工业机器人运动目标轨迹规划仿真研究.pdf

第3 4 卷第5 期计算机仿真2 0 1 7 年5 月 文章编号：1 0 0 6 9 3 4 8 ( 2 0 1 7 ) 0 5 0 3 3 1 0 6 工业机器人运动目标轨迹规划仿真研究 周乐天。姜文刚 ( 江苏科技大学，江苏镇江2 1 2 0 0 0 ) 摘要：轨迹规划是工业机器人控制中的重要研究方向。为了使焊接机器人按照预定路径和速度进行施焊，针对焊接机器人末 端在笛卡尔空间中作业路径为自由曲线时速度难以规划、减速点难预测的问题。首先采用三次非均匀B 样条曲线拟合作业 路径。为解决焊接作业中需平稳过弯但减速点难预测的问题，在曲线曲率极值点处对其进行分段处理，采用辛普森公式对 曲线数值积分精确求解曲线长度，用s 型速度曲线代替梯形速度曲线进行速度规划，最后对每一段单独迸行插补，从而达到 在曲率极值点处平稳通过的目的。经过仿真表明上述算法的有效性。 关键词：非均匀样条：数值积分；分段规划；速度曲线 中图分类号：T P 2 4 2文献标识码：B S im u la t io nR e s e a r cho nT r a j e ct o r yP la n n in g o fI n d u s t r ia lR o b o t SM o v in gO b j e ct Z H O UL e - t ia n ，J I A N GW e n - g a n g ( J ia n g s uU n iv e r s it y o fS cie n cea n dT e ch n o lo g y ，Z h e n j ia n gJ ia n g s u2 1 2 0 0 0 ，C h in a ) A B S T R A C T ：T r a j e ct o r yp la n n in gisa nim p o r t a n tr e s e a r chd ir e ct io nint h eco n t r o l o fin d u s t r yr o b o t I no r d e rt om a k e t h ew e ld in gr o b o tw e lda cco r d in gt oap r e d e t e r m in e dp a t ha n ds p e e d ，a im in ga tt h ep r o b le mt h a tt h es p e e do fw e ld in g r o b o tisd if f icu ltt ob ep la n n e dint h eC a r t e s ia ns p a cea n ditisd if f icu ltt op r e d ictt h ed e ce le r a t io np o in t ，t h r e eo r d e r n o n - u n if o r mBs p lin ecu r v ew a su s e dt of itt h er o u t e I no r d e rt os o lv et h ep r o b le mo fs m o o t hb e n d in ginw e ld in go p - e r a t io na n dt h ep r o b le mt h a td e ce le r a t io np o in t sa r ed if f icu ltt op r e d ict ，f ir s t lya tt h ee x t r e m ep o in to fcu r v a t u r eo ft h e cu r v e ，itw a ss e g m e n t e d ；s e co n d lyS im p s o nf o r m u law a su s e dt oca lcu la t et h ecu r v ele n g t ha ccu r a t e ly ；t h ir d lySt y p e v e lo cit ycu r v ew a su s e dt op la nv e lo cit yin s t e a do ft r a p e z o id a lv e lo cit ycu r v e ，s oa st oa ch ie v et h ep u r p o s eo fs m o o t h t h r o u g ht h ee x t r e m ep o in t so fcu r v e T h es im u la t io np r o v e st h a tt h ein t e r p o la t io na lg o r it h mise f f e ct iv e K E Y W O R D S ：N o n - u n if o r ms p lin e ；N u m e r ica lin t e g r a t io n ；S u b s e ct io np la n n in g ；V e lo cit ycu r v e l 引言 随着工业机器人近年来高速的发展和应用领域的扩张 业机器人的应用领域越来越广泛如弧焊机器人、点焊机器 人、装配机器人、喷涂机器人及搬运机器人等都已被大量采 用。 在实际生产中的很多领域都需要用到焊接机器人在三 维空间的焊接。所以对焊接机器人在三维空间内进行轨迹 规划和速度规划，不仅可以使焊接机器人按照最优路径进行 施焊，还可进一步改善焊接质量、提高生产效率、节约生产成 本在实际的工业生产中具有重要意义。 其中笛卡尔空间下复杂的自由曲线规划是近些年的研 究热点，它可以使得焊接机器人末端执行器在空间中按照预 定的任意轨迹和速度作业。因此对笛卡尔空间的轨迹规划及 收稿日期：2 0 1 6 0 6 2 8 修回日期：2 0 1 6 0 7 1 5 速度规划进行深入研究是有实际意义的。 针对机器人在笛卡尔空间中末端作业路径为自由曲线 难以规划及减速点难以预测的问题，近年来越来越多的学者 将B 样条运用到轨迹规划中。文献 1 和文献 2 将三次均 匀B 样条应用到了工业机器人轨迹规划中，并且采用梯形速 度函数进行机器人的速度规划但是三次均匀B 样条不适合 空间任意分布的示教点，文献 3 论述了在电机运行中梯形 速度函数引起的缺陷包括引起振动和冲击等。在机器人的 轨迹规划中。梯形速度函数的加速度不连续，会引起冲击，使 机器人运行时偏离预定轨迹引起误差，增加机械磨损降低机 器人使用寿命。文献 4 采用S 型速度曲线对六自由度机器 人进行速度规划，但是未考虑机器人作业路径过短末端速度 无法降到限制速度的问题，会导致在作业路径分段后前一段 曲线的末端与后一段曲线的始端之间发生速度和加速度的 突变，引起冲击。 一3 3 1 文献 5 提出一种双向寻优插补算法，该算法在运动路 程未知情况下，不依赖于弧长的精确计算，实时动态地求解 曲线段内最大进给速度和正反向插补会合点，但是计算过程 比较繁琐。文献 1 进行了二次插补以减小冲击，但它通过 增加插补点个数。减小采样步长，降低机器人运行速度的方 法来减小冲击。 针对以上问题本文以三次非均匀B 样条拟合作业路径 并提出分段式单独S 型速度规划的思想，依照曲线的曲率在 曲率极值点处对其进行分段，设计s 型速度规划器，对分段 后的曲线进行每一段单独的S 型速度规划避免因不分段以 及不提前减速引起加速度和速度的突变。解决平稳过弯的问 题，根据文献 6 进行曲线参数关于曲线长度的反向拟合， 求出对应反函数。将得到的插补步长带入该反函数得到插补 点的参数值，最后带人拟合好的三次分均匀B 样条曲线方程 求出插补点的空间坐标，完成作业路径的插补。 2 机器人笛卡尔空间轨迹规划 机器人轨迹规划属于机器人底层规划。是在机械手运动 学和动力学的基础上，讨论在关节空间和笛卡尔空间中机器 人运动的轨迹规划和轨迹生成方法。所谓轨迹，是指机械手 在运动过程中每个自由度的位移、速度和加速度的时间历 程。而轨迹规划是根据作业任务的要求，计算出预期的运动 轨迹 。 2 1 笛卡尔空间轨迹规划流程 对于路径的瞬时变化规律有严格要求的作业，如焊接作 业就必须在笛卡尔坐标空间进行轨迹规划拟合作业路径， 在拟合好的的作业路径上进行速度层的规划。然后通过插补 算法将速度规划得到插补步长和速度转换到笛卡尔空间下 的插补点位置。最后控制机械臂末端沿着轨迹运动作业。机 器人的笛卡尔空问轨迹规划流程图如图1 所示。 图1 机器人笛卡尔空间轨迹规划流程 在机器人控制系统中直线和圆弧插补是最基本的插补 功能。但对于焊接作业这样复杂的自由曲线难以用简单的 解析曲线表示。如果对这些复杂自由曲线进行多段直线或 圆弧拟合，为了保证精度要求，复杂曲线必须分为很多小段 直线或圆弧，这不仅使编程复杂，效率降低，而运动速度受到 影响。因此在机器人控制系统中加上B 样条曲线插补功能， 可以很好地解决复杂自由曲线路径的问题。所以，将三次非 均匀B 样条曲线插补功能应用于机器人控制系统中能很好 地提高自由曲线连续路径操作中的精度和速度。 2 2 非均匀B 样条轨迹规划函数模型 B 样条曲线是由分段曰样条基函数和控制点所决定的， ， 3 3 2 给定凡+ 1 个控制点P o ，P l，一，P 。和节点向量U = u 。，u 。， ，u 。，其中1 1 , 。 u ， u ： u 。，P 次B 样条曲线由这些控制 点和节点向量定义为 c( u ) = N i，( u ) P ； ( 1 ) 式中，1 l, 为参变量，P 。为B 样条控制点，N i。( 1 1 , ) 为曰样条的基 函数，定义式为式( 2 ) 小1 , u ik u 。锄 M ，( M ) 2 云l瓦I - - I 1 i一( ( 2 ) + 导呼兰N i+ l, p - I ( “) U U + D + li+ 1 罟= o 式中，u 表示节点，组成长度为m + 1 的曲线节点矢量U ，一般 选择“。= 0 ，M 。= 1 ，P 为曲线次数，这里选择P = 3 ，如果样条 曲线有n + 1 个控制点，则有m = n + P + 1 。 3运动轨迹减速点预测 通过三次非均匀B 样条对焊接机器人的作业路径进行 拟合后，需要在拟合好的轨迹上进行速度规划。由于焊接的 作业轨迹常为复杂的自由曲线，为了保证焊接质量。在焊接 过程中需保证机械臂末端执行器平稳过弯，因此运动轨迹上 减速点的预测是速度规划中的重难点。 3 1作业轨迹分段处理 为了保证机械臂平稳过弯对于作业轨迹曲率较大的地 方需要进行预先减速，通过曲率较大的区域之后再加速，不 能够直接匀速通过，因此可以根据曲线曲率的极值点对图2 中的日样条进行分段加减速处理，将复杂的曲线分段，再对 每段曲线进行单独的S 型速度规划。将问题简化。 加 分段 分段 图2曲线分段 速 3 2 曲线曲率极值点求取 要求B 样条中的曲率极值点，先求B 样条曲率。将并，y ， 。三个坐标分量一阶导合成三维矢量y ( ) = ( 石：( u ) ) ，：( “) z ：( u ) ) ，将石，y ，z 三个坐标分量二阶导合成 一个三维矢量y “( u ) = ( 算：( M ) ) ，：( ) z ：( u ) ) ，则曲线曲率 可表示为 m ) ：越等 ( 3 ) 11 y 【)量 式中的“”是矢量叉乘。摧 对式( 3 ) 求导，并令导数等于零可以求得曲线上的曲率掣 极值点。但是由于曰样条是分段的，需要计算每一段的极值 、 点，过程十分繁琐，本文取0 0 0 5 为参数“的采样时间间隔， 当某个曲率点大于或等于前后两个曲率点，该点被认为是曲 一 率极值点。 曼 3 3计算每段曲线长度蔼 得出曲率极值点，把曰样条分段之后，要准确进行S 曲线 篙 速度规划，需计算每段曲线的长度，计算出S 曲线速度规划莲 中每一段时长，保证在曲率极值点处以限制速度通过。速度 与加速度连续，减小冲击，提高工作效率。 对式( 1 ) 进行曲线长度积分，有第i段日样条曲线长度为 L 。= J 以：( “) 2 + y ：( u ) 2 + ：；( M ) 2d u ( 4 ) 由于B 样条曲线表达式繁琐，通过复合求积法代替定积 分方式求解样条曲线长度可以大大减小求解的难度。为了 提高积分误差精度，本文中采用辛普森积分法，辛普森积分 公式如 ( M ) = Jc。( 石) 如 ( 5 )y ( f ) = 一危 ch ) + 4 ch + ) + ch + ，) = 0V 其中区间 ab 被划为n 等分，步长h = ( b o ) n ，分割点 为z = 口+ ，其中= 0 ，1 ， ，凡。 当给积分收敛误差占，使得2 n 阶的辛普森积分与n 阶辛 普森积分之差小于收敛误差时，即满足式( 6 ) 时 C 2 。一C 。l 占 ( 6 ) 再对区间 ab 细分一次，将4 n 阶辛普森积分的结果 作为最后曲线的长度，即 t b 。= Jc“x ) d x ( 7 ) J “ 3 4S 型速度规划 为了能够对分段后的作业轨迹的每一段进行单独的速 度规划，本文设计一种已知曲线长度、始末限制速度，便可由 采样时间得出插补步长和插补速度的S 型速度规划器。并可 处理曲线长度较短时的规划问题。在对日样条分段后。对每 一段曲线进行S 型速度规划的一般形式如图3 所示。图3 中 的S 型速度曲线分为七个阶段：第一阶段做加速度线性增加 的变加速运动，第二阶段做加速度不变的恒加速运动，第三 阶段做加速度线性减小的变加速运动，第四阶段做加速度为 零的匀速运动第五到第七阶段为第一到第三阶段的反向状 态。图3 中S i表示七个不同阶段速度对时间t 的积分，即这 七阶段各自面积。 于是就可以得到速度曲线函数如 S 3 ，S 2 V lim it l S 1 t 0t 1t 2t 3 a m “ 0 a m a x t 0 t 1t 2t 3 速度曲线 “t 5t 6t 7 时间t s 加速度曲线 时间“s 图3S 型速度曲线及其加速度曲线 一扣 r 2 。+ 丁1f 。n + ( 一) k 。、一丁1 ， ( 一b ) 2 k 。 。一丁1I ， ( 一。) 2 。+ 小，- ) + ( c6 一t ) 0 t t t l t t 2 t 2 t t 3 t 3 t t 4 t 4 t t 5 t 5 t t 6 t 6 t t 7 ( 8 ) 式中V m 。a 。、J 是机器人自身的相关参数，时I 司节点司以 根据已知参数求取，加速过程：。= a m a x J 。；f ：= ( V m 。，一 V l。) a ；3 = t 。+ t 2 。减速过程与加速过程相反，可以看 作是从V L 。加速到V m 。的反过程。匀速过程的持续时间根 据此段路径长度得出，如式 铲生坠驾立墅盟飞 ( 9 ) 4 2 可 一一b 7 定义中间变量S 。( t ) ( i= 1 ，2 7 ) ，代表机器人末端在七 个不同阶段中运行的长度如 s - ( ) = - + 吉， ， S 2 ( ) = K 。一一知 叩+ 。f 2 S 3 ( ) ：V m 。f 一了1 ， ( T 1 ，一t 3 t 2 + o ) 一 + 扣 ( 分一t 3 t 22 蝎2 S 。( t ) = V m 。( t t 3 ) s s ( f ) = K 。一 尹1 ( T 1 ，一t 4 t 2 + 。2 t ) 一 ”吉k r s 。= + 。 叩一丁1 n 2 + a m a x t 6 t 一 1 lf 5 一。 ( 6 一 _ 1 5 2 丁a m a x t s t) l5 一。 ( 6 一丁5 ) s ，( ) ：K 。+ ，一( 矿f 一：+ ，) 一 寺， ( 7 2 6 一t 7 62 + f 6 3 )( 1 0 ) 3 4 提前减速处理 上述算法在路径较长，可达到最大速度时适用，但是焊 接机器人的作业路径为自由曲线，当分段处理后每一段的长 度长短不一，当路径长度比较小，在机器人未达到最大速度 时就需要降速，否则到达此段终止点时速度就降不到限制速 度，从而导致在分段点处引起速度和加速度的突变，对机器 人造成冲击。即当图3 中的S 4 = 0 ，且L S 。+ 是+ S 3 + S 5 + S 。+ S ，时，就不能达到最大速度再减速，要减小最大速度 的值，设达到速度K 。就要减速，此时加速过程的路径长度为 式 L 。= t ，( K 。一U 。) + 1( 1 1 ) ( t 2 一t 1 ) ( K 。一V i。) + V I 。t 3 观卜等 = 导，铲” 对应的减速可以看作是反向加速的过程，减速过程的路 径长度如式 L d = t ，( K 。一U 。) + i1 ( ：一，I ) ( p j 。一K 。，：) + K 。t i ( 1 1 ) 她t I = t l= 等，扛 ，扛“ 则有方程L = L 。+ 乙，化简后得到 E 。+ 。f 。K 。+ 皇( V I 。+ V lim it 2 ) 一 ( 1 2 ) ( 吃。+ 吃。) 一a m a x L = 0 上式可解出K 。，用K 。代替k 。，则可以继续用式( 8 ) 和 式( 1 0 ) 求取速度和路程。 因此，已知一段曲线的长度和起始、终止时的速度限制， 设定S 型速度的最大速度，最大加速度，最大加加速度，就可 以确定运行的路径函数和速度函数，从而确定减速点的时刻 和位置；由采样时间序列t 。，则可以得到采样步长：A S 。= S ( t 。) 一S ( t ；) ，运行速度，得出如图4 所示的S 型速度规划 器。 4插补过程 在完成对机器人作业路径的轨迹规划和速度规划后，需 要通过插补过程计算出在采样时刻t ，机器人末端在作业路 一3 3 4 一 V m a x m “J m a x s 形速度规划嚣 图4S 型速度规划器 径上的位置即插补点在笛卡尔空I 司中的坐标点。 通过式( 7 ) 曲线积分方式，可以求得在任意给定区间的 曲线长度为了通过S 型速度规划器给定的插补步长求解曲 线上的插补点，在任意 峨，u j + 。 的区间内，构造曲线参 数关于曲线长度的反函数( ) ，根据三次厄米特多项式法 对B 样条曲线参数进行拟合，第j 段u ，( ) 可表示为 叶( 三) = A + 曰( 一1 ) + c( 一) 2 + ( 1 3 ) D ( L 1 ) 2 ( L 一+ - ) 式中，A ，B ，c，D 为多项式系数，厶，。分别为参数区间为 0 ， u j 和 o ，u j + 。 对应的曲线长度，且L ，岛+ 。 。 由于和+ 。分别对应吩和u j + 。两个端点，因此可以得 到 吩( ) = u j ( 1 4 ) 叶( 1 + 。) = 叶+ 。 ( 1 5 ) 此外，由于, ( L ) 与L ( U ) 互为反函数，因此，它们的导数 互为倒数于是有 蟛( ) = 蟛2 志 l ( 1 6 ) 、伊瓦F 巧可 了丽 2 丽1 ( 1 7 ) ：!一 联立式( 1 4 ) 、( 1 5 ) 、( 1 6 ) 、( 1 7 ) 可求得四个系数如 A = 叶； B = 蟛 r 一! 生! ! 二兰! 二兰! 生：! 二生! ( l一，) 2 肚等笋一等哥 ， ( L ，+ l一，) 2( 己+ l L ，) 3 、。7 由于( O ) = L ( 1 ) = 0 ，在u 0 ，1 4 n 和u 1 1 4 n ，1 这两个区间内不能使用三次厄米特多项式拟合法 因此需要在这两个区间内进行线性拟合。 第一段曲线参数关于曲线长度的函数如 u ( L ) 2 志L ，L o ，L ( 1 9 ) 最后一段曲线参数关于曲线长度的函数如式( 2 0 ) m L 2 互二iz 知+ 1 一 ( 2 。) 4 n i_ L 赫L L L m ，L 。+ ( 。+ ，一。) “。一“一”+ 1 。 由此可得插补步长对应的三次非均匀B 样条的参数u i， 将“代入B 样条表达式即式( 1 ) ，得出插补点在笛卡尔空间 的坐标位置 卜= C 。( M ) Y = C ，( u ) ( 2 1 ) 、z = C ：( , t ) 5 仿真验证 为验证算法的正确性，在M A T L A B 中进行仿真分析。在 空间中任取五个示教点( 122 ) ，( 2 536 ) ，( 423 ) ，( 91 8 ) ，( 1 426 ) ，通过三次非均匀B 样条拟合机械臂末端作业 路径如图4 所示。设定机械臂末端参数V m a x = 2 m s ，o d lla x = 1 m s 2 ，J m a x = 1 m s 3 ，插补周期为5 0 m s 。用三次非均匀B 样 条拟合曲线，采用分段式轨迹规划算法对三次非均匀B 样条 进行插补，先求曲率极值点，再用辛普森积分公式分别求每 段曲线长度，通过S 型速度规划器得到插补步长，再通过对 曲线参数的反向拟合求出插补点的参数序列、计算出插补点 的位置。B 样条曲线拟合路径如图5 所示，B 样条曲线曲率 变化如图6 所示，全局S 型速度规划、分段但不提前减速S 型速度规划和分段提前减速S 型速度规划这三种不同情况 下速度规划结果分别如图7 、图8 、图9 所示，三种不同情况 下B 样条曲线局部插补效果分别如图1 0 、图1 I 、图1 2 所示。 三次非均匀B 样条插补 图5B 样条曲线拟合路径 6 结果分析 由图6 可看出拟合后的B 样条曲线共三个曲率极值点， 将曲线分成四段，通过辛普森积分公式求得四段长度分别为 4 8 0 6 、5 0 9 3 、8 6 、3 5 7 8 ，总长2 2 0 7 7 。 对比图7 、图8 和图9 可知，当对机器人作业路径不分段 进行速度规划时，机械臂末端执行器经过作业路径的曲率极 岔 l ￥ 趟 制 挥 * 图6B 样条曲率变化图 s 型速度规划( 全局) 图7B 样条全局s 型速度规划 s 型速度规划( 分段不提前减速) 图8B 样条分段S 型速度规划( 不提前减速) 值点时。速度为2 m s 即以最大速度通过曲率极值点，这会对 机器人产生较大的冲击，引起震动。 当对作业路径分段但是不考虑路径过短需要提前减速 时机器人末端会在达到设定的最大速度2 m s 之后才开始 减速，导致末端速度还未降到限制速度，路径就已经走完，从 而导致在曲率极值分段点处速度与加速度产生跳跃变化，对 机器人产生冲击。 ， 3 3 5 s 型速度规划( 分段提前减速) 图9B 样条分段S 型速度规划( 提前减速) 三次非均匀B 样条插补( 全局s 速度规划) j I ：! B 壁墨塑登盛l ：l 样条示教点l 图1 0 曲线局部插补点( 全局S 速度规划 三次非均匀B 样条插补( 分段不提前减速s 型规划) l：荐蕊蓉l D 仟幂佃f r 鼎l 图ll曲线局部插补点( 分段不提前减速s 速度规划) 当对作业路径进行分段提前减速的S 型速度规划时。 通过式( 1 8 ) 求得四段曲线末端最大限制速度为1 7 4 9 m s 、 1 8 1 1 m s 、2 m s 、1 4 5 7 m s 。由图9 可以看出，经过提前减速 的分段S 型速度规划后机械臂末端的速度全程平滑、加速 度连续，在曲率极值分段点处附近速度下降，分段点处速度 和加速度连续，不会出现图8 不提前减速的分段s 型速度规 划中的速度和加速度的突变。 3 3 6 次非均匀B 样条插补( 分段提前减速s 型规划) 1 ：! B 堂查塑盐皇1 ；l 样条示教点l 图1 2曲线局部插补点( 分段提前减速S 速度规划) 图lO 为在不分段的条件下对全局进行S 型速度规划后 的局部插补结果图。由图可以看出仅在整条曲线的开始处 插补点较密集；在曲线的中间部分包括曲率极值点处间隔较 稀疏，说明末端在曲率极值点处并未减速而是以高速通过 会引起对机器人的冲击。 图11 为分段但不提前减速的S 型速度规划后的局部插 补结果图。在每一段曲线的开始处插补点密集：中间部分及 结尾部分间隔稀疏，这是由于对于路径较短的曲线没有降低 最大限制速度提前减速，导致机械臂末端已经走完作业路径 但是速度还未降到预期值，从而在曲率极值分段点处引起速 度和加速度的突变，引起冲击。 图1 2 为分段提前减速的S 型速度规划后的局部插补结 果图。可以看出在每一段曲线的开始及结尾处插补点密集： 在中间部分间隔稀疏，说明插补算法在执行过程中对末端进 行了S 型加速减速处理，使得末端在曲率极值点也就是过弯 点附近速度降低、平稳度过；在非极值点处快速通过提高作 业效率。 对比图1 0 、图1 1 和图1 2 可知，当对焊接机器人末端自 由作业曲线按照曲率极值点分段处理并考虑路径过短提前 减速时，可以使得机器人在作业时速度和加速度连续平稳 过弯，减小冲击，表明了该算法的真实有效性。 参考文献： 1 陈伟华，张铁三次均匀有理B 样条曲线插补算法的研究J 机械设计与制造，2 0 1 0 5 6 4 ( 8 ) ：3 4 2 李林峰，马蕾三次均匀B 样条在工业机器人轨迹规划中的应 用研究 J 科学技术与工程，2 0 1 3 ，1 3 ( 1 3 ) ：3 6 2 1 3 6 2 6 3 M a s sC h e lm s f o r d ，Y a n gJ in lu M o t io nco n t r o l g e t sg r a d u a llyb e t t e r J E q u ip m e n tf o rE le ct r o n ic P r o d u ct sM a n u f a ct u r in g ，2 0 0 5 ，3 4 ( 3 ) ：2 5 2 7 4 刘蕾，曾辉，柳贺，孙英飞六自由度机器人s 型曲线速度规划 J 计算机技术与自动化，2 0 1 5 ，3 4 ( 2 ) ：4 2 4 5 5 罗福源，游有鹏，尹涓N U R B S 曲线s 形加减速双向寻优插补 算法研究 J 机械工程学报，2 0 1 2 ，4 8 ( 5 ) ：1 4 7 1 5 6 ( 下转第3 4 6 页) f 一2 r 一 H j r J ， 1 r ：_ r r ， ， r ， 、 、， r _ _ 5 0 0 时间I n s 1 5 0 0 图1 0 新的最优广义s 变换后的时频分布图( k = 1 5 ，p = 1 8 5 ) 变换后的时频分布比经过短时傅里叶变换后时频分布变得 更加细长，说明S 变换时频分辨率优于短时傅里叶变换，同 样地对比图9 与图1 0 可以看出新的最优广义S 变换的时频 分辨率优于S 变换。具体的时频聚集度值见表2 ，从表2 中 的具体数值中也可以得出以上结论。 表2 不同时频分析方法处理后的C M 值 时频分析算法C M 值 S T F l变换 S 变换 新的广义s 变换 0 0 0 5 3 0 0 0 6 4 O 0 0 7 3 5 结论 本文针对传统的S 变换存在的局限提出了一种新的最 优广义S 变换，该变换引入两个可调参数，并利用时频聚集 度准则对参数进行优化。对模拟信号和实测的探地雷达信 号的仿真结果表明，新的最优广义S 变换比短时傅里叶变换 和S 变换具有更高的时频分辨率。 参考文献： 1 赵文轲，等探地雷达属性技术进展 J 地球物理学进展， 2 0 1 2 ，2 7 ( 3 ) ：1 2 6 2 1 2 6 7 2 董建华，顾汉明，张星几种时频分析方法的比较及应用 J 工程地球物理学报，2 0 0 7 ，4 ( 4 ) ：3 1 2 3 1 6 3 张先武，高云泽，方广有带有低通滤波的广义s 变换在探地 雷达层位识别中的应用 J 地球物理学报，2 0 1 3 ，5 6 ( 1 ) ：3 0 9 3 1 6 4 庞锐，刘百红，孙成龙时频分析技术在地震勘探中的应用综 述 J 岩性油气藏，2 0 1 3 ，2 5 ( 3 ) ：9 2 9 6 5 许建文，等小波分析在地质雷达数据去噪中的运用 J 重 庆交通大学学报( 自然科学版) ，2 0 0 7 ，2 6 ( 0 1 ) ：1 0 8 一1 1 1 6 吴宝杰，杨桦，张伟光探地雷达数据的s 变换时频分析 J 上海国土资源，2 0 0 8 ，( 3 ) ：1 3 1 5 7 胡学友，李锐时频聚集性能优化的广义s 变换 J 计算机 应用研究，2 0 1 4 ，3 1 ( 1 2 ) ：3 8 2 5 3 8 2 7 8 R GS t o ck w e ll，LM a n s in h a ，RPL o w e L o ca liz a t io no ft h et o m p le xs p e ct r u m ：t h eSt r a n s f o r m J S ig n a lP r o c