图解微分法和图解积分法.doc

图解微分法和图解积分法一些在数学上有微积分关系的物理量，常可用图解微分法和图解积分法进行研究。例如已知机构的位移曲线后，可不必通过机构各个位置的速度图解和加速度图解，直接用图解微分法作出相应的速度曲线和加速度曲线。一 图解微分法现以由位移曲线求速度为例，进行说明。设有一位移曲线，如图1-1所示，纵坐标y代表位移s，所用的比例尺为，横坐标x代表时间t，所用的比例尺为。求位移曲线上某点的速度是，如能作出该点的切线t-t，则所作切线的斜率即该点的速度。由于切线不容易准确作出，在工程上常用邻近两点弦线的斜率来作为切线的斜率。在点左右做两条离开点有等距的纵坐标线与位移曲线相交于l及n点，由于弦线ln与中点的切线接近平行，所以点的速度可表示为 （1-1）图1-1一般x取得最小时，弦线的斜率就和中点切线的斜率越为接近，因而算出速度的精确度也较高。为了节省计算和作图的工作量，一般常取各个时间间隔的x相等，于是可将上式中的合成为一个常数K，从而只要依次量出各个时间间隔的y，就可算出相应各时间间隔中点的速度，即 （1-2）例如在图1-1中C、D点的速度分别等于K(mn）、K(pq)。速度算出后，再选择适当的速度比例尺进行换算，即可作出速度曲线。为了更简捷地作出速度曲线，可将式（1-1）改写成包含弦线与横坐标轴倾角的形式： (1-3)式中 (1-4)如图1-1所示，在速度曲线的横坐标轴上，由原点O向左取一定长度H，得p点，作射线pc/ln,于是线段Oc=Htan，这样C点的速度可直接用线段Oc表示，但此时所作速度比例尺并非任取，而是由式（1-4）导出。图1-2所示为上述图解微分法在作机构速度线图中的应用。由位移曲线作速度曲线的步骤如下：图1-21）将曲线的横坐标分成若干等分（图中为十二等分），过这些等分点作纵坐标线与曲线相交的点1、2、3、；2）过点0、1、2、3、作弦线01、12、23、；3）在速度曲线的横坐标轴上，自原点O向左选取一段等于Hmm的合适距离，得p点；4）过p点引平行于各弦线01、12、23、的射线，它们与纵坐标轴相交于1、2、3、等点；5）将所得1、2、3、各点分别投影到相应的纵坐标线上，得到一系列长方形（图中用阴影线表示）；6）过坐标原点O及各长方形顶边中点a、b、c、等连成圆滑曲线，即得所求的速度曲线。二图解积分法 图解积分法是用作图方法求出待积曲线下一个个区间的面积，它也是图解微分的逆过程。仍以图1-2为例，由速度曲线求位移曲线。将曲线的横坐标分成若干等分，并在曲线上定出各等分的中点a、b、c、，把这些中点投影到纵坐标轴上，得1、2、3、等点。由横坐标轴上距原点O为定长H的p点连直线p1、p2、p3、。接着在位移图上，自原点O 开始，按01、12、23、等区间，依次作与射线p1、p2、p3、分别平行的线段01、12、23、等。将所得0、1、2、3、各点连成圆滑曲线，即为所求的位移曲线。这样作图的位移比例尺可由式（1-4）算出，即 (1-5)图解微分和图解积分，虽然做法简单，但是由于作图误差，不够精确。下列两个数学关系值得在作图时遵守：1