线性代数课件黄六.ppt

第六章 欧几里得空间,前面介绍的线性空间，是n维向量空间R的抽象与深化 到目前为止我们在线性空间中只涉及到向量的加法与数乘 然而在三维空间中还有许多重要的几何概念和运算，例如 向量的长度，向量之间的夹角等概念以及向量的内积在线 性空间中都没有涉及及讨论,第一节 欧几里得空间,一、几何空间中向量的内积,1. 空间向量及两向量的夹角 (回顾),实际问题中, 既有大小又有方向的物理量称为向量.,几何上用有向线段表示一个向量, 线段的长度表示向量的大小., 空间向量为自由向量. 在直角坐标系下, 将向量的起点移至原点, 称之为向径.,向量 = (x, y, z) 的长度,向量的方向角,将空间两向量 , 的起点移至一点o, 两有向线段的夹角 (0 )，称为向量 与 的夹角,当 = 0 或 时，称 与 平行(共线)，记作 / .,例如, 常力 f 作用于物体, 使之产生位移 s,2. 空间向量的内积.,这个力所作的功为,设, R3, 记 与 的夹角为, 称数,为向量 与 的,内积( 数量积 ), 记为 , 即,(1),( 勾股定理 ) 设 1, 2 , , k 是 n 维欧氏空间 Rn 中的向量, 且 i j 时, (i , j ) = 0 , 则,证, 与 的夹角, , 的长度,因为 = x12+y12+z12 ,(, 0 ) ., 所以,4. 用内积表示向量的长度及向量的夹角,二、n 维向量的内积,1. Rn 中向量内积定义,设, Rn, = (x1, x2, , xn), = (y1, y2, , yn), 称数 x1 y1 + x2 y2 + + xn yn 为 与 的内积. 记为(, ) , 即,(, ) = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn (3),2、内积的性质,设, ,则Rn , kR, 则上面定义的内积满足以下性质：,当且仅当 = 0 时, 等号成立 .,性质 (1) 到 (4) 的证明可由内积定义直接推得.,(1),(2),(3),(4),三、欧氏空间Rn,称定义了内积的 n 维实向量空间 Rn 为 n 维欧几里得 (Euclid) 空间, 简称欧氏空间, 仍记作Rn.,三维欧氏空间 R3 具有直观性,习惯上称之为几何空间. R3 中向量长度及两向量的夹角等概念通过内积可平行推广到 Rn, 使 n 维欧氏空间具有可度量性.,设 = (x1, x2, , xn)Rn, 的长度,| | 定义为, 即,(4),特别地,时, 称 为单位向量.,当,故称,为 的单位化向量.,=1 ,四、标准正交基的概念及意义,1. 正交向量组:,如果欧氏空间中的向量组 1, 2 , , m 中任意两个向量都是相互正交的, 即,(i, j ) = 0, i j, i, j = 1, 2, , m,则称 1, 2 , , m 为正交向量组(简称正交组.),欧氏空间中不含零向量的正交向量组是线性无关的.,证,设1, 2 , , m是一个正交的向量组, 又设,k11 + k22 + kmm = 0,则,由于,故 ki = 0,故1, 2 , , m 线性无关.,2. 标准正交基,设1, 2 , , nRn, 如果,则称1, 2 , , n 是 Rn 的一组标准正交基.,显然,是 Rn 的标准正交基.,在 R3 中,分别为三个坐标轴正向的单位矢量.,五、 施密特(Schmit)正交化方法求标准正交基,下面讨论由 Rn 的一组基构造 Rn 的标准正交基的方法, 为直观起见, 先从 R3 开始讨论., 在 上的投影为：, 在 上的投影向量为：,为了便于讨论,首先介绍一个向量在另一向量上的投影及投影向量.,设1, 2 , 3 是 R3 的一组基, 令1 = 1, 将2 在 1 上的投影向量记为 2, 则2= k12 1, 其中,再取,则 2 1.,将 在 1, 2 上的投影向量分别记为,3 在 1, 2 所在平面上的投影向量为 3 .,则,其中,取,则,因此,是两两正交的非零向量组.,再将,单位化,即取,则,就是R3 的一组标准正交基.,一般地, 设,是 Rn 中的一个线性无关组, 取,容易验证,两两正交, 上述由,得到,的过程称之为向量组的正交化,将这 个正交化的向量组再单位化, 即取,就得到正交的单位向量组,称之为标准正交组.,上述从线性无关组求得标准正交组的方法称为施密特 (Schmit) 正交化方法.,解,设 R3 的一组基为 1 =