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2.3节(三) 相互独立的随机变量,一、两个随机变量的相互独立,1、定义,说明：,2、主要性质,例1 二维离散型随机变量 (X,Y)联合分布律、边际分布律如下表：问X、Y是否相互独立？,所以，X，Y相互独立。,所以，X，Y相互独立。,主要内容,一、一维随机变量函数Y=g(X)的分布。 1、离散型Y=g(X)； 2、连续型Y=g(X)(重点） 二、二维 (X, Y)函数的分布 1、离散型Z=g(X,Y)的分布 2、Z=X+Y的分布(重点）,第2.4节 随机变量函数的分布,问题的提出,实际中，人们经常对随机变量的函数很感兴趣.,1、已知圆的直径 d 的分布，求园的面积S= d 2 的分布.,例如：,2、变速直线运动质点的速度v、时间t联合分布已知，求 位移S=vt的分布.,归纳：1、随机变量X 的分布已知，Y=g (X) ，求 Y 的分布？,2、设随机变量(X,Y)的联合分布已知，Z=g (X,Y) , 如何 由 (X,Y) 的分布求 Z的分布？,一、离散型随机变量函数Y=G(X)的分布,解：当 X 取值 1，2，5 时，Y 取对应值 5，7，13,X=a与Y=2a+3两事件同时发生，两者具有相同的概率.,故,再对等值合并,2、连续型Y=g(X),设函数Y=g(X)严格单调(递增),Y=g(X)非严格单调时，分段单调，分段求反函数即可。,解：设X，U的分布函数分别为 FX (x) , FU(u),U 的概率密度,当 y0 时,注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，,解： 设Y和X的分布函数分别为 ，,则 Y=X2 的概率密度为：,启示：从例4-5中看到，在求F(y)=P(Yy) 过程中，关键就是设法从 g(X) y 中解出X，从而得到与 g(X) y 等价的X的不等式 .,目的：为了利用X的分布，从而求出Y=g(X)的概率.,求连续型随机变量F(x)或f(x)的通用做法。,二、二维(X,Y)函数的分布,1、离散型Z=g(X,Y),解: 将(X,Y)及各函数值列表如下：,合并后可得各变量的分布律如下：,设(X，Y)的联合概率密度为 f (x,y)，求Z=X+Y的概率密度.,分析: Z=X+Y的分布函数是,积分区域D=(x, y): x+y z是直线x+y =z 左下方半平面,2、Z=X+Y的分布(重点）,FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z),Z=X+Y的概率密度为,由对称性,特别: 当X和Y独立时，设(X,Y) 的边际密度为fX(x) , fY(y),卷积公式,解: 由卷积公式,解: 由卷积公式,1、分布律、概率密度、分布函数的定义、性质及计算； 2、二项分布、均匀分布、指数分布的定义、计算； 3、利用分布律、概率密度、分布函数计算事件的概率； 4、边际分布律、边际概率密度； 4、随机变量独立
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