2018年江苏省高考数学试卷(含答案).pdf

第 1页（共 32页） 绝密绝密启用前启用前 20182018 年年江苏江苏省高考数学试卷省高考数学试卷 考试时间：120 分钟；试卷整理：微信公众号-浙江数学 学校：_姓名：_班级：_考号：_ 题号一二总分 得分 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第第卷（选择题）卷（选择题） 评卷人得分 一填空题（共一填空题（共 1414 小题，满分小题，满分 7070 分，每小题分，每小题 5 5 分）分） 1 （5 分） （2018江苏）已知集合 A=0，1，2，8，B=1，1，6，8，那么 A B= 2（5分）（2018江苏） 若复数z满足iz=1+2i， 其中i是虚数单位， 则z的实部为 3 （5 分） （2018江苏）已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么 这 5 位裁判打出的分数的平均数为 4 （5 分） （2018江苏）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S 的值 为 第 2页（共 32页） 5 （5 分） （2018江苏）函数 f（x）=的定义域为 6 （5 分） （2018江苏）某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参 加活动，则恰好选中 2 名女生的概率为 7 （5 分） （2018江苏） 已知函数 y=sin （2x+） （） 的图象关于直线 x= 对称，则的值为 8 （5 分） （2018江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线=1（a0，b0） 的右焦点 F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为 9 （5 分） （2018江苏）函数 f（x）满足 f（x+4）=f（x） （xR） ，且在区间（2，2 上，f（x）=，则 f（f（15） ）的值为 10 （5 分） （2018江苏）如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多 面体的体积为 11 （5 分） （2018江苏）若函数 f（x）=2x 3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有 一个零点，则 f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为 第 3页（共 32页） 12 （5 分） （2018江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l：y=2x 上在第一象限内 的点，B（5，0） ，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D若=0，则点 A 的横 坐标为 13 （5 分） （2018江苏） 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， ABC=120， ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD=1，则 4a+c 的最小值为 14 （5 分） （2018江苏）已知集合 A=x|x=2n1，nN*，B=x|x=2 n，nN*将 A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列an，记 Sn为数列an的前 n 项和，则 使得 Sn12an+1成立的 n 的最小值为 第 4页（共 32页） 第第卷（非选择题）卷（非选择题） 评卷人得分 二解答题（共二解答题（共 1212 小题，满分小题，满分 150150 分）分） 15 （15 分） （2018江苏）在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，AB1B1C1 求证： （1）AB平面 A1B1C； （2）平面 ABB1A1平面 A1BC 16 （15 分） （2018江苏）已知，为锐角，tan= ，cos（+）= （1）求 cos2的值； （2）求 tan（）的值 第 5页（共 32页） 17 （15 分） （2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 （P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离 为 50 米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形 ABCD，大 棚内的地块形状为CDP，要求 A，B 均在线段 MN 上，C，D 均在圆弧上设 OC 与 MN 所成的角为 （1）用分别表示矩形 ABCD 和CDP 的面积，并确定 sin的取值范围； （2）若大棚 I 内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面 积年产值之比为 4：3求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 第 6页（共 32页） 18 （15 分） （2018江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点（） ，焦 点 F1（，0） ，F2（，0） ，圆 O 的直径为 F1F2 （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； 直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点若OAB 的面积为，求直线 l 的方程 19 （15 分） （2018江苏）记 f（x） ，g（x）分别为函数 f（x） ，g（x）的导函数 若 存在 x0R，满足 f（x0）=g（x0）且 f（x0）=g（x0） ，则称 x0为函数 f（x）与 g（x） 的一个“S 点” （1）证明：函数 f（x）=x 与 g（x）=x 2+2x2 不存在“S 点” ； （2）若函数 f（x）=ax 21 与 g（x）=lnx 存在“S 点” ，求实数 a 的值； （3）已知函数 f（x）=x 2+a，g（x）= 对任意 a0，判断是否存在 b0，使函 数 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点” ，并说明理由 第 7页（共 32页） 20 （15 分） （2018江苏）设an是首项为 a1，公差为 d 的等差数列，bn是首项为 b1， 公比为 q 的等比数列 （1）设 a1=0，b1=1，q=2，若|anbn|b1对 n=1，2，3，4 均成立，求 d 的取值范围； （2）若 a1=b10，mN*，q（1，证明：存在 dR，使得|anbn|b1对 n=2， 3，m+1 均成立，并求 d 的取值范围（用 b1，m，q 表示） 21 （10 分） （2018江苏）如图，圆 O 的半径为 2，AB 为圆 O 的直径，P 为 AB 延长线上 一点，过 P 作圆 O 的切线，切点为 C若 PC=2，求 BC 的长 第 8页（共 32页） 22 （10 分） （2018江苏）已知矩阵 A= （1）求 A 的逆矩阵 A 1； （2）若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P（3，1） ，求点 P 的坐标 23 （10 分） （2018江苏）在极坐标系中，直线 l 的方程为sin（）=2，曲线 C 的方程为=4cos，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长 24 （10 分） （2018江苏）若 x，y，z 为实数，且 x+2y+2z=6，求 x 2+y2+z2的最小值 第 9页（共 32页） 25 （10 分） （2018江苏）如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AB=AA1=2，点 P，Q 分别 为 A1B1，BC 的中点 （1）求异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值； （2）求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值 26 （10 分） （2018江苏）设 nN *，对 1，2，n 的一个排列 i 1i2in，如果当 st 时，有 isit，则称（is，it）是排列 i1i2in的一个逆序，排列 i1i2in的所 有逆序的总个数称为其逆序数例如：对 1，2，3 的一个排列 231，只有两个逆序（2， 1） ， （3，1） ，则排列 231 的逆序数为 2记 fn（k）为 1，2，n 的所有排列中逆序 数为 k 的全部排列的个数 （1）求 f3（2） ，f4（2）的值； （2）求 fn（2） （n5）的表达式（用 n 表示） 第 10页（共 32页） 20182018 年年江苏省江苏省高考数学试卷高考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一填空题（共一填空题（共 1414 小题，满分小题，满分 7070 分，每小题分，每小题 5 5 分）分） 1 （5 分） （2018江苏）已知集合 A=0，1，2，8，B=1，1，6，8，那么 AB= 1，8 【分析】直接利用交集运算得答案 【解答】解：A=0，1，2，8，B=1，1，6，8， AB=0，1，2，81，1，6，8=1，8， 故答案为：1，8 【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题 2（5 分）（2018江苏） 若复数 z 满足 iz=1+2i， 其中 i 是虚数单位， 则 z 的实部为2 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由 iz=1+2i， 得 z=， z 的实部为 2 故答案为：2 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分） （2018江苏）已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么 这 5 位裁判打出的分数的平均数为90 第 11页（共 32页） 【分析】根据茎叶图中的数据计算它们的平均数即可 【解答】解：根据茎叶图中的数据知， 这 5 位裁判打出的分数为 89、89、90、91、91， 它们的平均数为 （89+89+90+91+91）=90 故答案为：90 【点评】本题考查了利用茎叶图计算平均数的问题，是基础题 4 （5 分） （2018江苏）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S 的值 为8 【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的 S 值 【解答】解：模拟程序的运行过程如下； I=1，S=1， I=3，S=2， I=5，S=4， I=7，S=8， 此时不满足循环条件，则输出 S=8 故答案为：8 第 12页（共 32页） 【点评】本题考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法 5 （5 分） （2018江苏）函数 f（x）=的定义域为2，+） 【分析】解关于对数函数的不等式，求出 x 的范围即可 【解答】解：由题意得：1， 解得：x2， 函数 f（x）的定义域是2，+） 故答案为：2，+） 【点评】本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题 6 （5 分） （2018江苏）某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参 加活动，则恰好选中 2 名女生的概率为0.3 【分析】（适合理科生） 从2名男同学和3 名女同学中任选2人参加社区服务， 共有C5 2=10 种，其中全是女生的有 C3 2=3 种，根据概率公式计算即可， （适合文科生） ，设 2 名男生为 a，b，3 名女生为 A，B，C，则任选 2 人的种数为 ab， aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC 共 10 种，其中全是女生为 AB，AC，BC 共 3 种， 根据概率公式计算即可 【解答】解： （适合理科生）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务， 共有 C5 2=10 种，其中全是女生的有 C 3 2=3 种， 故选中的 2 人都是女同学的概率 P=0.3， （适合文科生） ，设 2 名男生为 a，b，3 名女生为 A，B，C， 则任选 2 人的种数为 ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC 共 10 种， 其中全是女生为 AB，AC，BC 共 3 种， 第 13页（共 32页） 故选中的 2 人都是女同学的概率 P=0.3， 故答案为：0.3 【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题 7 （5 分） （2018江苏） 已知函数 y=sin （2x+） （） 的图象关于直线 x= 对称，则的值为 【分析】根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可 【解答】解：y=sin（2x+） （）的图象关于直线 x=对称， 2+=k+，kZ， 即=k， ， 当 k=0 时，=， 故答案为： 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系 是解决本题的关键 8 （5 分） （2018江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线=1（a0，b0） 的右焦点 F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为2 【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可 【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的右焦点 F（c，0）到一条渐近线 y= x 的距离为c， 第 14页（共 32页） 可得：=b=， 可得，即 c=2a， 所以双曲线的离心率为：e= 故答案为：2 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力 9 （5 分） （2018江苏）函数 f（x）满足 f（x+4）=f（x） （xR） ，且在区间（2，2 上，f（x）=，则 f（f（15） ）的值为 【分析】根据函数的周期性，进行转化求解即可 【解答】解：由 f（x+4）=f（x）得函数是周期为 4 的周期函数， 则 f（15）=f（161）=f（1）=|1+ |= ， f（ ）=cos（）=cos=， 即 f（f（15） ）=， 故答案为： 【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用 转化法是解决本题的关键 10 （5 分） （2018江苏）如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多 面体的体积为 第 15页（共 32页） 【分析】求出多面体中的四边形的面积，然后利用体积公式求解即可 【解答】解：正方体的棱长为 2，中间四边形的边长为：， 八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为 1， 多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2= 故答案为： 【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力 11 （5 分） （2018江苏）若函数 f（x）=2x 3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有 一个零点，则 f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为3 【分析】推导出 f（x）=2x（3xa） ，x（0，+） ，当 a0 时，f（x）=2x（3x a）0，f（0）=1，f（x）在（0，+）上没有零点；当 a0 时，f（x）=2x（3x a）0 的解为 x ，f（x）在（0， ）上递减，在（ ，+）递增，由 f（x）只 有一个零点，解得 a=3，从而 f（x）=2x 33x2+1，f（x）=6x（x1） ，x1，1， 利用导数性质能求出 f（x）在1，1上的最大值与最小值的和 【解答】解：函数 f（x）=2x 3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点， f（x）=2x（3xa） ，x（0，+） ， 第 16页（共 32页） 当 a0 时，f（x）=2x（3xa）0， 函数 f（x）在（0，+）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+）上没有零点， 舍去； 当 a0 时，f（x）=2x（3xa）0 的解为 x ， f（x）在（0， ）上递减，在（ ，+）递增， 又 f（x）只有一个零点， f（ ）=+1=0，解得 a=3， f（x）=2x 33x2+1，f（x）=6x（x1） ，x1，1， f（x）0 的解集为（1，0） ， f（x）在（1，0）上递增，在（0，1）上递减， f（1）=4，f（0）=1，f（1）=0， f（x）min=f（1）=4，f（x）max=f（0）=1， f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为： f（x）max+f（x）min=4+1=3 【点评】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能 力和综合应用能力，是中档题 12 （5 分） （2018江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l：y=2x 上在第一象限内 的点，B（5，0） ，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D若=0，则点 A 的横 坐标为3 【分析】设 A（a，2a） ，a0，求出 C 的坐标，得到圆 C 的方程，联立直线方程与圆的 方程，求得 D 的坐标，结合=0 求得 a 值得答案 【解答】解：设 A（a，2a） ，a0， 第 17页（共 32页） B（5，0） ，C（，a） ， 则圆 C 的方程为（x5） （xa）+y（y2a）=0 联立，解得 D（1，2） = 解得：a=3 或 a=1 又 a0，a=3 即 A 的横坐标为 3 故答案为：3 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题 13 （5 分） （2018江苏） 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， ABC=120， ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD=1，则 4a+c 的最小值为9 【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式 1 的代换进行求解即可 【解答】解：由题意得 acsin120= asin60+ csin60， 即 ac=a+c， 得 + =1， 得 4a+c=（4a+c） （ + ）= +52+5=4+5=9， 当且仅当 =，即 c=2a 时，取等号， 故答案为：9 【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用 1 的代换结合基本不等式是解决本题 的关键 14 （5 分） （2018江苏）已知集合 A=x|x=2n1，nN*，B=x|x=2 n，nN*将 A 第 18页（共 32页） B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列an，记 Sn为数列an的前 n 项和，则 使得 Sn12an+1成立的 n 的最小值为27 【分析】采用列举法，验证 n=26，n=27 即可 【解答】解：利用列举法可得： S26=，a27=43，12a27=516，不符合题意 S27=546，28=451228=540，符合题意， 故答案为：27 【点评】本题考查了集合、数列的求和，属于中档题 二解答题（共二解答题（共 1212 小题，满分小题，满分 150150 分）分） 15 （15 分） （2018江苏）在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，AB1B1C1 求证： （1）AB平面 A1B1C； （2）平面 ABB1A1平面 A1BC 【分析】 （1）由AB平面 A1B1C； （2）可得四边形 ABB1A1是菱形，AB1A1B， 由 AB1B1C1AB1BCAB1面 A1BC，平面 ABB1A1平面 A1BC 【解答】证明： （1）平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1， 第 19页（共 32页） AB平面 A1B1C； （2）在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，四边形 ABB1A1是菱形，AB1A1B 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，AB1B1C1AB1BC AB1面 A1BC，且 AB1平面 ABB1A1平面 ABB1A1平面 A1BC 【点评】本题考查了平行六面体的性质，及空间线面平行、面面垂直的判定，属于中 档题 16 （15 分） （2018江苏）已知，为锐角，tan= ，cos（+）= （1）求 cos2的值； （2）求 tan（）的值 【分析】 （1）由已知结合平方关系求得 sin，cos的值，再由倍角公式得 cos2的 值； （2）由（1）求得 tan2，再由 cos（+）=求得 tan（+） ，利用 tan（ ）=tan2（+），展开两角差的正切求解 【解答】解： （1）由，解得， cos2=； （2）由（1）得，sin2，则 tan2= ，（0，） ，+（0，） ， 第 20页（共 32页） sin（+）= 则 tan（+）= tan（）=tan2（+）= 【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的 应用，是中档题 17 （15 分） （2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 （P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离 为 50 米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形 ABCD，大 棚内的地块形状为CDP，要求 A，B 均在线段 MN 上，C，D 均在圆弧上设 OC 与 MN 所成的角为 （1）用分别表示矩形 ABCD 和CDP 的面积，并确定 sin的取值范围； （2）若大棚 I 内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面 积年产值之比为 4：3求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 【分析】 （1）根据图形计算矩形 ABCD 和CDP 的面积，求出 sin的取值范围； （2）根据题意求出年总产值 y 的解析式，构造函数 f（） ， 利用导数求 f（）的最大值，即可得出为何值时年总产值最大 【解答】解： （1）S 矩形 ABCD=（40sin+10）80cos =800（4sincos+cos） ， SCDP= 80cos（4040sin） 第 21页（共 32页） =1600（coscossin） ， 当 B、N 重合时，最小，此时 sin= ； 当 C、P 重合时，最大，此时 sin=1， sin的取值范围是 ，1） ； （2） 设年总产值为 y， 甲种蔬菜单位面积年产值为 4t， 乙种蔬菜单位面积年产值为 3t， 则 y=3200t（4sincos+cos）+4800t（coscossin） =8000t（sincos+cos） ，其中 sin ，1） ； 设 f（）=sincos+cos， 则 f（）=cos 2sin2sin =2sin 2sin+1； 令 f（）=0，解得 sin= ，此时=，cos=； 当 sin ， ）时，f（）0，f（）单调递增； 当 sin ，1）时，f（）0，f（）单调递减； =时，f（）取得最大值，即总产值 y 最大 答： （1）S 矩形 ABCD=800（4sincos+cos） ， SCDP=1600（coscossin） ， sin ，1） ； （2）=时总产值 y 最大 【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了构造函数以及利用导数求函数的 最值问题，是中档题 18 （15 分） （2018江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点（） ，焦 点 F1（，0） ，F2（，0） ，圆 O 的直径为 F1F2 第 22页（共 32页） （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； 直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点若OAB 的面积为，求直线 l 的方程 【分析】 （1）由题意可得，又 a 2+b2=c2=3，解得 a=2，b=1 即可 （2）可设直线 l 的方程为 y=kx+m， （k0，m0） 可得 由，可得（4k 2+1）x2+8kmx+4m24=0，=（8km）24（4k2+1） （4m24）=0， 解得 k=，m=3即可 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立直线与椭圆方程得（4k 2+1）x2+8kmx+4m24=0， O 到直线 l 的距离 d=，|AB|=|x2x1|=， OAB 的面积为 S=， 解得 k=， （正值舍去） ，m=3即可 【解答】解： （1）由题意可设椭圆方程为， 焦点 F1（，0） ，F2（，0） ， ，又 a 2+b2=c2=3， 第 23页（共 32页） 解得 a=2，b=1 椭圆 C 的方程为：，圆 O 的方程为：x 2+y2=3 （2）可知直线 l 与圆 O 相切，也与椭圆 C，且切点在第一象限， 可设直线 l 的方程为 y=kx+m， （k0，m0） 由圆心（0，0）到直线 l 的距离等于圆半径，可得 由，可得（4k 2+1）x2+8kmx+4m24=0， =（8km） 24（4k2+1） （4m24）=0， 可得 m 2=4k2+1，3k2+3=4k2+1，结合 k0，m0，解得 k= ，m=3 将 k=，m=3 代入可得， 解得 x=，y=1，故点 P 的坐标为（ 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由k 联立直线与椭圆方程得（4k 2+1）x2+8kmx+4m24=0， |x2x1|=， O 到直线 l 的距离 d=， |AB|=|x2x1|=， OAB 的面积为 S=， 解得 k=， （正值舍去） ，m=3 第 24页（共 32页） y=为所求 【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于中档题 19 （15 分） （2018江苏）记 f（x） ，g（x）分别为函数 f（x） ，g（x）的导函数 若 存在 x0R，满足 f（x0）=g（x0）且 f（x0）=g（x0） ，则称 x0为函数 f（x）与 g（x） 的一个“S 点” （1）证明：函数 f（x）=x 与 g（x）=x 2+2x2 不存在“S 点” ； （2）若函数 f（x）=ax 21 与 g（x）=lnx 存在“S 点” ，求实数 a 的值； （3）已知函数 f（x）=x 2+a，g（x）= 对任意 a0，判断是否存在 b0，使函 数 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点” ，并说明理由 【分析】 （1）根据“S 点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可； （2）根据“S 点”的定义解两个方程即可； （3）分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可 【解答】解： （1）证明：f（x）=1，g（x）=2x+2， 则由定义得，得方程无解，则 f（x）=x 与 g（x）=x 2+2x2 不存在“S 点” ； （2）f（x）=2ax，g（x）= ，x0， 由 f（x）=g（x）得 =2ax，得 x=， f（）= =g（）= lna2，得 a= ； （3）f（x）=2x，g（x）=， （x0） ， 由 f（x0）=g（x0） ，得 b=0，得 0x01， 由 f（x0）=g（x0） ，得x0 2+a= =，得 a=x0 2 ， 第 25页（共 32页） 令 h（x）=x 2 a=， （a0，0x1） ， 设 m（x）=x 3+3x2+axa， （a0，0x1） ， 则 m（0）=a0，m（1）=20，得 m（0）m（1）0， 又 m（x）的图象在（0，1）上连续不断， 则 m（x）在（0，1）上有零点， 则 h（x）在（0，1）上有零点， 则 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S”点 【点评】本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是否有解 是解决本题的关键 20 （15 分） （2018江苏）设an是首项为 a1，公差为 d 的等差数列，bn是首项为 b1， 公比为 q 的等比数列 （1）设 a1=0，b1=1，q=2，若|anbn|b1对 n=1，2，3，4 均成立，求 d 的取值范围； （2）若 a1=b10，mN*，q（1，证明：存在 dR，使得|anbn|b1对 n=2， 3，m+1 均成立，并求 d 的取值范围（用 b1，m，q 表示） 【分析】 （1）根据等比数列和等差数列的通项公式，解不等式组即可； （2）根据数列和不等式的关系，利用不等式的关系构造新数列和函数，判断数列和函 数的单调性和性质进行求解即可 【解答】解： （1）由题意可知|anbn|1 对任意 n=1，2，3，4 均成立， a1=0，q=2， ，解得即 d 第 26页（共 32页） 证明： （2）an=a1+（n1）d，bn=b1q n1， 若存在 dR，使得|anbn|b1对 n=2，3，m+1 均成立， 则|b1+（n1）db1q n1|b 1， （n=2，3，m+1） ， 即b1d， （n=2，3，m+1） ， q（1，则 1q n1qm2， （n=2，3，m+1） ， b10，0， 因此取 d=0 时，|anbn|b1对 n=2，3，m+1 均成立， 下面讨论数列的最大值和数列的最小值， 当 2nm 时，=， 当 1q时，有 q nqm2， 从而 n（q nqn1）qn+20， 因此当 2nm+1 时，数列单调递增， 故数列的最大值为 设 f（x）=2 x（1x） ，当 x0 时，f（x）=（ln21xln2）2x0， f（x）单调递减，从而 f（x）f（0）=1， 当 2nm 时，=（1 ）=f（ ）1， 因此当 2nm+1 时，数列单调递递减， 第 27页（共 32页） 故数列的最小值为， d 的取值范围是 d， 【点评】本题主要考查等比数列和等差数列以及不等式的综合应用，考查学生的运算 能力，综合性较强，难度较大 21 （10 分） （2018江苏）如图，圆 O 的半径为 2，AB 为圆 O 的直径，P 为 AB 延长线上 一点，过 P 作圆 O 的切线，切点为 C若 PC=2，求 BC 的长 【分析】连接 OC，由题意，CP 为圆 O 的切线，得到垂直关系，由线段长度及勾股定理， 可以得到 PO 的长，即可判断COB 是等边三角形，BC 的长 【解答】解：连接 OC， 因为 PC 为切线且切点为 C， 所以 OCCP 因为圆 O 的半径为 2， 所以 BO=OC=2， 所以， 所以COP=60， 所以COB 为等边三角形， 所以 BC=BO=2 第 28页（共 32页） 【点评】本题主要考查圆与直线的位置关系，切线的应用，考查发现问题解决问题的 能力 22 （10 分） （2018江苏）已知矩阵 A= （1）求 A 的逆矩阵 A 1； （2）若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P（3，1） ，求点 P 的坐标 【分析】 （1）矩阵 A=，求出 det（A）=10，A 可逆，然后求解 A 的逆矩阵 A 1 （2）设 P（x，y） ，通过=，求出=，即可得到点 P 的坐标 【解答】解： （1）矩阵 A=，det（A）=2213=10，所以 A 可逆， 从而：A 的逆矩阵 A 1= （2）设 P（x，y） ，则=，所以=A 1 =， 因此点 P 的坐标为（3，1） 【点评】本题矩阵与逆矩阵的关系，逆矩阵的求法，考查转化思想的应用，是基本知 识的考查 23 （10 分） （2018江苏）在极坐标系中，直线 l 的方程为sin（）=2，曲线 C 的方程为=4cos，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长 【分析】将直线 l、曲线 C 的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程，利用直线与 圆的相交弦长公式即可求解 【解答】解：曲线 C 的方程为=4cos， 2=4cos，x2+y2=4x， 曲线 C 是圆心为 C（2，0） ，半径为 r=2 得圆 直线 l 的方程为sin（）=2，=2， 直线 l 的普通方程为：xy=4 第 29页（共 32页） 圆心 C 到直线 l 的距离为 d=， 直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2 【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的相交弦长关系、点到 直线的距离公式，属于中档题 24 （10 分） （2018江苏）若 x，y，z 为实数，且 x+2y+2z=6，求 x 2+y2+z2的最小值 【分析】根据柯西不等式进行证明即可 【解答】解：由柯西不等式得（x 2+y2+z2） （12+22+22）（x+2y+2z）2， x+2y+2z=6，x 2+y2+z24 是当且仅当时，不等式取等号，此时 x= ，y= ，z= ， x 2+y2+z2的最小值为 4 【点评】本题主要考查不等式的证明，利用柯西不等式是解决本题的关键 ， 25 （10 分） （2018江苏）如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AB=AA1=2，点 P，Q 分别 为 A1B1，BC 的中点 （1）求异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值； （2）求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值 【分析】设 AC，A1C1的中点分别为 O，O1，以为基底，建立空间直角坐标 第 30页（共 32页） 系 Oxyz， （1）由|cos|=可得异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值； （2）求得平面 AQC1的一个法向量为 ，设直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值为， 可得sin=|cos|=， 即可得直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值 【解答】解：如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中， 设 AC，A1C1的中点分别为 O，O1， 则，OBOC，OO1OC，OO1