13年研究生数学建模D题.pdf

- 1 - 参赛密码 （由组委会填写）（由组委会填写） 第第第第十十十十届届届届华华华华为为为为杯杯杯杯全全全全国国国国研研研研究究究究生生生生数数数数学学学学建建建建模模模模竞竞竞竞赛赛赛赛 学学 校校 河海大学河海大学 参赛队号参赛队号 10294006 队员姓名队员姓名 1.单彬彬单彬彬 2.胡腾飞胡腾飞 3.付修庆付修庆 - 2 - 参赛密码 （由组委会填写）（由组委会填写） 第第第第十十十十届届届届华华华华为为为为杯杯杯杯全全全全国国国国研研研研究究究究生生生生数数数数学学学学建建建建模模模模竞竞竞竞赛赛赛赛 题 目 空气中 PM2.5 问题研究 摘 要： 本文从 PM2.5 的相关因素分析、 PM2.5 的分布与演变及应急处理 及 PM2.5 的空气含量控制管理三个方面对 PM2.5 进行了相关研究。 在相关性分析中，PM2.5 的浓度含量与 CO 的浓度含量高度相关；与 SO2 、NO2、PM10 三者中度相关；与 O3 低度相关。在 PM2.5 的分布 与演变及应急处理中，考虑天气和季节等影响因素，利用灰箱模型 和点源模型，建立多元时空模型，分别对 PM2.5 的分布与演变及应 急情况进行分析，并给出污染评估。在空气中 PM2.5 的含量控制管 理中，考虑到每年年终平均治理浓度与当年的 PM2.5 浓度有关，及 实际的污染排放情况，建立 PM2.5 治理模型，并给出每年的的年终 平均治理指标分别为：135.25、124.50、84.27、59.22、41.779(单 位 3 /g m)。最后根据每年治理指标，采用多元优化模型指定治理计 划，使经费投入较为合理，给出五年总投入经费 221.5159 百万元及 - 2 - 逐年经费投入分别为：85.25、74.5、35.5072、17.535、8.7237（单 位 百万元） ，并进行方案合理性分析。 关键词：PM2.5 相关性 扩散 预测评估 治理指标 经费 - 3 - 一、问题的重述一、问题的重述 1.1 问题由来问题由来 2012 年 2 月 29 日，环境部发布与实施新空气质量监测标准。在新标准中， 首次将产生灰霾的主要因素对人类健康危害极大的细颗粒物 PM2.5 的浓度 指标作为空气质量监测指标。由于细颗粒物 PM2.5 进入公众视线的时间较短， 在学术界也是新课题， 尤其是对细颗粒物 PM2.5 及相关因素的统计数据还很少， 对细颗粒物 PM2.5 的客观规律也了解得很不够。但我们不能因此放慢前进的脚 步，我们要千方百计的利用现有的数据开展 PM2.5 相关问题的研究。 1.2 问题要求问题要求 （1）依据附附件中的数据或自行采集的数据进行分析。 （2）定量分析 AQI 中的基本监测指标的相关性。 （3）合理考虑风力、湿度等天气和季节因素的影响。 （4）突发状况为全地区 PM2.5 浓度最高点处浓度增至 2 倍，持续 2 小时。 （4）治理指标达到最终年终平均浓度统计指标 3 35/g m。 （5）治理计划既能达到减排指标，又能使经费投入较为合理。 1.3 问题的提出问题的提出 （1）利用或建立适当模型，对 AQI 中的 6 个基本监测指标的相关与独立性 进行定量分析，尤其是对其中 PM2.5（含量）与其它 5 项分指标及其对应的污 染物（含量）之间的相关性进行分析。 （2）描述该地区内 PM2.5 的时空分布及其规律，并结合环保部新修订的环境 空气质量标准分区进行污染评估。 （3）建立能刻画该地区 PM2.5 的发生和演变规律的数学模型，并利用该地区的 数据进行定量与定性分析。 （4）建立针对突发情况的污染扩散预测和评估的方法，并利用模型针对突发状 况进行预测评估，给出重度污染和可能安全区域。 （5）采用适当方法检验模型和方法的合理性，并根据已有成果探索 PM2.5 的成 因、演变等一般性规律。 （6）给出合理的治理计划，即给出每年年终平均治理指标。 （7）给出五年投入总经费和逐年投入预算计划，并讨论该方案的合理性。 二、问题的假设二、问题的假设 1、武汉市年 PM2.5 治理当年的年排放量为 3 60/g m，在治理过程中每年减少 排放量 3 10/g m，考虑到排放量不能取幅值，在此只是一个简单的简化。 2、在治理过程中，每年治理的平均浓度与当年的浓度呈正比。 3、将每年的排放量放到年初计算。 4、在突发情况时，假设浓度增大的监测点是一个连续的点源。 5、在突发情况时，假设这个点源是一个地面连续点源。 - 4 - 三、符号说明三、符号说明 P IAQI 污染物项目 P 的空气质量分指数； P C 污染物项目 P 的质量浓度值； Hi BP 文献2中表 1 中与 P C 相近的污染物浓度限值的最高值； Lo BP 文献2中表1中与 P C 相近的污染物浓度限值的最低值； Hi IAQI 文献2中表 1 中与 Hi BP 对应的空气质量分指数； Lo IAQI 文献2中表 1 中与 Lo BP 对应的空气质量分指数； i : 气体污染物沿 i 方向上的湍流系数 i u: 气体沿 i 方向上的速度 Q： 污染源强度 i ： 气体沿 i 方向的扩散系数 ii xs、 第 i 年 PM2.5 综合治理和年终平均治理指标 四、问题的分析四、问题的分析 4.1对问题对问题 1 1 的分析的分析 鉴于西安市环境监测数据系列的不完整性，可能不能全面、客观的反映该 地区的环境质量时空分布状况，于是我们从武汉环保中心网站下载相关环境监 测数据（部分监测数据见附件 1） ，并根据这些数据进行相关性及独立性定量分 析。 监测数据中给出的都是各监测指标的分指数，首先需要对数据进行处理， 将各指标的分指数转换成浓度，然后再进行 PM2.5 与其他指标的相关性分析。 4.2对问题对问题 2 2 的分析的分析 描述武汉地区 PM2.5 的时空分布即给出武汉地区 PM2.5 在时间和空间上的 分布，一个时刻上该地区 PM2.5 存在一个空间分布特征，一个空间上该地区 PM2.5 存在一个时间分布特征，在此，我们将时间简化成四个季节，分别给出 四个季节该地区 PM2.5 的空间分布特征图，然后根据分布图及季节描述其时空 规律，最后按环保部新修订的环境空气质量标准进行分区污染评估。 4.3对问题对问题 3 3 的分析的分析 问题 3 是在问题 1 和问题 2 完成的基础上提出的一个刻画该地区 PM2.5 的 发生和演变规律的数学模型。通常，刻画 PM2.5 发生和演变的数学模型包括灰 - 5 - 箱模型及基于扩散理论和质量守恒的已知污染源和考虑其它影响因素的数学表 达式模型。考虑本地区情况，污染源类型包括很多，如固定源、流动源、无组 织排放源等，而且污染源的个数不单一、位置不确定、排放量不易监测，因此 仅仅进行点源简单的简化叠加或面源和点源简单的简化叠加不够准确。基于上 述情况，我们考虑采用灰箱模型并考虑多个影响因素，建立多元时空模型，分 层次利用该地区的数据进行定量和定性的分析。 4.4对问题对问题 4 4 的分析的分析 灰箱模型只能针对已发生的类似情况进行预测，因此针对突发状况，即某 监测点的 PM2.5 浓度突然增至数倍，我们可以将此突发情况简化成已知边界条 件的点源扩散模型，将 PM2.5 监测点浓度最高点作为点源，突发状况发生前各 监测点的浓度作为初始条件，并考虑当天的天气影响因素。最后按环保部新修 订的环境空气质量标准给出重度污染和可能安全区域。 4.5对问题对问题 5 5 的分析的分析 首先阐述了第 3 问中建立的 PM2.5 发生演变模拟预测模型相对于多数现有 的大气污染预报模型所做出的改进：考虑了大气中各种污染物发生化学反应的 可能性以及量化并在模型中考虑了风向因子。通过武汉各个监测点的实测值与 模型预测值对比，说明了该模型的合理性。最后通过对天气数据的统计分析， 证明了大风天气和降水天气均对 PM2.5 具有明显的稀释效果，且前者效果较后 者显著。 4.6对问题对问题 6 6、问题、问题 7 7 的分析的分析 问题6主要是给出符合实际情况的PM2.5治理模型及污染源控制减排模型， 然后结合两个模型求解达到追中治理指标需要每年的年终平均治理指标。 问题 7 是在问题 6 求解基础上的单目标优化问题。 五、模型的建立与求解五、模型的建立与求解 5.1 问题问题 1 1 的分析与求解的分析与求解 5.1.1 数据处理及相关性定量分析 由于监测数据给的是分指标，所以我们需要利用公式（5.1）对数据进行处 理，将分指标转换成浓度，然后利用 SPSS 软件对各个监测点的 PM2.5 浓度与其 他 5 项分指标对应的污染物的浓度进行相关性分析。 0 0 () HiL PPLoL HiLo IAQPIAQP IAQICBPIAQP BPBP (5.1) 式中： P IAQI污染物项目 P 的空气质量分指数； P C污染物项目 P 的质量浓度值； Hi BP文献2中表 1 中与 P C 相近的污染物浓度限值的最高值； Lo BP文献2中表 1 中与 P C 相近的污染物浓度限值的最低值； - 6 - Hi IAQI文献2中表 1 中与 Hi BP 对应的空气质量分指数； Lo IAQI 文 献 2 中 表 1 中 与 Lo BP 对 应 的 空 气 质 量 分 指 数 ； 5.1.2 各指标相关系数及结果分析 利用 SPSS 计算的 PM2.5 与其它 5 项污染物的相关系数见表 5.1。 表 5.1 PM2.5 与其他污染物 Pearson 相关系数 SO2 NO2 PM10 CO O3 汉口花桥 Pearson 相关性 0.697 0.694 0.842 0.820 -0.426 显著性（双侧） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 沌口新区 Pearson 相关性 0.689 0.712 0.754 0.845 -0.300 显著性（双侧） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 汉阳月湖 Pearson 相关性 0.637 0.693 0.739 0.673 -0.336 显著性（双侧） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 武昌紫阳 Pearson 相关性 0.709 0.752 0.703 0.875 -0.356 显著性（双侧） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 东湖梨园 Pearson 相关性 0.552 0.733 0.781 0.828 -0.269 显著性（双侧） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 青山钢花 Pearson 相关性 0.595 0.718 0.772 0.861 -0.298 显著性（双侧） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 汉口江滩 Pearson 相关性 0.722 0.599 0.730 0.865 -0.358 显著性（双侧） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 东湖高新 Pearson 相关性 0.691 0.685 0.756 0.803 -0.329 显著性（双侧） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 吴家山 Pearson 相关性 0.683 0.718 0.847 0.837 -0.357 显著性（双侧） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 沉湖七壕 Pearson 相关性 0.664 0.667 0.701 0.605 -0.244 显著性（双侧） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 均值 Pearson 相关性 0.664 0.697 0.762 0.801 -0.327 显著性（双侧） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 相关系数XY取值在-1 到 1 之间，XY = 0 时，称 X,Y 不相关；|XY| = 1 时，称 X,Y 完全相关，此时，X,Y 之间具有线性函数关系； |XY| 0.8 时称为高度相关，当|XY| 降雪降雨。 为更好地验证本结论，本节将对上述气象要素进行相关统计分析，其中因 武汉毗邻长江，冬季降雪并非典型天气，因此将降雪与降雨合并为降水。不同 天气状况下各监测点 PM2.5 平均浓度见表 4。 表 4. 不同天气状况下各监测点 PM2.5 平均浓度 单位 g/m3 监测点 降水天气 非降水天气 降水稀释率 风力3 级 微风 大风稀释率 汉口花桥 71.8 90.3 20.4% 47.2 88.5 46.6% 沌口新区 89.1 106.6 16.5% 62.4 105.3 40.7% 汉阳月湖 84.4 102.3 17.5% 60.2 100.6 40.1% 武昌紫阳 91.1 107.4 15.1% 60.7 106.8 43.2% 东湖梨园 88.0 105.2 16.4% 61.1 103.9 41.2% 青山钢花 110.4 130.6 15.4% 79.3 129.1 38.5% 汉口江滩 88.8 107.7 17.6% 60.2 106.2 43.3% 东湖高新 95.7 110.2 13.2% 66.3 110.0 39.8% 吴家山 72.1 91.2 20.9% 50.1 88.9 43.7% 沉湖七壕 84.3 94.7 10.9% 59.5 95.0 37.3% 由表 4 可知，降水天气、大风天气下，各监测点 PM2.5 均会得到明显稀释， 且大风稀释率均值为 41.4%，显著大于降水稀释率均值，16.4%。 5.6 问题问题 6 的求解的求解 5.6.1 模型建立及求解 在治理过程中，当浓度变小时，要使每年的治理指标一样，则需要花费更 多的金钱和时间，即治理难度随着 PM2.5 浓度的降低而增大，因此我们假定每 年治理的平均浓度 at C与当年的浓度 t C呈正比。 另外我们考虑每年的污染源排放 - 17 - 量 p C，在治理期间不仅要治理，还要控制排放量，每年逐次减少排放量 j C。我 们假设武汉市年 PM2.5 治理当年的年排放量为 3 60/g m， 在治理过程中每年减 少排放量 3 10/g m，我们需要注意的是排放量最终不能为负值，因此，此处的 污染减排方式只是一个简单的假设，需要提出一个更好更符合实际情况的减排 模式。 由以上建设建立数学模型如下： t t dC aCbtc dt 该以此分线性微分方程的通解为： 2 ( 1) e a t t acbat d a C 将初始条件 3 0 280/Cg m，边界条件 3 5 35/Cg m及 3 60/ p Cg m和 3 10/ j Cg m带入上式求解得第 t 年的年中平均浓度表达式为： 0.6980.6980.698 10.2626( 23.4519 9.6781.396C)= t ttt eeet 利用上述表达式计算该地区 PM2.5 的年初、年末及年均治理指标，结果见表 5.5。 表 5.5 年终平均治理指标 单位 g/m3 年初含量 年末含量 年均治理量 340.00 204.75 135.25 254.75 130.26 124.50 170.26 85.99 84.27 115.99 56.77 59.22 76.77 35.00 41.77 5.7 问题问题 7 的求解的求解 5.7.1 模型建立及求解 在五年治理中，假设每年的综合治理的费用分别为 x1、x2、x3、x4、x5， 则相对应的每年由综合治理减少的 PM2.5 的浓度为 x1、x2、x3、x4、x5，则剩 下的需要治理的 PM2.5 浓度须由专项治理来解决，由问题 6 知每年需要治理的 PM2.5 的浓度为 135.25、124.50、84.27、59.22、41.77g/m3，用每年需要治理 的浓度减去综合治理的就是专项治理的。我们建立治理费用 L 目标函数： Min. 55 2 11 0.005() iii ii Lxsx 约束条件为： 0 ii xs 式中： ii xs、分别表示第 i 年 PM2.5 综合治理和年终平均治理指标 - 18 - 经过单目标优化问题求解模型单目标遗传算法求解得： 年份 综合治理费用 专项治理费用 总费用 1 35.25 50 85.25 2 24.5 50 74.5 3 0 35.5072 35.5072 4 0 17.535 17.535 5 0 8.7237 8.7237 总和 59.75 161.7659 221.5159 注：单位 百万元 该方案是假设在理想的情况下，每减少一个 PM2.5 单位，需要相应的一定 费用投入，然而在实际情况下，随着 PM2.5 浓度的降低，再降低相同浓度的 PM2.5，则需要花费更多的费用，因此该方案不能完全反应实际情况。在模型中 需要考虑当年治理费用与当年 PM2.5 浓度之间的关系，这样能更加反映出实际 情况。 模型优缺点及其改进模型优缺点及