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文档简介

一阶常微分方程的求解,可分离变量的微分方程,解法,为微分方程的解.,分离变量法,一、可分离变量的微分方程,设函数g( y)和 f (x)是连续的,例,例,例,例,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1.定义,二、齐次方程,例 求解微分方程,例 求解微分方程,1 经过适当的变量代换,三、可化为齐次或可分离变量的方程,2 有时可令 y = v，检查 应取何值可使方程化为齐次,例,例,例,为齐次方程.,否则为非齐次方程.,（其中h和k是待定的常数）,有唯一一组解.,得通解代回,可分离变量.,未必有解, 上述方法不能用.,例 求解微分方程,例 求解微分方程,例,一阶线性微分方程的标准形式:,()称为一阶齐次线性微分方程.,()称为一阶非齐次线性微分方程.,例如,线性的;,非线性的.,四、线性方程,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),常数变易法:,把齐次通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,2. 线性非齐次方程,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,非齐次方程的通解等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解,例,例,若方程为,则其通解为:,例,例,例 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲线 y= f (x)与 y = x 3 ( x 0 )截下的线段PQ之长在数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 y= f (x) .,两边求导得,解,解之,所求曲线为,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.,伯努利方程,求出通解后，将 z = y1 代入即得,代入上式,例,例,例 一车间容积为10800米3, 开始时空气中含有0.12%的二氧化碳. 用一台风量为1500米3/分的鼓风机通入含有0.04%的二氧化碳的新鲜空气. 设通入空气与原有空气混合均匀
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