随机事件及其运算.ppt

概率论与数理统计,河南理工大学,概率论是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现象）规律性的一门数学学科，20世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民经济及工程技术等各个领域,第1章 随机事件与概率,概率的概念形成于16世纪，与用投掷骰子的方法进行赌博有密切的关系 1654年，一个名叫德梅尔（De Mere，法）的赌徒就“两个赌徒约定赌若干局，且谁先赢c局便算赢家，若在一赌徒胜a局（ac），另一赌徒胜b局（bc）时便终止赌博，问应如何分赌本”为题求教于数学家帕斯卡（Pascal，法，1623-1662），帕斯卡与费玛（Fermat，法，1601-1665）通信讨论了这一问题，并用组合的方法给出了正确的解答,【概率论简史】,1657年惠更斯（Huygens，荷，1629-1695）发表的论赌博中的计算是最早的概率论著作，论著中第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理）标志着概率论的诞生 18世纪初，伯努利（Bernoulli,法,1700-1782）,棣莫弗（De.Moivre,法,1667-1754）、蒲丰（Buffon,法,1707-1788）、拉普拉斯（Laplace，法，1749-1827）、高斯（Gauss,德,1777-1855）和泊松（Poisson,法,1781-1840）等一批数学家对概率论作了奠基性的贡献,【概率论简史】,1812年，拉普拉斯所著概率的分析理论实现了从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的新时期 19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中心课题，是概率论的又一次飞跃，为后来数理统计的产生和应用奠定了基础契比谢夫（Chebyhev，俄，1821-1894）对此做出了重要贡献他建立了关于独立随机变量序列的大数定律，推广了棣莫弗拉普拉斯的极限定理契比谢夫的成果后被其学生马尔可夫发扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程,【概率论简史】,1933年，柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov，俄，1903-1987）在他的名著概率论基础一书中，提出了概率公理化定义，并得到数学家们的普遍承认公理化体系给概率论提供了一个逻辑上的坚实基础，使概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其他数学学科同等的地位，并通过集合论与其他数学分支紧密联系起来 在公理化的基础上，现代概率论不仅在理论上取得了一系列突破，在应用上也取得了巨大的成就，其应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震预报、工程技术、自动控制、产品的抽样调查、经济研究、金融和管理等领域,【概率论简史】,1.1 随机事件及其运算 1.1.1 随机现象 客观世界中存在着两类现象: 必然现象 随机现象 在一定条件下必然出现的现象， 称为必然现象； 实例: “太阳从东边升起” “水从高处向低处流” “同性电荷互斥”,第1章 随机事件与概率,在一定条件下可能出现也可能不出现的现象,称为随机现象.,实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.,结果有可能出现正面也可能出现反面.,必然现象的特征,条件完全决定结果,1.1.1 随机现象,结果有可能为:,1, 2, 3, 4, 5 或 6.,实例3 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数.,实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况.,结果: 弹落点会各不相同.,1.1.1 随机现象,实例4 从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品.,其结果可能为:,正品 、次品.,实例5 过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯.,1.1.1 随机现象,实例6 出生的婴儿可 能是男,也可能是女.,实例7 明天的天气可 能是晴 , 也可能是多云 或雨.,随机现象的特征,条件不能完全决定结果,1.1.1 随机现象,(2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.,随机现象是通过随机试验来研究的.,问题 什么是随机试验?,如何来研究随机现象?,说明,(1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.,1.1.1 随机现象,概率论中把满足以下特点的试验称为随机试验： (1) 可以在相同条件下重复进行； (2) 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果； (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 随机试验通常用大写字母E表示,1.1.2 随机试验,说明,随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的 “调查”、“观察”或 “测量” 等.,1.1.2 随机试验,样本空间 定义1.1 随机试验的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为 = ，其中 表示基本结果，又称为样本点 研究随机现象首先要了解它的样本空间 【例1.1】下面给出几个随机试验的样本空间 “抛一枚硬币观察哪一面朝上”： 1 = 正面，反面,1.1.3 随机事件的概念,“抛一颗骰子观察朝上一面的点数”： 2 = 1，2，3，4，5，6 “某品牌电视机的寿命”： 3 = t | t 0 “110每天接到的报警次数”： 4 = 0，1，2， “圆心在原点的单位圆内任取一点”： 5 = (x，y) | x2 + y2 1,样本空间,关于样本空间的几点说明： (1) 样本空间中的元素可以是数也可以不是数； (2) 样本空间中的样本点可以是有限多个的，也可以是无限多个的仅含两个样本点的样本空间是最简单的样本空间,样本空间,说明 (3) 建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题.,例如 只包含两个样本点的样本空间,它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.,样本空间,在具体问题的研究中 , 描述随机现象的第一步就是建立样本空间.,样本空间,答案,写出下列随机试验的样本空间.,1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和.,2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品 的总件数.,课堂练习,样本空间,通俗地讲 随机事件是指随机试验中可能发生也可能不发生的事件 定义1.2 随机试验的若干个基本结果组成的集合称为随机事件，简称事件，只含有一个基本结果的事件称为基本事件 常用大字母A,B,C,表示,根据这两说法不难发现 随机事件和样本空间的子集有一一对应关系！,随机事件,它们分别可以对应了样本空间S=1,2,3,4,5,6的子集1,2,3,4和2,4,6,“点数不大于4”,“点数为偶数” 等都为随机事件.,反过来，的每个子集都对应了该试验的一个随机事件,随机事件,关于随机事件概念的几点说明： (1) 任一事件A是相应样本空间的一个子集，基本事件就是只含有一个样本点的事件 (2) 当子集A中某个样本点出现了，就说事件A发生了，或者说事件A发生当且仅当A中某个样本点出现了 (3) 样本空间 包含所有的样本点，作为自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件空集不包含任何样本点，它作为样本空间的子集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件,随机事件,【例1-2】掷一颗骰子的样本空间为： = 1,2,3,4,5,6 事件A =“出现5点”，它是一个基本事件，可记为A =5； 事件B =“出现奇数点”，可记为B = 1,3,5； 事件C =“出现的点数不大于6”，是必然事件,可记为C = 事件D =“出现的点数大于6”，是不可能事件,可记为D = ,随机事件,1随机事件间的关系 (1) 子事件 如果属于事件A的样本点也属于事件B，则称A为B的子事件，记为AB其概率含义是：A发生B必发生 (2) 事件相等 如果事件A与事件B满足：A B且B A，则称A与B相等，记为A = B其概率含义是：A，B中有一个发生另一个也必发生,1.1.4 随机事件的关系与运算,(3) 互不相容 如果事件A和B没有相同的样本点，则称A与B互不相容（或互斥）其概率含义是：A，B不同时发生 实例 抛掷一枚硬币, “出现正面” 与 “出现反面” 是互不相容的两个事件.,随机事件的关系,2. 随机事件的运算 1) 事件A与B的和（或并） 事件A与B的和事件定义为：由至少属于A，B之一的样本点全体组成的集合，记为AB，其概率含义是：A，B至少有一个发生 实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定, 若C=“产品不合格”, B=“长度不合格”与A=“直径不合格”, 则 C= AB. 图示事件 A 与 B 的和,A,1.1.4 随机事件的关系与运算,随机事件的运算,2) 事件A与B的积（或交） 事件A与B的积事件定义为：由既属于A又属于B的样本点组成的集合，记为AB或AB其概率含义是：事件A与B同时发生 事件A与B互不相容当且仅当其积事件为不可能事件，即AB = ,随机事件的运算,图示事件A与B 的积事件.,A,B,AB,实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,设“产品合格” ，“长度合格”，“直径合格”,随机事件的运算,3) 事件 A 与 B 的差,由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的事件称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B.其概率含义是：事件A发生，且事件B不发生,图示 A 与 B 的差.,A,B,实例 设 “长度合格但直径不合格” ， “长度合格”， “直径合格”.,随机事件的运算,4) 对立事件 由在 中而不在A中的样本点组成的集合称为A的对立事件（逆事件）记为 ，其概率含义是：A不发生显然， ,实例 “骰子出现1点” “骰子不出现1点”,图示 A 与 B 的对立.,B,若 A 与 B对立,则有,随机事件的运算,对立事件与互斥事件的区别,B,A、B 对立（互逆）,A、B 互斥(互不相容),互斥,对立,随机事件的运算,3事件运算满足的定律 事件的运算性质和集合的运算性质相同，设A,B,C为事件，则有 交换律：AB =BA , AB = BA 结合律：(AB)C=A(BC), (AB)C= A(BC) 分配律： 对偶律：,1.1.4 随机事件的关系与运算,并的补=补的交， 交的补=补的并,【补充例 】设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C 表示出来.,A( ),(1) A 发生，且 B 与 C 至少有一个发生；,(2) A 与 B 发生，而 C 不发生；,(3) A , B, C 中恰有一个发生；,(4) A , B, C 中至少