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1,概率论与数理统计,袁荫棠 编 中国人民大学出版社,2,教师：毛 瑞 华 电话: 85292175 邮箱:maoruihua q q: 459519390 qq群: 45054515 参考资料: 概率论与数理统计学习与考试指导 殷秀清 袁荫棠 编 中国人民大学出版社,3,1.1 随机事件,随机现象 事物变化结果在事前不可预言,即使在相同条件下做重复试验，所得结果也未必相同。 例如反复投掷一牧均匀硬币，有如下结果：,随机试验: 对随机现象观察的过程,简称试验, 常用e表示. e1: 掷一枚均匀的硬币，观察哪一面向上; e2: 掷一颗骰子，观察出现的点数。 概率论与数理统计: 研究随机现象规律的学科。,4,随机试验的特点,1. 在相同条件下试验可以重复进行； 2. 每次试验的可能结果不只一个，在试验之前可以明确试验后会出现的全部可能结果； 3. 每次试验之前，不能事先知道该次试验会出现哪一个具体的结果。,5,随机事件随机试验的结果,简称事件, 常用大写字母a, b, c 表示. 随机事件基本事件与复合事件 基本事件: 试验的每个直接可能发生的结果,常用表示. 复合事件: 一个试验包含了多个基本事件的结果,可用一个集合表示,该集合由它包含的基本事件组成. 如：投掷一牧骰子 ，则,一、随机事件的概念和表示,a =出现点数为奇数,=1, 3, 5,=1,3,5;,b =出现点数为偶数,=2, 4, 6,=2,4,6;,6,必然事件在一定条件下, 每次试验一定发生的事件,常用 表示； 不可能事件在一定条件下, 每次试验都不可能发生的事, 常用 表示。 样本空间：随机试验 e 的所有基本事件所组成的集合, 也用 表示； 样本点：样本空间 中的元素, 用 表示。 说明： 任一事件总可表示为样本空间的子集，即由某些样本点组成。,7,二、事件间的关系及运算,1. 事件的包含 若事件a发生必然导致事件b发生, 称事件b包含事件a。 记为a b,或 ba ； 显然 a 。,2. 事件的相等,若ab且ba, 称事件a与b相等, 记为a=b。,8,“事件a与b至少有一个发生”是一个事件, 称为事件a与事件b的和(并), 记作 a +b 或a b.,3、事件的并(和),n个事件a1,a2,an中至少有一个发生是一个事件, 称为a1,a2,an的和,记为 a1+a2+an 或a1a2an 可列个事件a1,a2,an,的和表示事件a1, a2,an,至少有一个发生, 记为,或,9,“事件a与事件b同时发生”,即“a且b”是一个事件, 称为事件a与事件b的积(交)。 由同时属于a和b的所有样本点构成的集合, 记作ab或ab。 n个事件a1,a2,an同时发生是一个事件, 称为a1,a2,an的交,记为 a1a2an 或a1a2an。 可列个事件a1, a2, , an,的交表示事件a1, a2,an,同时发生, 记为,4、事件的积(交),10,“事件a发生而事件b不生”是一个事件, 称为事件a与事件b之差。 由属于a但不属于b的所有样本点构成的集合, 记为a-b。,5、事件的差,6. 互不相容事件 若事件a与事件b不能同时发生, 即ab=, 则称事件a与事件b互不相容(或互斥). 互斥事件a与事件b没有公共的样本点。 基本事件间是互斥事件的。,11,称事件“非a”为a的对立事件(或逆事件),由样本空间中不属于a的样本点组成的集合,记作,显然,7、对立事件,12,8. 完备事件组,若事件组a1,a2,an为两两互不相容的事件, 并且a1+a2+an= , 称事件组a1,a2,an构成一个完备事件组。,9. 事件的运算律,(1) 交换律: ab=ba; (2) 结合律:(ab)c=a(bc); (3) 分配律:(ab)c=(ab)(bc); (ab)c=ac)(bc); (4) 对偶律:,13,例1 投掷一牧骰子, 观察出现的点数： 事件a=奇数点； 事件b=数点小于5 ； 事件c=小于5 的偶数点； 用集合的列举法表示下列事件：, a,b,c, a+b, a-b, b-a, ab, ac,解:, =1,2,3,4,5,6;,a=1,3,5,b=1,2,3,4,c=2,4;,a+b=1,2,3,4,5,a-b=5,ab=1,3,ac= ,c-a=2,4;,14,例2 对一批产品进行不放回的抽样检查, 每次取一件, 连续抽取3次, ai(i=1,2,3) 表示第 i 次抽到合格品. 试用a1、a2、a3 表示下列事件:,(1) a=第一次和第三次均抽到合格品,aa1a3,(2) b=只有第一次抽到合格品,(3) c=只有一次抽到合格品,(4) d=至少有一次抽到合格品,(5) e=至多有一次抽到合格品,15,例3 某射手连续向某个目标射击3次,事件ai, i=1,2, 3表示该射手第i次射击时击中目标, 试用文字叙述下列事件:,a1+a2:,前两次射击中至少有一次击中目标;,第二次射击没有击中目标；,a1+a2+a3:,三次射击中至少有一次击中目标；,a1a2a3:,三次射击中都击中目标;,前两次射击均未击中目标;,前两次射击中至少有一次未击中目标;,a1a2+a2a3+a1a3:,三次射击中至少有两次击中目标;,三次射击中只有两次击中目标;,第三次射击中但第二次未击中目标.,16,若用a1, a2, a3分别表示甲、乙、丙工厂生产的灯泡,b表示“买到合格品”,则事件b可表示为:,b=a1b+a2b+a3b.,例4 市场上供应的灯泡是由甲、乙、丙三个工厂生产的。现在任意购买一只灯泡。,a1,a3,a2,b,即事件b可以分割为三个互斥事件 a1b, a2b, a3b, 其中事件组a1,a2,a3称为完备事件组。,17,1. 2 概率的定义及性质,1.2.1 概率的统计定义 在n次试验中, 事件a发生了m 次, 则比例 m/n 称为事件a发生的频率。 定义1 在相同条件下重复进行n次试验,事件a发生的次数为rn(a), 则称fn(a)=rn(a)/n为事件a发生的频率。 频率的性质: (1) 0fn(a)1; (2) f()=1; (3) 设a1,a2,an是两两互不相容的事件, 则 fn(a1+a2+an)=fn(a1)+f(a2)+fn(an),18,概率的统计定义,在n次试验中事件a发生了m次, 则比例 m/n 称为事件a发生的频率。 定义2 在相同条件下, 重复进行n次试验,事件a发生的频率fn(a)=rn(a)/n稳定地在某一常数p附近摆动。 当次数n越大时, 摆动幅度越小, 则称常数p为事件a发生的概率, 记作p(a)。,19,反复投掷一牧均匀硬币,有如下结果：,抛掷的次数越多, 均匀硬币出现正面的频率越接近0.5。,20,调查新生婴儿中男孩出生的概率,男孩(或女孩)出生的频率是稳定的,约为0.515(或0.485)。,21,1.2.2 概率的公理化定义,定义3. 设e是随机试验, 是它的样本空间。对于e中的每一个事件a赋予下一个实数,记为p(a)。 若p(a)满足以下三个条件: (1) 非负性: 对每一个事件, 有 p(a)0; (2) p()=1; (3) 可列可加性: 设a1,a2,是两两互斥的事件,则,22,1.2.3 概率的性质,概率的有限可加性:,若ab= , 则 p(a+b)=p(a)+p(b).,概率的加法法则的推广:,(1) 若事件组a1,a2,an两两互斥, 则,(2) 若事件组a1,a2, an构成完备事件组, 则,(3),23,(4) p(a-b)=p(a)-p(ab);,证明:,a=(a-b)+ab,且(a-b)(ab)=,因此,p(a)=p(a-b)+p(ab),从而,p(a-b) =p(a)-p(ab).,特别地, 若ba,则,p(a-b)=p(a)-p(b);,p(a)p(b)。,24,(5). p(a+b)=p(a)+p(b)-p(ab) 证明: a+b=a+(b-ab), 且a(b-ab)= p(a+b)= p(a)+p(b-ab) =p(a)+p(b)-p(ab),推广: p(a+b+c)= p(a)+p(b)+p(c) -p(ab)-p(bc)-p(ac) +p(abc),(6) p(a+b) p(a)+p(b)。,25,例3. 已知 p(a)=0.7, p(b)=0.3, p(a-b)=0.5, 求p(b-a)。,解: 由于 p(a-b)=p(a)-p(ab), 因此 p(ab)=p(a)-p(a-b)=0.2 从而 p(b-a)=p(b)-p(ab)=0.1。,26,求:,(1)p(ab), (2) p(a-b), p(a+b),解: (1) 由于,且,例4. 已知,因此,于是,=0.4-0.2,= 0.2,(2),= 0.3,(3),= 0.7,(4),= 0.3.,27,1.3 古典概型,古典概型试验具有以下特点： (1) 样本空间 中的样本点的数量是有限的，即试验的基本事件总数为有限个=1,2,n; (2) 每次试验, 各基本事件出现的可能性完全相同: 设ai=i,则p(ai)=1/n, i=1,2,n。 定义1.2 若试验结果一共由n个基本事件1,2, n组成, 并且这些事件的出现具有相同的可能性, 而事件a由其中m个基本事件组成, 则定义事件a的概率为 p(a)=m/n.,28,(1) 判断试验为古典试验, 即基本事件总数为有限个, 且各基本事件出现的可能性相同。 (2) 计算样本空间中样本点的个数n ; (3) 计算事件a包含样本点的个数m ; (4) 由p(a)=m/n 计算事件a 的概率。,古典概型的概率计算步骤：,29,例1 依次掷两颗质地均匀的骰子, 求: (1)出现的两个点数之和等于5的概率.,解: 设事件a=两个点数之和等于5,则 m = 4;,样本空间 中的样本点数n=66=36,因此，,(2)出现的两个点数之积等于6的概率.,解: 设事件b=两个点数之积等于6,则 m = 4;,样本空间 中的样本点数n=66=36,因此，,30,例2. 一个袋内装有大小相同的7个球, 其中4个白球, 3个黑球。从中任取 3 个, 计算： (1) 取出的 3 个球都是黑球的概率；,解: 设a=取出的3个黑球,则,(2) 取出的3个球都是白球的概率；,解:设a=取出的3个球白球,则,31,解:设a=取出3个球恰有两个白球,(3) 取出的3个球恰有两个白球的概率；,则,(4) 取出的3个球至少有一个白球的概率；,解:设a=取出3个球至少有一个白球,则,另解:,32,例3 两封信随机地投向4个邮筒i,ii,iii,iv, 求 (1) 第二个邮筒恰好被投入1封信的概率；,解：设a=ii号邮筒恰好被投入1封信, 则,(2) 前两个邮筒中各有1封信的概率。,解：设b=前两个邮筒中各有1封信,则,33,(1) a=第三件是次品:,(2) b=3件中有1件次品:,问题： 若将题中“无放回”改为 “有放回”，应该如何处理?,例4. 设10件产品中有6件正品, 4件次品. 每次从中任取1件, 无放回地抽取3次, 求下列事件的概率：,34,例5. 已知200个产品有6个废品。从中任取3个产品, 求: (1) 最多只有1个废品的概率;,解：设ai =取出的3个产品中有 i 个废品, i =0,1,2,3, 则,p(a0+a1) =p(a0)+p(a1),(2) 至少有2个是废品的概率;,p(a2+a3) =p(a2)+p(a3),(3) 其中有废品的概率。,p(a1+a2+a3),=1-p(a0),35,1.4 条件概率,1.4.1 条件概率 定义1.3 在事件b, 已经发生条件下, 事件a发生的概率, 称为事件a在给定事件b的条件下的条件概率, 简称a对b的条件概率, 记作p(a|b). 在事件a, 已经发生条件下, 事件b发生的概率, 称为事件b在给定事件a的条件下的条件概率, 简称b对a的条件概率, 记作p(b|a).,36,解：根据题意, 有,例1. 市场上供应的灯泡中,甲厂的产品占70%,乙厂占30%;甲厂产品合格率是95%, 乙厂产品合格率是80%。若用事件a, 分别表示甲,乙两厂的产品, b表示产品为合格品, 试写出有关的条件概率。,37,例2. 某年级有100名学生，其中男生(以a表示) 80名, 女生20名。 来自北京的(以b表示)有20人,其中男生12人, 女生8人。试写出 p (a), p (b), p(b|a), p(a|b), p(ab), p(c), p(c|a), p(ac),p(a)= 80/100=0.80,解：,p(b|a)=12/80=0.15,p(b)=20/100=0.20,p(ab)=12/100=0.12,p(a|b)=12/20=0.60,p(c)=40/100=0.40,p(c|a)=32/80=0.40,p(ac)=32/100=0.32,38,条件概率的另一种定义,设a, b是两个事件, 且p(a)0, 则称,为事件a发生的条件下事件b的条件概率。,设a, b是两个事件, 且p(b)0, 则称,为事件b发生的条件下事件a的条件概率。,39,例3(p15例1). 一袋中装有10个球, 其中3个黑球,7个白球, 先后两次从袋中不放回地各取一球. (1)已知第一次取出的是黑球,求第二次取出仍是黑球的概率; (2)已知第二次取出的是黑球,求第一次取出仍是黑球的概率.,解:记ai为第i次取到的是黑球, i=1,2, (1) p(a2|a1)=2/9; (2) p(a1a2)=1/15, p(a2)=3/10, 则,40,例4. 袋中有5个球,其中3个红球2个白球, 从袋中不放回地连取两球,求在第一次取到红球后第二次取到白球的概率。,解: 设 a=第一次取到红球, b=第二次取到白球, 则,问题： 1. 在第一次取到白球后第二次取到白球的概率? 2. 事件取到两个白球与事件先后两次取到白球的概率是否相同?,41,如果 p(a)0, 则p(ab)=p(a)p(b|a)； 如果 p(b)0, 则p(ab)=p(b)p(a|b)。 推广: p(abc)=p(a)p(b|a)p(c|ab). p(a1a2an) =p(a1)p(a2|a1)p(a3|a2a1) p(an| a1a2an-1).,1.4.3 乘法法则,42,例5. 市场上供应的灯泡中,甲厂的产品占有70%,乙厂占有30%,甲厂产品合格率是95%,乙厂产品合格率是80%。若从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格品的概率。,解：要得到甲厂合格的灯泡,可分成两步: (1) 取得甲厂的产品, 用a表示; (2) 取得其中的合格品,用b表示,则 p(ab)=p(a) p(b|a)=0.70.95=0.665。,43,例6(p17例4). 100只灯泡中有次品10只,其余产品均为正品。不放回抽样,每次取一只。求第三次才取到正品的概率。,解:设ai,i=1,2,3表示第i次取得正品,b表示第3次才取得正品,44,例7. 依次请甲、乙、丙三个同学回答一个问题. 如果前面的同学回答对了就停止, 回答错误则由后面的同学回答。已知他们依次答对的概率分别是0.4、0.6、0.8. 分别求出问题由甲、乙、丙答出的概率。,解：设a, b, c分别表示甲,乙,丙答出,则,45,例8. 10个考签中有4个难签, 3人参加抽取(不放回), 甲先乙次丙最后。求：(1) 甲抽到难签的概率; (2) 甲 、乙都抽到难签的概率; (3) 甲没有抽到难签而乙抽到难签的概率； (4) 甲、乙、丙都抽到难签的概率。,解：设a、b、c分别表示甲、乙、丙各抽到难签, 则,46,定理1(全概率公式 ) 若事件组a1,a2,an构成一个完备事件组, 且 p(ai)0, i=1,2,3,n. b为任意事件, 则 p(b) = p(a1b+a2b+ +anb) = p(a1b)+ p(a2b)+ p(anb) = p(a1)p(b|a1)+ p(a2)p(b|a2)+ p(an)p(b|an).,1.4.4 全概率公式与贝叶斯公式,47,例9(p18例5). 为了了解一只股票在一定时期内的价格变化, 常常会去分析影响价格的基本因素, 如利率的变化。假设利率下调的概率为60,利率不变的概率为40。根据经验，在利率下调时该股票价格上涨的概率为80, 在利率不变时该股票价格上涨的概率为40, 求该股票上涨的概率。,解：设a=利率下调, b=股票价格上涨, 则p(a)=0.6, p(b|a)=0.8.,由于,48,例10. 市场上供应的灯泡中,甲厂的产品占有70%,乙厂占有30%,甲厂产品合格率是95%,乙厂产品合格率是80%。求从市场上买到一个灯泡是合格品的概率。,解：用a表示甲厂的产品,用b表示合格品,则,49,例11. 有甲、乙两个同型号的箱子,甲箱中装有3个红球2个白球,乙箱中装有4个红球3个白球。现在任意取一箱,再从该箱中任意取出一球。求： (1)恰好取到甲箱的白球的概率；,解：设a=取到甲箱, b=取到白球, 则,(2)取到白球的概率。,50,定理2 在随机试验e中, 事件列a1, a2, an 构成一个完 备事件组, 且 p(ai)0, i=1,2,3,n. b 为任意事件, p(b)0, 则,1.4.5 贝叶斯公式,51,例11. 一批产品由甲、乙、丙三个工厂生产, 产量依次为45%、35%、20%, 而各厂的次品率依次为2%、3%、5%。现从该批产品中任抽一件, 求：(1) 抽到次品的概率;,解：设a1,a2,a3分别表示抽到甲、乙、丙厂的产品, p(a1)=0.45, p(a2)=0.35, p(a3)=0.20, p(b|a1)=0.02, p(b|a2)=0.03, p(b|a3)=0.05, b=抽到次品, 则b=a1b+a2b+a3b.,52,(2) 若已抽到次品, 问它是来自甲厂的概率。,(3)若已抽到次品, 问它是来自最可能是来自于哪一个厂?,53,例12. 根据以往统计可知，每天早上机器开动时,机器处于良好状态的概率为0.75。当机器处于良好状态时, 产品的合格率为0.9; 当机器有故障时, 产品的合格率为0.3。某日从当天生产的产品中任取一件, 求：(1)该产品是合格品的概率；,解: a=机器处于良好状态 , b= 抽到合格品, 则,(2)若已知抽到的是合格品, 则机器处于良好状态的概率为,问题: 若抽到一件不合格品,求该天机器处于良好状态的概率。,54,例13. 若事件a, b满足p(a)=0.5, p(b)=0.6,求：,解：,55,例14. 甲乙二人进行击剑练习。甲先向乙进攻, 击中的概率为0.2, 若未击中则乙还击,击中甲的概率为0.3; 若未击中甲 , 则甲再次进攻, 击中乙的概率为0.4。求这几个回合中: (1)甲被击中的概率;,解: ai =第i个回合时击中对方, a=甲被击中, b=乙被击中, 则 p(a1)=0.2, p(a2)=0.3, p(a3)=0.3,56,(3) 若乙被击中,求他是在第一回合中被击中的概率。,(2)乙被击中的概率:,57,例15(练习) 考试题中平时练习过的题目占0.6。学生答卷时,平时练习过的题目在考试时答对的概率为0.95,平时未练习过的题目在考试时答对的概率为0.3,求: (1) 考生答对第一题的概率； (2) 若考生答对第一题, 求第一题是平时没有练习过的题目的概率。,解: a=平时练习过的题目, b=考生答对第一题, 则 p(a)=0.6,p(b|a)=0.95,58,例 16 若人群中肺癌的发病率为0.1%,患肺癌的人中吸烟者占90%,没得肺癌的人中不吸烟者占80%, 求吸烟者患肺癌的概率。,解：a=患肺癌, b=吸烟者, 则,59,例17 装有10个白球5个黑球的罐中丢失一球,但是不知道其颜色。随机地从罐中摸出两个球,结果都是白球, 问丢失的是黑球的概率。,解：a=丢失的是黑球,b=取出的两个球都是白球, 则,因此丢失黑球的概率为,60,例18 10个考签中有4个难签, 3人参加抽取(不放回),甲先乙次丙最后。证明每个人抽到难签的概率相同。,解: 设a、b、c分别表示甲、乙、丙各抽到难签,则,61,丙各抽到难签的概率,62,1.5 事件的独立性,一、 事件的独立性,例1 袋中有3个红球和2个白球,有放回地抽取两次,每次抽1个球, 求: (1)第二次取得白球的概率； (2) 第一次取得白球的条件下第二次取得白球的概率。 (3) 第一次取得红球的条件下第二次取得白球的概率。,63,解：设ai表示第i 次取得白球，i=1,2, 则,64,定义1 设a、b为随机试验e的两个事件, 如果满足 p(ab)=p(a)p(b) (5.1) 则称事件a与b相互独立。,定义2 设a, b,c是3个事件, 若满足条件,称事件 a, b, c相互独立。,65,设a1, a2, an是n个事件, 若对任意整数k和 1i1i2ikn, 满足,称事件 a1, a2, , an 相互独立。,定义3 设a1, a2, an是n个事件, 若其中任意两个事件之间均相互独立, 则称a1, a2, an两两独立。,66,独立性有以下性质：,1. 设a、b为两个事件， (1) 若p(a)0, 则事件a与b相互p(b|a)=p(b)。 (2) 若p(b)0, 则事件a与b相互独立p(a|b)=p(a)。,2. 若事件a与b相互独立，则a与,中的每一对事件都相互独立。,67,补充：德摩根(de morgan)定理：,或,或,证明：,68,3. 若事件a1, a2, an相互独立，则,证明：,69,例2. 某企业欲通过开发新产品来摆脱目前的困境,组织了三个攻关小组独立研制三种新产品,成功的把握分别为60%、50%、60%。求： (1)能研制出新产品的概率； (2)至少有两种新产品能研制成功的概率。,解: ai=第i个攻关小组成功研制出新产品,则,70,71,例3. 如图,开关电路中开关a,b,c,d闭合的概率都是0.5, 且各开关是否闭合相互独立。求：(1)灯亮的概率； (2)若灯已经亮,开关a与b同 时闭合的概率.,解:设a,b,c,d分别表示开关a,b,c,d 闭合, e表示灯亮,则,72,而abe,从而 abe=ab,因此，,73,例4. 甲,乙,丙3部机床独立工作,由一个工人照管。某段时间内它们不需要工人照管的概率均为0.8,求在这段时间内, (1)有机床需要工人照管的概率； (2)机床因无人照管而停工的概率； (3)恰有一部机床需要工人照管的概率。,解：设a,b,c分别表示甲,乙,丙三部机床需要人照管,则,74,(2)机床因无人照管而停工的概率；,75,因为,的交集为空集,即,(3)恰有一部机床需要工人照管的概率。,76,二、贝努里概型,对于n 次重复独立试验, 若每次试验都只有两个可能结果a与非a,且p(a) = p (0p1), 则称这一系列重复试验为 n 重贝努里试验, 相应的数学模型为贝努里概型(如有放回的摸球模型)。,定理 在n重贝努里试验中,事件a发生的概率为p(0p1),则事件a发生k次的概率为,其中q=1-p,k=0,1,2,n.,77,例5. 一条自动生产线上产品的次品率为4%,利用无放回方法抽取产品, 求: (1) 从中任取10件, 求至少有两件次品的概率； (2) 一次取1件, 求当取到第二件次品之前已取到8件正品的概率。,解: 设a=10件产品中至少有两件次品, b=前9次中抽到8件正品1件次品， c=第10次抽到次品,则,78,例6. 一台设备由10个元件组成. 在保修期间,每个元件的失效率为0.05, 各元件是否失效是相互独立的。若有一个元件失效, 设备不能正常工作的概率为0.5, 若有两个元件失效, 设备不能正常工作的概率为0.8, 若有三个或三个以上元件失效, 设备一定不能使用。