基于螺旋理论对4-UPU并联机构的自由度及运动分析.pdfVIP

现代 制造 、 工艺装备 Ma n u f a c t u r in g &P r o c e s s E q u i p me n t 基 于螺旋理论对 4一U P U并联 机构 的 自由度及运 动分 析 米 胡兴伟 ， 夏广岚， 殷宝麟 ， 于峰， 孙赵宁 ， 庄腾飞 ( 佳木斯大学 机械工程学院， 黑龙 江佳木斯1 5 4 0 0 7 ) l 2 0 1 5 年 第 2 期 摘要 ： 在并联机 构的分析研 究中， 应用螺旋理论做 空间机构 的一些分析 是较 为简便的 ， 它是诸 种常 用的数 学方法 中较好的一种， 是以线性代数及几何数学为数学基础展开的。本文采用螺旋理论中的运动螺旋及力螺旋分别表示 并联机构 的 自由度和约束 ， 并利 用其 互逆 定理 ， 对 少 自由度的 4一U P U并联 机构进 行约 束和 自由度分析 ， 并求解 出 了该机构 的 自由度。最后通过 实体模 型的仿真运动 分析 ， 验证 了该 方法的准确性 、 可用性 和通用性。 关键词 ： 4一 U P U并联机构螺旋理论 自由度分析运 动分析 中图分 类号 ： T H1 1 2 文献标识码 ： A 文章编 号 ： 1 0 0 2 6 8 8 6 ( 2 0 1 5 ) 0 20 0 0 1 0 4 Ana l y s is o f DOF a nd m o t ion o f 4- - UPU pa r a l l e l me c ha nis m ba s e d o n s c r e w t he o r y HU Xin g we i， XI A Gu a n g l a n， YI N Ba o fi n， YU F e n g， S UN Zh a o n in g， ZHUANG Te n g f e i Ab s t r a c t ：I n a n a l y t ic a l in v e s t ig a t io n o f p a r a l l e l me c h a n is m ，it is c o n v e n ie n t a n d e f f e c t iv e t o a p p l y s c r e w t h e o r y t o s p a t ia l me c h a n is m a n a l y s is T h e t h e o r y w h ic h e v o l v e s o n f o u n d a t io n s o f ma t h e ma t ic s s u c h a s l in e a r alg e b r a a n d g e o me t ry ma t h is a b e t t e r o n e a mo n g c o mmo n ma t h e ma t ic al me t h o d s T h is p a p e r a d o p t s t h e c o n c e p t s o f k in e ma t ic s p ir a l a n d f o r c e s p ir al o f s c r e w t h e o r y t o r e p r e s e n t d e g r e e o f f r e e d o m a n d c o n s t r a in t o f t h e p ara l l e l me c h a n is m r e s p e c t iv e l y，a n d b y u s in g it s r e c ip r o c a l t h e o r e m， t o a n a l y z e t h e d e g r e e o f f r e e d o m( D O F )a n d c o n s t r a i n t o f 4一U P U p a r a l l e l m e c h a n i s m w i t h d e f i c ie n t D O F ，a n d c alc u l a t e s t h e DO F o f t h e me c h a n is mF in a l l y，t h e a c c u r a c y， p r a c t ic a l it y an d u n iv e r s alit y o f t h is me t h o d a r e v e r ifi e d t h r o u g h mo t io n s imu l a t io n a n a l y s is Ke ywor ds：4一UPU pa r a l l e l me c ha nis m ；s c r e w t h eo ry ；d e g r e e o f f r e e d o m a n a l y s is；mot io n s imu l a t io n 与串联机器人相 比， 并联机器人具有许多优点 ， 而近年来对少 自由度并联机构的研究 已成为了一个 热点 J 。因为少 自由度并联机器人由于其结构简 单 、 驱动容易、 造价低而具有较高的实用价值 ， 在实 际中有广泛的应用前景 。 本文 研究 的少 自由度 并 联 机 构在 空 间能 实 现三移 动 一 转 动 ， 它 是 由上 下 平 台 以及 四个 分 支链 构 成 。 四个 支 链 的结 构 均 对 称 分 布 ， 且 每 个支链 都 由一个 虎克 铰 ， 一个 移 动 副 ， 一个 虎 克 铰组 成 ， 下 平 台为静平 台 ， 上 平 台 为动 平 台 。本 文应 用螺 旋理 论 对 4一UP U并 联机 构 进行 了 自由度分 析 ， 最 终 成 功 验 证 了该 并 联 机 构 的 自 由 度 为 4 1 自由度分析 1 1 螺旋 理 论基本 知 识 在几何数 学 中， 一条空 间直线 的姿态 ( 位置 和 方 向) 是 由两个 点来 确定 的。在 螺旋 理论 的范 畴 里 ， 如 图 1所示 ， 空间任何一条直线的确定是由方向 矢量 5和矢量 S对原点的线矩 Js 来定义表示的， 直 线也叫做线矢量( 节距 h= 0 ) ， 是旋量一种特殊 的情 况 。直线的的矢量表达形式如下 ： ( r r 1 ) S= 0 ( 1 ) 其矢量方程的标准形式 即为 ： r S=S 0 ( 2 ) 齐次坐标满足 ： 观 弋 磁 M o d e r n M a ch i e q = ( S ； s o ) =( S ； r S ) =( L， M， N； P， Q， R)( 3 ) 图 1 直 线的矢量 方程 其 中 、 、 是 有向线段 5的方 向数 ， P、 Q、 是该线段 S对原点 的线矩在 、 l ， 、 z三轴的分量。 当 S S=1 时 ， 则线矩 S 的模表示直线到原点的距 离 。此时 为单位线矢量 ； 当 S 。 = 0时 ， 即直线的线 矩为零 ， 此 时直线经过原点 。由表达式显然 可知 ， S S 。 =0 。 这种满足正交 条件的齐次坐标 ( S ； S 。 ) 表 示 了直线在空间的方向及位置 ， ( S ； S ) 称为直线 的 P l u ck e r 线坐标 。 若节距h 0， 且 S S = 0， S 0时， 用 h= S S S S来表示该旋量 的节 距。那么该旋量可 以看作是一个线矢量与一个偶量 的同轴合成 ， 即为 ： ( S ； S ” )=( S ； r S+ h S )=( S； Js 0 + S ) = ( S ； S o ) +( 0 ； h S ) ( 4 ) 若节距 h= 0， S S 。 =0 ， S 0时， 旋量就退化为 线矢量 ， 此时可以用来表示一个转动副或者一个约 束力； 若 S= 0 ， S 0时， 则旋量退化为偶量， 即为 ( 0 ； S 。 ) ， 此时的节距为无穷大， 那么该旋量可以表示 一 个移动副和约束力偶 。 若 ， ： 分 别 为 ( L ， M ， N ； P ， Q ， R ， ) 与 ( L ， M2 ， 2 ； P ： ， Q ， R ) ， 则两个 螺旋 的互 易积定义 如下： 1 。 2=L 1 P 2+M1 Q 2+ 1 2+P 1 L 2+Q 1 M2+ R l 2 ( 5 ) 如果所研究的两个 螺旋 ， 之间的互易积为 零 ， 即为 ： 。 = 0 ( 6 ) 在这里称与螺旋 1构成互易积为零 的螺旋 2为 螺旋 1的反螺旋 。可以从物理的运动及力 的角度解 释 ， 可以把 看作力螺旋 ， 看作是运动螺旋 ， 在如 上表述的情况下 ， 无论该力螺旋的力及力矩多大 ， 都 无法对物体进行做功 ， 不影响物体 的运动形态 ， 也不 改变物体在约束允许下的螺旋运动。为了更加清晰 的来描述螺旋与反螺旋的定义， 不妨设 = ( S ； S 。 ) 和 =( S ； S ) ， 那么可以表示如下 ： 。 = S S + Js S 0 = 0 ( 7 ) 通过上述等式 ， 对于运动螺旋 的反螺旋 ， 若 是它的节距为零 ， 则代表一个约束力 ， 其限制了沿约 束力方向的移动 ； 若是它的节距为无穷大 ， 则代表一 个约束力偶 ， 限制了绕该力偶方 向的转动。 当两个螺旋 的互易积为零时 ， 如果一个 螺旋表 示 了机械系统的约束反力 ， 另一个则是为该机械 系 统所允许的运动 ； 反之 ， 如果一个螺旋表示了物体的 运动 ， 另一个则是机械系统本身所产生的约束 。 两螺旋互易积为零的解析式还可以表示为： L l P 2 +M1 Q 2 十N l R 2 +P l L 2 +Q l M2 +尺 l = 0 ( 8 ) 可见 ， 若 孝为 孝 的反螺旋时 ， 同理 也一定为 的反螺旋 ， 这正是反螺旋 的互逆性的定义 。两个互 逆的螺旋的互逆性和线性相关性只与两个螺旋 自身 的参数有关 ， 与原点的位置无关 ， 也即与坐标系的选 择没有任何联系。因此在分析某些机构尤其是少 自 由度并联机构的 自由度 时， 一般 可以从 以下几个 步 骤来完成 ： 1 ) 对于对称型并联机构 ， 首先建立适当的坐标 系， 根据各支链的运动副分布情况及属性写出某一 支链相对应的各运动副的螺旋 ； 对 于非对称性的并 联机构 ， 支链相 同的可 以只写出一个支链 中的各个 运动副的螺旋 ， 不 同的支链应分别列写 出各支链相 对应的运动副螺旋即可； 2 ) 根据线性代数理论 ， 若线性方程组有 忍个未 知数 ， 方程组系数矩阵的秩为 r ， 根据具体情况进行 求解 ， 若 r 和 r 时 ， 在无穷多个解 向量 中， 解 向量之间最大的线性无关 的数 目为 nr ， 这样 由互 逆螺旋线性方程决定 的基础解析将会有 一r 个螺 旋构成 ， 这也是最大的线性无关 的反螺旋数 目。 3 ) 通过分析该并联机构 的阶数、 构件数 、 运 动 副的数 目等一系列相关 的参数后 ， 那么利用修正后 的 K u t z b a chG r t i b e r 公 式 便 可以计算 机构的 自 由度。 1 2 4一U P U机构的自由度计算 修正后的 K u t z b a chG r t ib e r 公式为 ： M：d ( 凡一 g一1 ) + + 一 ( 9 ) 在公式 中， 其 中 表示 机构 的 自由度 ； d表示 机构的阶数 ， 机构的阶数 由公共约束数来确定 ； 2 表 示所有的构建数 目； g表示 机构 中的运动副数 目； 表示第 i个运动副的 自由度数 目； J 为多环并联机构 在去除公共约束 的因素后的冗余约束 的数 目； 为 机构中存在 的局部 自由度。 如果 4一U P U机构的动 、 静平 台不为正方形时 ， 根据 4一U P U并联机构的结构形式以及排列组合 的 原理可以得到 2 4种不 同的结构组合形式。在这里 只对 4条支链的两端均采用虎克铰垂直布置 的结构 形式进行分析验证 。该并联机构的 4条支链 的各运 动副布置情况的具体结构如 图 2所示 。 ， 一 ： zB, 图 2 4一UP U并 联 机 构 ( 虎 克 铰 垂 直 布 置 ) 结 构 图 从 图中可 以看 到该结构 的链接布置情况 ， 与静 平 台相链接 的为虎克铰 0 ( i=1 ， 2 ， 3， 4 ) ； 与动平 台 相链接为虎克铰 b ( i=1 ， 2 ， 3， 4 ) 。四个支链的结构 对称 ， 均由虎克铰 一移动副 一虎克铰的形式进行链 接 。建立下平 台静坐标 系 0 一 X 8 Z ， 点 0 位于 下平台的质心点 ， 轴平行于 口 n ， 同理 轴平行 于 。 0 ， Z 轴垂直于下平台向上。建立机构的动平 台坐标系 0 一 X y m z ， 其 中点 0 M位于上平台的质 心点 ， 轴平行 于 b b ： ， 轴平行于 b l b ， Z 轴垂直 于上平 台向上 。由于一个虎克铰副等效于两个轴线 互相垂直相交 的转动副( 即 U=2 R) ， 在此定义其 中 一 个 垂直 于定平 台， 另外 一个 R则平行 于静平 台。 由于 四条支链 完全对称 ， 因此可以选择研究其 中任何一 条支链 即可 。其 中给予 以下结 构位置参 数 ， ( P g 0 ) 为 下 平 台 虎 克 铰 的 中 心 位 置 ， 现代制造 、 工艺装 备 Ma n u f a ct u r in g &Pr o ce s s Eq u me n t l 2 0 1 5 年 第 2 期 ( i k ) 为移动副 的方 向余旋 ， ( z m n ) 为 上平 台虎克铰的中心位置。那么根据所给出的位置参 数 ， 可以写出 4一U P U并联机构第一支链 的螺旋表 刁 ： = ( 0 ， 1 ， 0； 0 ， 0， 0 ) = ( 0 ， 0 ， 1 ； 0 ， 0， 0 ) = ( 0， 0， 0； i， ， k ) = ( 0 ， 1 ， 0； 一n ， 0， Z ) = ( 0 ， 0 ， 1 ； m， 一Z ， 0 ) ( 1 0 ) 根据互易积计算公式 。= 0， 可以求得该 支链的一个反螺旋为 ： =( 0 ， 0， 0 ； 1 ， 0 ， 0 ) ( 1 1 ) 通过计算结果可以清晰地看出 u 为一个反螺 旋力偶 ， 其 实 它 的存 在 限制 了动平 台绕 轴 的转 动 ， 因此根据结构的完全对称 型知道 四个支链均有 相同的反螺旋力