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门爱东教授 menad,数字信号处理 Digital Signal Processing,第 4 章 IIR 数字滤波器设计和实现,2,主题概述,1 -绪论 2 -离散时间信号和离散时间系统 3 -离散傅里叶变换及其快速计算方法 4 IIR 数字滤波器设计和实现 4.1) 概述 4.2) 模拟滤波器设计 4.3) 模拟滤波器的数字仿真 4.4) 冲激响应不变法 4.5) 双线性变换法 4.6) 数字滤波器的频率变换 4.7) IIR 数字滤波器的计算机辅助设计 4.8) IIR 数字滤波器的实现结构 4.9) IIR 数字滤波器的应用 4.10) 本章小结 5 FIR 数字滤波器设计和实现 6 数字信号处理中的有限字长效应,3,4.1.1 IIR DF 概述：分类,4,数字域性能指标 通带截止频率 p 带内波动Ap(dB，相对指标)或带内容限p(绝对指标) 阻带截止频率 s 阻带衰减 As(dB，相对指标)或阻带容限s(绝对指标）。,4.1.2 IIR DF 概述：性能指标,5,IIR DF 设计流程,4.1.3 IIR DF 概述：设计过程,6,4.1.3 IIR DF 概述：设计方法,直接设计 累试(只适用于简单 DF 的设计) ； 极点峰值；零点谷值 设置其零极点以达到简单的性能要求 特点：简单，但是需要经验。 优化设计 CAD 系统函数 H(z) 的系数 ak, bk 或零极点 ci, di 等参数，可采用优化设计方法确定。 步骤： 优化原则 最小均方误差准则，绝对误差准则等; 赋予初值; 根据优化准则计算误差; 改变参数赋值，再次计算误差，如此迭代下去，直至误差达到最小。,7,(模拟滤波器的设计理论已相当成熟，并可利用完备的图、表加快设计过程),模拟-数字滤波器变换方法：冲激响应不变法和双线性变换法。也就是根据什么准则把 Ha(S) 转换为 H(z)。,4.1.3 IIR DF 概述：设计方法,间接设计:用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器（模拟原型法）,8,为什么要研究模拟滤波器？ DF 是数字信号处理中极为重要的应用，但 DF 是近几十年发展起来的，它在很多方面要使用模拟滤波器的概念和知识； 模拟滤波器本身也很有用的。 因此，在研究 DF 之前，我们先讨论模拟滤波器的特性和用逼近方法求其转移函数。 为什么设计滤波器必须用逼近的方法？ 这是由于滤波器的理想特性是不能实现的，而必须用逼近的方法。,4.2 模拟滤波器的设计,9,理想滤波器,设一滤波器输入信号为 x(t) ，其输出为 y(t)，系统的单位冲激响应为 h(t)。若 y(t) = kx(t-td)，k 为常数，则为理想滤波器,频率响应定义为：,4.2.1 AF 设计：理想滤波器的频率响应,x(t),y(t)=kx(t-td),理想滤波,10,4.2.1 AF 设计：理想滤波器的频率响应,目的：求模拟滤波器的系统函数 Ha(s)； Ha(s) 的构造：性能指标 |Ha(j)|2 零、极点的分配 Ha(s),若要求稳定且因果，则 将左半平面的极点作为 Ha(s) 的极点； 若要求最小相位，则 将左半平面的零点作为Ha(s)的零点；,(幅度平方函数),S 平面的虚轴 j，即s=j，对应于傅里叶变换。,|H(j)| 是 的偶函数,11,问题的提出：滤波器的理想特性无法实现，只能是近似实现。,模拟滤波器的幅频特性,4.2.2 AF 设计：模拟滤波器特性的逼近,技术要求 LPF的技术要求包括： 截止频率（或通带的频率上限）p 通带内所允许的最大衰减或波动 p 阻带下限频率 s 阻带内所要求的最小衰减 s,12,4.2.2 AF 设计：模拟滤波器特性的逼近,逼近方法 若给定了衰减 () 或 |Hd(j)|，则找某种方法逼近 () 或 |Hd(j)|。 使 |k(j)|2 等于一个以 2 为自变量的多项式或有理式。 由此，根据逼近函数（多项式或有理式）的不同，有多种不同类型的滤波器：,巴特沃思逼近 切比雪夫逼近 逆切比雪夫逼近 椭圆逼近 ,13,Butterworth 模拟滤波器设计,4.2.3 AF 设计：巴特沃思滤波器,特点： （1）3dB点及其不变性； （2）单调下降性； （3）最大平坦性；,14,图表法 模拟滤波器理论已相当成熟，实际中我们更多的是采用查表法，其设计步骤概括起来有以下几个方面： 将频率归一化（注意：给出的表格都是以 3dB 点频率 c 为参考频率，即参数 =1）； 由归一化频率幅频特性曲线 (见图4.7)，查得阶数N； 查表4.2，得 H(P) 的分母多项式； 把 p=s/p 代入分母多项式中，得对应于真实频率的系统函数 H(s)：,4.2.3 AF 设计：巴特沃思滤波器,15,4.2.3 AF 设计：巴特沃思滤波器,由此式确定的滤波器在阻带处正好满足设计要求。,由此式确定的滤波器通带截止频率处正好满足设计要求。 类似地，也可以由阻带截止频率s 处的衰减 As 求得 3dB 截止频率 c ：,如果给定的是其它频率处（例如p）的指标，则由通带频率 p 处的衰减 Ap 求得 3dB 截止频率 c ：,16,Chebyshev 模拟滤波器设计,4.2.4 AF 设计：切比雪夫滤波器,17,4.2.4 AF 设计：切比雪夫滤波器,查表法 归一化 p, s ; 查曲线 (图4.10)，确定滤波器的阶数 N; 查表（表4.34.5 上部），得 查表 (表4.34.5)，得 H(P) 分母多项式的因式形式，求得 H(p)； 求得,注意： 这里的切比雪夫表格曲线，没有特指 3dB 频率点，即 wp 可以是任意频率点（0.1dB、0.2dB、3dB）。,18,相同技术指标下实现阶数 N：Cauer 型最低。 相同阶数下 Butterworth 型实现最简单。 Chebyshev 型性能居中。 要根据具体要求综合考虑选择设计类型,Butterworth，Chebyshev I，Chebyshev II，Cauer,4.2.4 AF 设计：模拟滤波器比较,19,模拟滤波器的频率变换,4.2.5 AF 设计：模拟滤波器频率变换,20,参数的定义 p ：所要求滤波器的通带截止频率 p 2 和 W p1：所要求滤波器的通带上下截止频率 s ：所要求滤波器的阻带截止频率 s2 和 W s1 ：所要求滤波器的阻带上下截止频率 0：滤波器的通带中心频率 ：取决于滤波器类型的归一化参数 B：滤波器的通带带宽,4.2.5 AF 设计：模拟滤波器频率变换,21,非几何对称型滤波器的频率转换 当所求带通或带阻滤波器的两个通带截止频率和两个阻带截止频率都关于中心频率 0 呈几何对称时，有： 由归一化低通滤波器频率转换得到的带通滤波器和带阻滤波器都是关于0呈几何对称的。 当不满足对称特性时，必须在满足设计指标的前提下，首先调整截止频率，以调整后的几何对称参数进行设计。,4.2.5 AF 设计：模拟滤波器频率变换,22,用频率变换法设计模拟滤波器的步骤: 确定低通、高通、带通、带阻模拟滤波器的技术要求，（若带通、带阻是非几何对称时，要首先作参数调整，使其呈对称）； 根据参数表确定归一化低通滤波器的技术指标：通带截止频率p，阻带截止频率s，阻带衰减Ap(dB)，阻带衰减As(dB)； 根据上述四个技术指标，用巴特沃思、切比雪夫或椭圆逼近法来设计归一化低通滤波器； 查变换关系表得到要求的非归一化模拟滤波器。,4.2.5 AF 设计：模拟滤波器频率变换,23,根据要保留的模拟和数字滤波器的特性不同。主要有以下映射方法：,保留脉冲响应的形状-冲激响应不变法 保留阶跃响应的形状-阶跃响应不变法 保留从模拟到数字的系统函数表示-双线性变换法,实现思想：,s 平面 z 平面 模拟系统 Ha(s) H(z) 数字系统,H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应， 即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆。 因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) ， 即s 左半平面 Res 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| 1。,4.3 模拟滤波器的数字仿真,24,IIR DF 冲激响应不变法,4.4 冲激响应不变法,25,对已知的 Ha(s) 进行拉氏反变换，求得 ha(t)；,对 ha(t) 进行取样，得 ha(nT)；,根据冲激响应不变，令 h(n) = T ha(nT)，以求得 h(n)；,对 h(n) 进行 z 变换，得 H(z)。,即：,4.4 冲激响应不变法,冲激响应不变法的设计步骤,26,确定 T，并选择模拟频率：,根据指标 p、s、Rp、As，设计模拟低通滤波器 Ha(s)。这个模拟滤波器可以是前面讲过的三种原型滤波器（Butterworth、chebyshev1、 Cauer ）之一。,把 Ha(s) 展成部分分式形式：,把模拟极点si转换成数字极点esiT，得到数字滤波器的传输函数：,4.4 冲激响应不变法,对于给定数字低通滤波器技术指标 wp、ws、Rp 和 As，采用冲激响应不变法设计数字滤波器的过程如下：,27,根据 h(n) =T ha(nT)，从时域完成数字化设计，DF 和 AF 之间具有相近似的时域瞬态特征；(优点),数字频率和模拟滤波器频率之间的关系为=T，即两者间呈线性关系；(无非线性失真问题),当Ha()不严格限带，或 ha(t) 变化不太平稳，而设计性能要求又高时，则不宜采用此法。包括： 不能设计阻带内存在振荡的滤波器，例如 Chebyshev II 滤波器和椭圆滤波器。 不能直接设计高通、带阻滤波器，因为高通、带阻滤波器不是限带的，不能用冲激响应不变法实现模拟滤波器 H(s) 到数字滤波器 H(z) 的转换。 冲激响应不变法只适合频率响应在高频处单调递减的模拟原型滤波器。这极大地限制了它的应用。,延拓相加与混叠；S 与Z 是多对一的关系。(缺点),时域中能模仿模拟滤波器特性，但产生频率响应的混叠失真。,4.4 冲激响应不变法,冲激响应不变法的特点,28,基本思路:,1) 构造从 S 平面到 S1 平面的单值映射：,2) 构造从 S1 平面到 Z 平面的单值映射：,实际上，我们不需要每次都从 S 平面S1平面Z平面，而是直接求出 S=f(Z) 的关系，然后代入Ha(s)，得 H(z)，即H(z) = Ha(s)|s = f(z)。,4.5 双线性变换法,简化步骤：,29,IIR DF 双线性变换法,4.5 双线性变换法,30,DF 的性能指标： s、p、Ap 和 As；,预畸变，根据= (2/T) tan(/2) 转换 DF 性能指标，求得相应的 AF 的性能指标 s、p；,根据s、p、Ap、As 设计模拟低通原型滤波器，得到 AF 的系统函数 Ha(s),利用双线性变换得到数字滤波器的传输函数，即：,4.5 双线性变换法,双线性变换法设计步骤,31,4.5 双线性变换法,双线性变换法的优缺点 缺点：非线性的频率变换将导致相频特性的失真。 优点： 无混叠。在窄带内能近似保持原幅频特性，即使频带拖尾，也不产生混迭。 处理简单。因 S 平面与 Z 平面之间有简单的代数关系，可从模拟传递函数直接通过代数置换得到数字滤波器的系统函数。 易于获得 DF 幅频特性。如果已知 AF 的幅频特性 |H(j)|,把 = (2/T) tan(/2) 直接代入|H(j)|，即可得到 DF 的幅频特性 |H(ej)|，但不能给出滤波器实现所需要的传输函数 H(z) 或差分方程。 目前最普遍采用的设计方法。一般说，着眼于瞬态响应时，采用冲激响应不变法较好，其它以双线性较好，双线性变换法对进行变换的滤波器类型没有限制，能直接用于设计低通、高通、带通、带阻等各种类型的数字滤波器。,32,4.6 数字滤波器的频率变换：变换关系式,33,IIR DF 设计方法一：模拟频率变换,4.6 数字滤波器的频率变换,模拟数字滤波器变换,双线性变换,模拟频率变换,所需的 DF Hd(z) 性能要求,AF Hd(s) 性能要求,AF HLP(p) 性能要求,所需的(HP、BP、BS) AF的传输函数Hd(s),所需的DF 传输函数Hd(z),模拟滤波器设计,数字模拟指标转换,模拟低通 原型HLP(p),低通模拟指标转换,34,IIR DF 设计方法二：数字频率变换,4.6 数字滤波器的频率变换,所需的 DF Hd(z) 性能要求,AF Hd(s) 性能要求,AF HLP(p) 性能要求,所需的DF 传输函数Hd(z),模拟滤波器设计,数字模拟指标转换,模拟低通 原型HLP(p),低通模拟指标转换,数字频 率变换,模拟数字 滤波器变换,数字低通滤波器HLP(z),35,IIR DF 设计方法三：任意参考频率,4.6 数字滤波器的频率变换,所需的 DF Hd(z) 性能要求,DF HLP(z) 性能要求,AF HLP(p) 性能要求,模拟滤波器设计,低通数字指标转换,模拟低通 原型HLP(p),低通模拟指标转换,对于数字低通滤波器和原型模拟低通滤波器的截止频率，可以任意设定它们中间中的一个，另一个按双线性变换的频率关系确定； 按着使计算尽量简单的原则设定模拟或数字 LPF 中的一个截止频率。 不同的截止频率，结果可能不同，但都满足性能要求。同样的，这里讲的三个方法，结果可能不同，但都满足性能要求。,所需的DF 传输函数Hd(z),数字频 率变换,模拟数字 滤波器变换,数字低通滤波器HLP(z),36,IIR DF 设计方法： 冲激响应不变法 双线性变换法 从低通到高通等的频率变换 这些设计的基本特点是： 利用模拟滤波器的传输函数导出相应的数字滤波器的传输函数 可以借用现有的模拟滤波器的公式和表格曲线，因而比较简单 计算机辅助设计 实际应用中只能在有限点上给出一定的指标，可用巴特沃思、切比雪夫和椭圆等滤波器去逼近它，但最终所得到的频率响应和预期的频率响应总会有差别，且当阶数变高时，IIR 滤波器的设计要处理非常复杂的计算，这时就需要借助于最优化设计理论和迭代算法来逼近正确的滤波器。 此方法可以设计任意幅频响应的数字滤波器。 IIR DF 计算机辅助设计主要有两个问题： 误差判别准则； 所用的最优化算法。,4.7 IIR DF 的计算机辅助设计,37,对于一个离散系统，可以用以下几种数学表达式形式表示它的差分方程： 传递函数 零极点增益 部分分式 二次分式 卷积矩阵 状态空间 不同数学表达式可对应不同信号流图结构。 直接型 正准型 级联型 并联型 每一个传输函数（差分方程）都存在着多种不同的信号流图网络结构。因此，每种系统都有多种不同的实现方案。不同的实现方案具有不同的系统性能，要进行综合考虑。根据实际需要，选择适当的结构。,4.8 IIR DF 实现结构,38,IIR DF 滤波器分为两个部分：滑动平均部分和递归部分（或者分子和分母部分，零点和极点部分），可得其信号流图，它是对其传输函数 H(z) 的直接实现。因此，叫它直接型结构。,4.8 IIR DF 实现结构：直接型,直接型 IIR 滤波器的一种形式,图中的加法器有 ( N+M1)输入， 不切实际,39,两个独立网络的级联,4.8 IIR DF 实现结构：直接 I 型,图中共有: (N+M+1) 乘法器 ( N+M) 加法器 ( N+M) 延迟单元,直接 I 型,40,4.8 IIR DF 实现结构：直接 II 型,直接 II 型,41,得到的结构为正准 I 型，节省了min(M,N)个延时单元。,4.8 IIR DF 实现结构：正准型,在直接 II 型的两个传输网络中，两列传输为 z-1 的支路有相同的输入 y2(n)，于是可将它们合并为一列延迟线，好处是可节省一半的延时单元。,42,利用转置定理，得到正准 II 型,4.8 IIR DF 实现结构：正准型,正准型,正准型,转置定理,43,直接型、正准型的缺点: 系统的频率特性对各系数（零、极点位置）变化的灵敏度高，即系数的数值稍微变化一点，即对系统的性能产生显著的影响，易出现不稳定现象，尤其是当 N 较大时； 系数对系统性能的控制不直截了当，极、零点调整不便； 当元件是有限字长时，对原设计的系数必然有所影响，应尽量避免高阶的形式，而采取一阶、二阶子网络组成的级联或并联形式。 正准型比直接型节省了延时单元，但当 N 较大时，两者都不宜采用。,4.8 IIR DF 实现结构：直接型小结,44,因式分解的表达式 N 阶传输函数 H(z) 的分子分母都是 z-1 的多项式，可表示为零极点形式, 故可进行因式分解。每个因式的次数不高于2，这样可以使各项分数都是实数。,ai、bi 为实数，因此，零极点 ci、di 只有两种可能，或是实根，或是共轭复根，于是有：,4.8 IIR DF 实现结构：级联型,45,4.8 IIR DF 实现结构：级联型,则,令,H(z) 可分解为若干实系数二阶因子的乘积。,Hi(z) 可用下面正准型结构实现,46,级联型结构的特点 优点-零极点的独立性 子网络的零极点是整个系统的零极点，调整任意零极点不影响其他任意的零极点，因此，它有一定的独立性，便于准确实现 H(z) 特性，便于调整。 最优化问题-零极点搭配，级联的顺序。 级联实现很灵活，分子中的任何一个因子都可以和分母中的任何一个因子相配合组成一个Hi(z)，而这些 Hi(z) 的级联次序又有 K! 种排列方法。 无限精度运算: 具有相同的转移函数H(z)-理论上。 有限字长运算: 不同的搭配，排列产生不同的误差，最小误差对应的排列-优化问题，而且每级网络产生的误差有传递积累现象。 首要的原则是把互相最靠近的零极点配对到一起，以便避免在极点处出现大的幅频响应。,4.8 IIR DF 实现结构：级联型,47,将 H(z) 按部分分式展开：,二次式共轭复根（二阶）,余式,一次式,共轭复根二阶实数的部分分式,其中 N=N1+2N2,若 M N，则不包括,这部分,若 M = N，则这部分为常数 C。,4.8 IIR DF 实现结构：并联型,48,其中前 N1 条支路是一阶的，后 N2 条支路是二阶的。,4.8 IIR DF 实现结构：并联型,49,4.8 IIR DF 实现结构：并联型,并联型结构的特点 优点：并联形式的支路互相独立，所以各自的误差互不影响。因此，对于有限字长引起的影响不敏感。 缺点：并联型可单独调整极点位置，但不能控制零点。因为并联支路的极点也是整个网络的极点，而零点却不一定是整个网络的零点。 并联型和级联型 它们有各自的优缺点； 当采用双线性变换完成 AF 到 DF 转换时，级联型结构 IIR DF 的系数 2550% 为简单的整数（0、1或2），需要的乘法器数量少，非常有吸引力。 现在大多数滤波器设计软件包都生成级联型实现结构的系数，而不是并联型的，因为级联型实现结构非常流行。,50,1 -绪论 2 -离散时间信号和离散时间系统 3 -离散傅里叶变换及其快速计算方法 4 IIR 数字滤波器设计和实现 4.1) 概述 4.2) 模拟滤波器设计 4.3) 模拟滤波器的数字仿真 4.4) 冲激响应不变法 4.5) 双线性变换法 4.6) 数字滤波器的频率变换 4.7) IIR 数字滤波器的计算机辅助设计 4.8) IIR 数字滤波器的实现结构 4.9) IIR 数字滤波器的应用 4.10) 本章小结 5 FIR 数字滤波器设计和实现 6 数字信号处理中的有限字长效应,4.9 IIR DF 的应用 设计流程 音频应用 降噪 均衡器 通信应用 数字按键电话 时钟恢复 图像处理 模式识别 图像增强 图像恢复 机器人视觉 图像压缩 控制系统 医学军事 消费电子,4.9 IIR DF 的应用,51,第 4 章小结,理解数字滤波器的基本概念; 掌握用模拟滤波器来设计IIR数字滤波器的原理和方法； 理解滤波器数字仿真的基本原理； 掌握冲激响应不变法和双线性变换法； 掌握数字频率变换的原理和方法； 理解 IIR 数字滤波器的优化设计； 掌握 IIR DF 的直接型、级联型和并联型结构,门爱东教授 menad,数字信号处理 Digital Signal Processing,第 5 章 FIR 数字滤波器设计和实现,53,主题概述,1 -绪论 2 -离散时间信号和离散时间系统 3 -离散傅里叶变换及其快速计算方法 4-IIR 数字滤波器设计和实现 5FIR 数字滤波器设计和实现 5.1) 概述 5.2) 线性相位 FIR DF 约束条件和频率响应 5.3) 窗函数法 5.4) 频率取样法 5.5) FIR数字滤波器的优化设计 5.6) FIR数字滤波器的实现结构 5.7) 附录 5.8) 本章小结 6 数字信号处理中的有限字长效应,54,5.1 概述：IIR 和 FIR 比较,IIR 与 FIR 设计方法比较 IIR DF： 无限冲激响应，H(Z) 是 z-1 的有理分式，借助于模拟滤波器设计方法，阶数低（同样性能要求）。其优异的幅频特性是以非线性相位为代价的。 缺点：只能设计特定类型的滤波器，不能逼近任意的频响。,FIR DF： 有限冲激响应，系统函数 H(Z) 是 z-1 的多项式，采用直接逼近要求的频率响应。设计灵活性强 缺点： 设计方法复杂； 延迟大； 阶数高。 (运算量比较大，因而在实现上需要比较多的运算单元和存储单元) FIR DF 的技术要求： 通带频率p，阻带频率s 及最大衰减p，最小衰减s 很重要的一条是保证 H(z) 具有线性相位。,55,奇对称：() 对所有的频率成分都有一个90相移。,因此，有四种类型的 FIR DF：,5.2.1 线性相移 FIR DF 约束条件,线性相位约束条件 对于任意给定的值 N，当 FIR 滤波器的 h(n) 相对其中心点 (N-1)/2 是对称时，不管是偶对称还是奇对称，此时滤波器的相移特性是线性的，且群延时都是 = (N-1)/2 。 偶对称 ： () 为过原点的，斜率为 - 的一条直线,56,一般形式：,偶对称：,奇对称：,（两个恒时延条件）,（一个恒时延条件）,( H() 为 的实函数 ),5.2.2 线性相移 FIR DF 频率响应,57,线性相位 FIR DF 的零点有：,5.2.3 线性相移 FIR DF 零极点分布,说明:,1) 一般情况，,，有四个零点：,2) r=1，单位圆上的零点：,(共轭对),3) 位于实轴上的实数：b, 1/b (实轴上的倒数对)。,4) zi =1：单零点,58,FIR DF 窗口法设计步骤 性能要求 Hd(e j) 把 Hd(e j) 展成傅里叶级数，得到 hd(n)； 把 hd(n) 自然截短到所需的长度 N=2M+1； 将截短后 hd(n) 右移 M 个取样间隔，得 h(n)； 将 h(n) 乘以合适的窗函数，即得所需的滤波器的冲激响应，这时窗函数以 n = M对称（当然窗函数也可直接加在 hd(n) 上，这时窗函数以原点为对称）； 利用 h(n)，既可用硬件构成滤波器的系统函数 H(z)，也可直接用计算机软件实现滤波。,5.3 窗口法,设所要求的 DF 的频率响应是 Hd(ejw)，需要注意：它可能是低通、高通、带通和带阻 FIR DF，没有特指某种类型的数字滤波器。,59,卷积,5.3.2 窗口法：Gibbs 效应,将 hd(n) 截短，产生 Gibbs 现象,60,理想滤波器的不连续点演化为过渡带,通带与阻带内出现起伏,Gibbs 现象,过渡带：正负肩峰之间的频带。其宽度等于窗口频谱的主瓣宽度。 对于矩形窗 WR(ejw), 此宽度为 4/N。,肩峰及波动：这是由窗函数的旁瓣引起的。 旁瓣越多，波动越快、越多。相对值越大，波动越厉害，肩峰越强。肩峰和波动与所选窗函数的形状有关，要改善阻带的衰减特性只能通过改变窗函数的形状。,在对 hd(n) 截短时，由于矩形窗函数的频谱有较大的旁瓣，这些旁瓣在与 Hd(ejw) 卷积时产生了吉布斯现象。 长度 N 的改变只能改变 w 坐标的比例及窗函数 WR(ejw) 的绝对大小，但不能改变肩峰和波动的相对大小（因为不能改变窗函数主瓣和旁瓣的相对比例，波动是由旁瓣引起的），即增加 N，只能使通、阻带内振荡加快，过渡带减小，但相对振荡幅度却不减小。,加窗处理对理想矩形频率响应的影响：,注意：过渡带宽度与窗的宽度 N 有关，随之增减而变化。 阻带最小衰减（与旁瓣的相对幅度有关）只由窗函数决定，与 N 无关。,5.3.2 窗口法：Gibbs 效应,61,5.3.3 窗口法：常用窗函数,62,5.3.4 窗口法：设计步骤_ 数字低通,适用范围 对于能用解析式表达，且傅里叶级数的系数容易求解的滤波器： 此时，窗函数法是设计FIR DF较为方便的一个方法； 如果 hd(n) 不易求，则使用该方法较为困难。 窗函数 用窗口法设计 FIR DF，一个重要问题是选用窗函数w(n) 及决定截短的长度 N。 窗函数的选择：阻带衰减指标 窗函数长度 N 的选择：过渡带宽指标 截止频率 wc 的确定：,63,5.3.4 窗口法：设计步骤_ 数字低通,64,5.3.4 窗口法：设计步骤_数字高通,以上设计的是数字低通滤波器，若希望设计数字高通、带通和带阻滤波器，只需要改变付氏级数系数中积分的上、下限即可。 数字高通滤波器,65,数字带通滤波器,5.3.4 窗口法：设计步骤_数字带通,66,数字带阻滤波器,5.3.4 窗口法：设计步骤_数字带阻,67,时域内，以有限长单位取样响应 h(n) 去逼近要求的单位取样响应。,频域内，以有限个频响取样，去逼近要求的频率响应的方法。,5.4 频率取样法,68,频率采样法设计步骤：,5.4 频率取样法,69,Type I ( h(n) 偶对称，N为奇数) 线性相位 FIR DF 的约束条件：,5.4.2 频率取样法：线性相位约束条件,Type II ( h(n) 偶对称，N为偶数) 线性相位 FIR DF 的约束条件：,Type III ( h(n) 奇对称，N为奇数) 线性相位 FIR DF 的约束条件：,Type IV ( h(n) 奇对称，N为偶数) 线性相位 FIR DF 的约束条件：,Hr (w),Hr (w),Hr (w),Hr(w),70,为了改善性能，可在通带和阻带交界处安排一个或几个不等于 0 也不等于 1的取样值。在本例中，在 k=9 处取 |H(9)|=0.5，则过渡带宽变为 22/33，最小阻带衰减则约为 40dB。,5.4.2 频率取样法：设计步骤,如果要进一步增加阻带衰减，可再添加第 2 个不等于 0 也不等于 1 的取样值，即在过渡带处增加取样点。这样过渡带继续加宽。如果不允许增加过渡带宽，又希望增加阻带衰减，则可增加取样点数 N，例如 N65，并在 k=17，k=18 处增加两个优化的取样值 H(17)=0.5886，H(18)=0.1065，则过渡带变为 6/65，没有增加，但阻带最小衰减可达 60dB以上。所付出的代价是阶次提高了，增加了运算量。,71,（各取样点间由内插函数延伸迭加而形成）,所要求的特性越平缓，内插值越接近要求值，逼近也越好。,反之，则内插值与要求值间误差较大，且在不连续点处出现肩峰与起伏。,性能分析：,5) 抽样点 N 取的越大，近似程度越好。,5.4.2 频率取样法：小结,1) 在取样点处，H(ejw) 和 Hd(ejw) 相同,2) 在非取样点处， H(ejw) 和 Hd(ejw) 存在偏差,3) 出现过渡带； 通带和阻带内存在波动； 阻带的衰减特性较差；,4) 线性相位特征可得到保障,72,6) 在不连续点的边缘，增加一些过渡取样值 （这些增加的取样值的最佳值可由计算机仿真），提高逼近质量，减少逼近误差，即减少在通带边缘由于取样值的陡然变化而引起的起伏振荡，增大了阻带最小衰减。但这样做增加了过渡带。 7) 优点： 在频域直接设计，并且适合于最优化设计； 原理简单，计算简单，若 N=2r，则可借助于 FFT 计算； 通过改变阶数 N 和设置过渡点，通常都能取得满意的结果。 8) 缺点： 不能精确地确定其通带和阻带的边缘频率。因为取样频率只能等于 2/N 的整数倍，因而不能确保截止频率 wc 的自由取值，要想实现自由选择截止频率，必须增加取样点数 N，但这增加计算量。 9) Matlab 函数 b = intfilt(r,l,alpha) b = intfilt(r,n,Lagrange) 用内插方法实现线性相位 FIR 滤波器。,5.4.2 频率取样法：小结,73,前面我们介绍了 FIR DF的两种设计方法： 窗口法：时域内逼近对所要求的滤波特性 频率取样法：频域内时域内逼近对所要求的滤波特性 从数值逼近的理论看，对某个函数 f(x) 的逼近一般有下述三种方法： 最小平方逼近法付氏级数法（窗函数法） 插值法频率取样法 一致逼近法切比雪夫法,5.5 FIR DF 优化设计,74,5.5 FIR DF 优化设计：Parks 算法流程图,75,5.6.1 FIR DF 实现结构：横截型,由此式可以直接得到 FIR DF 的直接型结构。由于此结构实际上直接表达了h(n) 与x(n) 之间的卷积关系，因此又称为卷积型结构，或横截型结构。,直接型（横截型、卷积型）,76,利用转置定理，上述网络结构可变为：,5.6.1 FIR DF 实现结构：横截型,在 Matlab 中，FIR DF 的直接型由包含系数 bn 的行向量 b 描述，而矢量 a 为 1，可以用函数 filter(b,a,x) 计算这种滤波器的输出。,77,若 N 为偶数，则 K = N/2； 若 N 为奇数，则 K = (N+1)/2，且其中有一个因式中的 a2i = 0。,它的网络结构可采用二阶级联形式：,5.6.2 FIR DF 实现结构：级联型,级联型,系统函数 H(z) 可写成按零点表示的二阶因式的形式,78,网络结构,FIR DF 是非递归型，上面的直接型、级联型结构也都是非递归型的，但也可以采用递归型算法来实现 FIR DF，这就是频率取样型。 在前面第三章 DFT 和前面 FIR DF 的频率取样法设计中，已经推导得到 h(n) 的 Z 变换，也即滤波器的传输函数 H(z)，可以用 h(n) 的 DFT H(k) 内插表示，即：,5.6.3 FIR DF 实现结构：频率取样型,设,则 H(z) 可以写成：,此式表明，此系统由 He(z) 和 两个子网络级联而成。,79,5.6.3 FIR DF 实现结构：频率取样型,1) 单位园上，并联谐振器极点各自正好抵消梳状滤波器一个零点。 2) 并联谐振器在z = 0处的一阶零点抵消了梳状滤波器在z = 0处的一个极点，这样在 z=0 处的极点正好保留了 (N-1) 个。 因此，级联的结果保留了 FIR DF 原有的零极点，即在 z = 0 的 N-1 阶级点和有限 z平面上的 N-1 个零点。,支路系数就是频率取样值，即冲激响应 h(n) 的离散傅里叶变换 DFTh(n)，因而可以直接控制滤波器的频率响应。,80,稳定性问题 理论上，频率取样型结构在单位圆上的零极点恰好相互抵消。 但在实际中，单位圆上的零极点抵消不完全。原因： 梳状滤波器 He(z) 的零点能够靠延时来准确地实现； 并联谐振器在单位圆上的极点是靠复数乘法来实现的，故不能准确实现。 结果：零极点抵消不完全，滤波器会出现不稳定现象，因此，应当对上面所述的网络结构进行修正。 修正方法： 将单位圆上的零点和极点都移到半径 r 约小于 1 的圆上，用 rz-1 来代替He(z) 和 Hk(z) 中的 z-1，r 上取样 Hr(k) H(k)，得：,5.6.3 FIR DF 实现结构：频率取样型,81,子网络合并,5.6.3 FIR DF 实现结构：频率取样型,利用旋转因子 WNk 和离散傅里叶变换的周期性和对称性，即,可以将第 k 及第 N-k 个谐振器合并为一个二阶网络：,N 为偶数时,N 为奇数时,82,5.6.3 FIR DF 实现结构：频率取样型,其中,这里,Hk(z) 是有限 Q 值的二阶谐振器，其谐振频率为 。 Hk(z)、H0(z)、HN/2(z) 的网络结构分别如图所示。,83,因此，合并后的FIR滤波器频率取样型完整网络结构如下图所示（图中 N 为偶数）：,5.6.3 FIR DF 实现结构：频率取样型,84,缺点： 需要较多的存储器 乘法运算量较大 结构较复杂 优点： 在窄带情况下，例如窄带低通或带通滤波器，大部分的频率取样值 H(k) 均为0，从而可以减少 H(k) 的数量，减少运算量。 结构适于模块化，适合于各个子网络 H(k) 的时分复用处理； 在FIR DF 长度相等的情况下，不需要改变整个结构及其它系数，仅需要改变部分系数就可以得到不同的滤波器； 并行结构，计算快，时延小。 更为一般，基于多项式内插公式的 FIR DF 结构： FIR DF 系数的 H(z) 是变量 z-1 的 （N-1） 次多项式，而我们知道 (N-1) 次多项式可由其在 N 个不同点上的值唯一确定。有许多多项式内插公式： 频率取样结构：由单位圆上等间隔点之间的三角内插关系构造多项式； 拉格郎日（Lagrange） 牛顿（Newton） 泰勒（Tayler）级数展开 埃尔米特（Hermite）等,5.6.3 FIR DF 实现结构：频率取样型特点,85,线性相移 FIR 滤波器的冲激响应 h(n) 满足偶对称或奇对称，由对称性可将线性相位 FIR 数字滤波器的结构加以简化。,5.6.4 线性相位 FIR DF 实现结构,h(n) 偶对称，N 为奇数,86,5.6.4 线性相位 FIR DF 实现结构,与直接型结构相比，乘法器少了一半（原来是 先乘后加，现在是先加后乘）。,87,5.6.4 线性相位 FIR DF 实现结构,h(n) 偶对称，N 为偶数,88,5.6.4 线性相位 FIR DF 实现结构,h(n) 奇对称，N 为奇数,流图是将下面一排变为减号，同时去掉支路 h(N-1)/2,89,5.6.4 线性相位 FIR DF 实现结构,h(n) 奇对称，N 为偶数,流图是将偶对称时N为偶数的流图的下面一排变为减号,90,掌握线性相位 FIR 数字滤波器的特点 掌握窗函数设计法 理解频率抽样设计法 了解设计 FIR 滤波器的最优化方法 掌握 FIR 数字滤波器的实现结构,FIR: Finite impulse response,第 5 章小结,91,主题概述,1 -绪论 2 -离散时间系统和离散信号的变换