表示 边 界条 件 的常 数 完全 取决 于 环境 温度 ，也 即在 B i B 1的情 况下 ，对流边界条件实际上转化 为给定纳米孔真空 绝 热板 边 界为 温度 的条 件 。将 式 ( 8 ) 、( 9 )代人 式 ( 1 O ) ，得 T 一 些z - F T 。 。 ( 1 2 ) 或 二 一 ( 1 3 T 。 。 2一 T。 。 1 L 式 ( 1 2 ) 、 ( 1 3 ) 得 知 ，在 给 定 边 界 温 度 条 件 下 ，纳米孔真空绝热板 内的温度分布与材料 的热物 性 无关 。 无热源纳米孔真空绝热板一维稳定导热情况下 的热 流 ，在 z方 向 上 处 处 相 同 ，即 流 向 z正 方 向 的热 流为 ： q一忌d T k C 一手 ( 1 4 ) Z 1 - l - L 十 十 当 T 。 。 T 。 。 时，式( 1 4 ) 的负号表明向 z正 方 向的热流是负的。式( 1 4 )是进行传热计算的常 用 公 式 ，它说 明在 已知 环 境 的温 度 T 。 。 、T z 两 侧 的对 流换 热系 数 h 、h 及 纳米 孔 真 空 绝 热 板 厚 度 L和导热系数 k的情况下 ，即可算得流过纳米孔真 空绝 热板得 热 流 。式 ( 1 4 )可写 成 ： 一 I _ F 息 L 一 + 丢( 1 5q ) 凡 1 凡 2 若 生 定义为纳米孔真空绝热板总的传 热热 阻 ，则 它 由 1 、 L 、 三 部 分 组 成 ，其 中 1 、 为 对流 换热 热 阻 ， 为导热 热 阻 。 凡 ， ( 2 )给定热流边界条件 已知纳米孔真空绝热板两侧边界上接受均匀的 热流 、q ，求厚 为 L一2 0 mm，导热系数 为 k 的纳 米孔 真空 绝热 板 内温 度分 布 。 该问题边界条件的数学表示 为： z 一 0 一 k d - T q ll 1 ( 1 6 ) z L k d _ T q l l2 ( 1 7 ) 无热 源 纳 米 孔 真 空 绝 热 板 在 稳 定 导 热 的 条 件 下 ，各处温度均不随时间变化 ，而且板 内不积累热 量 ，也不耗散热量 ，只是单方 向进行热量传递，这 样 ，在 z 一0与 zL处 的热 流应 该 是 相 同 的 ，即 q 1一一 q 2。 将纳 米孔 真 空绝 热板 内的温 度 分 布 为 ：T一 一 - x -F C z 只有 确定 常 数 C 2 后 ，纳米 孔 真 空 绝 热 板 内 的 温度分布才唯一地被确定下来 ，但根据边界条件式 ( 1 7 )是无法确定 C 值的 ，也就是说 ，有无穷多种 温度分布，它们都满足方程式 ( 2 ) ，也都满足边界 条件 式 ( 1 6 ) 、 ( 1 7 ) 。这 时给 定 热 流边 界 条 件下 求 解温度场问题所固有的特点 。在此情形下 ，为确定 唯一的温度分布 ，必须修改 问题 的边界条件。如 ， 纳米 孔 真空绝 热板 的一 侧是 热 流条件 ，另一侧 是对 流换 热条 件或 给定 温度 条件 。 1 2 无 内热 源变 物性 纳米 孔真 空绝 热板 1一1 一1 1 +T o ( 1 8 ) 息 0 由式( 1 8 )可知 ，导热系数随温度线性变化的 纳米孔真空绝热板 内，温度分布是一条抛物线 。随 a值 不 同抛物 线形 状不 同。a 一0时 ，温 度分 布是 一 条 直 线 ，a 时 ，温 度 分 布 为 凸 抛 物 线 ，a 0时 ， 为凹抛物线 ，图 3表示了这种分布规律。 O L 图 3变物性纳米孔真空绝热板 内温度分布 在变物性 的纳米孔真空绝热板 内，热流仍然是 连续 的，并且在板 内不同 z的位 置上，热流都相 同，由于 z 一0 处 T：T 。 。 ，相应地 忌 一忌 ，则热流 公式 写 成 ： q 一 ( ) 一一 击 ( 1 9 ) 令 一 ( 忌 - F 忌 ) ，代人式( 1 9 ) ，可得 q一 ( T。 。 一 Tm ) ( 2 o ) 式 ( 2 O )在形式上与常物性纳米孔真空绝热板 维普资讯 8 8 中 国 矿业 第1 7 卷 的传热 公式完 全一样 。 2 数值 分析 2 1 实验试 件数学 模型 数值计算 ( 1 )实 例分析 纳米孔 真空绝热板试 样 ，几何 尺寸为 2 5 0 x 2 5 0 2 0 mm，测试纳米孑 L S i O 气凝胶粉体真空绝 热板导热系数 k 一0 0 0 8 3 W ( m K)板 的一侧为 温度 T 。 。 一3 5 的热空气 ，与板表面进行 自然对流 热 交换 ，对流换 热 系数 h 一5 w ( m K) ，板 的 另一 侧为 温度 T 。 。 。 一1 0 的冷空 气 ，与板表 面进 行 自然对流热交换 ，求流过板的热流及板内的温度分 布 。 由式 ( 1 4 )即可求得通过纳米孑 L 真空绝热板 的 热 流 q 3 5 1 0 q一 丁 5 0 00 8 3 。 5 = 8 9 ( W m 0 2 4 0 2+ 1+ 2 一 由式 ( 3 )计算纳米孑 L 真空绝热板内温度分布。 为此 ，先求出式 ( i0 ) 、 ( 1 1 )所示的 c 、c 值 ， 其 中 & 一 一 1 2 05 = 一 一 1 2 05 由式( 1 0 )算得 c 一 蔫 一1 O 7 7 5 9 ( C Ira ) L 一 砭。 干 丽 一 一 川 川 由式 ( 1 1 )算得 c 一 一 3 3 2 8 ( C) 一 一一 将 c 、c。的值代入式 ( 3 ) ，得 T 一 一 1 0 7 7 5 9 x+ 3 3 2 8 z的单位为m。由z一0 0 2与 z 一0的 T值求 得 纳米 孑 L 真 空绝热 板 内的总温 差 T T T( 0 0 2 )一 T( 0 )一 2 1 5 5 ( ) 由上述结果可知，