1的n次单位根的性质及应用.pdf

1993年第9期 中学教研(数学) 31 (19 86年全国高 中数学联赛题) 解 : . e ZR S inC二 Z si nC . , 是 l 一 刁 于 李* ine 艺 灰)一 1 一 止+ 李 十生 aO C 加+a c+a b 口加 一a b十加+a c =(、俪) 2 +(洒刃) 2 +(了下) 2 夯勺硕兀十 丫缅矛+ 、石吸 =V 丽( 寸叮十侧下十勺厅) 一了万+寸丁+ 习信 : . 且等号 取不 到 , 否则 。 b 。 刀一1 , 是 不可 能的 , 选(C) 六 、 综 合法 例 1 1 设 a , 刀 , , 是 一 个三角形的三个 内 角 , 尹 , q 为满 足 p+q二1 的任意实数 , 则必 有不等式 那i n “a + 卯in ”刀 尹卯iJ, ,尹 . 198 0年 长沙市 高中数学赛题) 分析 : 要证不等式 户5in Z( , + 宁 sinZ刀 r7s ;12y, 即比较两数 尹sin Z “ + , ssnZ 声 , 用51 , 1 2, 的大小 . 令 无那i: 1 2 “+qsin Z刀 一 脚sin Z” 刃十,二l , 上式可改 写成 无= 那i n Za 十(1一 尹)si n Z声一尹(1一尹)si nZ夕 尹Zsm Zy+ ( s讥Za一s i n Z声一s沮2夕)尹+sinZ声 由此 可 知 k 是关 于 p 的二 次三项式 , 其判别 式 . =( sinZa 一 sinZ刀一si nZy)2一4si n Z捧i n Z刀 ( sinZa 一 sinZ刀一si nZy+ Zsi n捧i n 声) ( sinZa 一 si nZ刀一s迈2夕一Zsi n 捧i n 刀 ) = si nZa 一 (si n刀一si n y)2 s谊,a 一 (s i n 声+ si n, ) 2 -一(s i na 十sin刀+ sin夕) . (sin a + 51 1、刀 一 si n夕) . (sin a + s in夕一s in 刀) . (sin声十 sin夕一sin a ) . 设三角形中 “, 刀 , 尹所对的边分别为 。,b, 。, 外接圆半径为 左 , 由正弦定理 , 有 a . 。 b . e s ,na “ 丽 , “np 丽 , “ n夕 丽 : . J二一(共) ; ( 。+ 。+ 。) ( a+ 。一 。) 乙1 ( a + e 一b)(b+ c 一 a ) . , . . 无0 ,a + b+ e , b+ e 一 a 0 , a 十b一 。 O , a + c 一bO , 从而 J o , k0 , 即 尹 s吮Za + 宁sin Z刀 刀 甲sin Z夕 . 0 .又 l 的 7 次单 位 根的性 质及应用 沈 文 选 (溯南师大数学亲 41 0006) l的 砚 次方 根称 为 * 次单位根 , 或者说 , 一 个复数 的 。 次幂等于 l , 即 尸一1 , 那么这 个 复数 就 琳做1 的一 个 泥 次单 位根 . 1 的 泥 次单位根有很好的性 质 , 运用这些 性质处理 某些数学问题是方 便的 , 本文略作介绍 . 一 、 1的 : 性质一 别是 几 co s 泥一 1) . 性质二 次单位根的性质 l 的 砚 次单位根有 。 个 , 它们分 2舫 2标 卞议n . (k=0 , 1 , () , 一1 ; 。 ( 。: ) , l :. = 1 .万1 1月., ,1 . 1 “ .Je e 中学教研(数学) 199 3年第9期 (k=0 , 1 , 2 , ,二一 1) . 性质三当 。 为奇数时 , e 0 1是其唯一 实根 ;当 “ 为偶数时 , 勺一l , 传一 1 是其两 实根 . 其余各个虚根成对共扼 , 即 ;。 与 ; 一互 为共扼虚根 , 且“ - 一 1 . ( k一。 , l , , : 一 1) . 性质四 。 . 对于乘法 、 除法是 封闭的 , 或者说 , 方程 扩一19 的若干个根的乘积 也 是这个方程的根 ; 这个方程的两个 根 的商也 是这个方程的根 . , 尹 , pZ凡且夕 1 , 夕 2 , , p, 两 两互质 , 则 l的 一 切原根可由1的 尹 、 次原根乘以 尹 : 次原根 , , 乘以 尹 . 次原根 而得到 . 例如 1的4 个 J次单位根 可 山 ! 的 k 、 k + l 、 k十2 、 k十3 次幂得到 ; 1 的 1 2次原根可 由 1 的 3 次原 根乘以 l 的 弓次 原 根而 得 到 , 。 . 、厂了 . . 人 即士之下二士资 等 4 个 . ”. - 一 2 一2 J 以上性质的证明不又留 , 留给读者作为练 习 . 性质五 1+比+ 中+十诊一 ), 尹是。 的整数倍或 k一O 时 ; 尹不是 二 的整数倍且 k幸O 时 . l十几+勺十 +一1一O , l+几+ 绪+ + 战一一0 . 若 p l, p : , , 尸. 是两两 互素的 肠一 ? 标一 9 正 整数 , 且 二 尸1尸2p 。 , 则 1 的 砚 个 刀 次单 位根可由 l 的 尸1 个 尸1 次单位根 分别乘以 1 的 p : 个 p : 次单位根 , , 再分别乘以 1的尸 。 个 p . 次单位根 而得 到 . 二 、 应 用 1 . 在复数计 茸中的应用 例 1 方程 砂+护十10 有一 个复数 根 , 在复平面 上 这 个 根 的 辐 角 在 9 0 “和 18 0 “ 之间 , 求辐角 的大 小 . 解 : 由( 二3 一 ) ( 二6 + :3 + ) = :g 一l , 知满足方 程 护+护+l一O的复数根 为l 的 9 次 原根 : 性质七 艺 一 开 (一 尸t、 一誓 + 昭n _ 。 誓 +“ n 特别地 ,二 =l时 , = 且 (,一 。) 8汀 8汀 z=c os 万一 巧 , 万 性质八 表 示复平面上单位圆周 的 砚 等分点(或单位圆的内接正 砚 边 形 的 顶点) , 其中 。 1是单位圆周与正实轴的交点 . 我们称 l的某个 。 次单位根 , 叫做 l 的 双 次单位根(简称原根) , 当且仅当 1 1 1 。 时 , 不 一粤 +i s n 一宁 + “n 二吕一C OS 6汀 9 + in 10汀 9 l刁兀 9 16汀 9 。 次单位根 . 例如 l 的 3 次单 位原根 是一音+ 丫了 . 。 , l 了了 , 、 J 、 , 二 一几丁- 多于只 一下甲一 一万一 弓 1 口, J , ,人 半 乙乙乙 钧含在 为 16 0 0 。 。 一180 的只、誓 一 ,6。 。, 故辐 角 的 1 位原根是 和等等 . 性质九 1 的一 切 砚 次单位原根 , 可以 在所有单位根 几( k 一0 , 1 , ,: 一 ) 中赋 予 k 以小于 二 且与 砚 互质的一切正整数的值而 得 出 ; 且 l的 泥 次原根的个数 , 等于小于 刀 而与 。 互质的那些数的 个数 , 记为叫 , ) . 当 尹 、 q 互 质时 , 有 “ 甲(尹 口) = 尹(尹) 甲(,) . 性质十 l 的 所有 左 次单位根 , 由它的 任何一个原根 的 祝 个连接整数次 幂构成 ; 若 2 . 在解方程(组)中的应用 例 2 在复数集内解方程护 ”一 1一0 . 略解 : 方程 护一l。 , 一 一。 ,二5 一1o 根分 别 各自相乘 即得 所求 的 6 0个 根 . 例 3 解联立 方程组 二 + 歹+ : = 3 , (l) 哎 xZ + yZ + :艺 = 3 , (2) L xb + 歹 b 十 :b = 3 . (3) 解 : 设 x 、歹、: 是三次 方 程 尸一 。 “+ b T一 。 一O的根 , 则 199 3年 第9 期中学教研(数学) . 3 3 . a 一 名 + 即十 之 3 , b 砂 +笋十二 , c “ 忿即名 且可求得 b3 . 令 c 1+ 矿 , 则 上述三次方程变为( , 一 l)3一材 3 , 若令 。一冬+ i , 则 以弓乘(2)式 ,e 子乘(3)式 ,: ; 乘(4)式 , 然 后与(l )式一起 将等边两边相加 . 和式右边 , 由性质五得 4(以+ 贾+一+心 “一3 ) , 和式左边 2 + (1 十 。, ) , : 甲+(l十 e璧 )。f十(1十 。受 ) 。、 匹 2 , “l+ 扔 , 1十胡n , 1+ 。2价 . 又山(3 )式有 (1+ 二)“+ (1+ 。,。)“十 (l+ 护 ”)“= 3 , 展 开并注意到 =2 + 2号 +,si n 弩 . q 比较和式两边 , 原等式即得证 . 5 . 在解三角题 中的应用 0 , 1+扩十。劫一之 _ t乙 , k不为3 的倍数; k 为 3的倍牧 . 例 7 求 证了丁二 2一, 开 si n 玩 2 刀 可得到 饥=0 . 因此所求的根 为 x 犷一 : 1 . 3 . 在整除问题中的应用 例 4 试证 护9 9+ x s s ”+ +x l , + l 可被 护十护+ 二 十1整除 . 略证 : 设 : 是任一异于 I 的 l 的1 0次单 位根 . 由 :9 9 9 + 。88 8 + + : 川+ 1 一尹+沪十 十 十 l一O 即证 . 例 5 试确 定出所有 的正整数对(仍 , 的 , 使得( 1 十广+ 户+ + x“ )能被 吸 1+ +扩 +产)整除 . 解 : 设 ! 是 1 的 异 于 l 的 1 1 1+1 次 单位 根 , 则 1十 : 十沪十十沙一0 , 要 使 1+ 户+ 户+ 。“ ( ) . 由性质五知 , 只要 刀 不 是 、十1 的整数倍 , 即 。 . , , + I互 质即可 , 从而求得( ,。 ) . 4 . 在恒等式证 明中的应用 例 6 求证 C;十C全十十C才 ,一3 ( 泥 N) 证明 : 考虑 l 的 2。次单位根 一 担+、担 , (k0 , l , 2 , , 2 , 一l) 由性质三 _ 2标 几十勺一二讹o s 厄 万 . 兔肠一=1 一 且 ( x一 , ) 七一0 . 一1 一( x , 一) 开 ( 二, 一Zx eo s 再1 x2 . 一2+ x入一4 +护+1 护 而 、 尸 从 、 2无汀 2 泥 = 且 夕一 “ 工C O S 2标 2 砚 +1) . + 1) . ( 二 ) 在( , )式中 , 令 x 二1得 : 一 且 2(一cO S 卜下.1卜下一砚 沦 一Q山 属 鲍 、 2几 一 I T 45 , , 禁 一(2 , 一) 2 乙介 . 一1 si nZ竺 . 2砚 - 一 氛 2一 , + 2 普 乙 5“ 了 少 故丫丁二2一 且si n 其中 小。一3 为不大于 月 的 最大整数 . 证明 : 设 : 1 二 : 为 l的 一 个4 次单位根 , 山 (1+l) , = C分 十C二+C+Q , () (l+ : 1), 二e三+ e 二 。1 + e若 : 予+q : 1 , (2) (l十 。矛 ) . =Cg+C二 。芍 + C若 , + C ,一。补, (3) ( l + : 矛) 一 c分+c二 。 矛+ c若 碑+q衬 . (们 类 似于上例可证明 且 s in标 2 泥+ 1 叼厄雨万 一 芯二一- 寺 . 例 8 J、 一 各 2标 、 水和 夕 , c o s又a十获甲一下军少 . 言乌 孙 卞 1 解 : 当 k二O , 1 , 2 , , 2; 时 , 令 . 百 ,1! 。. 中学教研(数学)19 93 年第9期 、 一 (+ 粼 , +“n + 器 , , 今一 斋 + 器 , W向十名 1 + 之2+ + 22 . 勒+向几十z 0勺+ +z 0肠 = :o (1十 。1+。2十 + 。2. )=0 . 而 名c o s ( a+ 求和 2标 2计l )是复数w 的实数 , 故所 名c o s ( a+ 2无万 2忍+l 例 9 设 si n A+ sin B+ sin C 一(c os A+ 始inA)3+ (co sB+始i n 酌 3 + (eo sC+认i ,、)3 =(e osC +招inC)3(。3+护+1) =3(c o s3C +色in3C) . 又 (e“月+ 绍i力月)(eo sB 十佑inB) (e o sC + 佑InC) =(eo sC+招i n C)30 3=e佣3C + 咯in3C 二 eo s (A+B+C)+称in(A十B十C) , 由此 即证 . 6 . 在解平几题 中的应用 例1 0 设A I A Z一 A . 是半径 为 , , 中心 为 0 之 圆的一 内接正多边形 , 尸是 o A . 延 长线上 一点 . 试证 : = eos A 十c o sB 十eos C=0 , 求证 : eos3A+eo s3B+eo s 3C一3e o s(A+B十C) , si n 3A + si n 3B+ sin3C =3sin(A+ B+C) . ( l )且 P A : 一O P卜一八 (2) 名 jP A . I Z 一 , ( , , + o 尸,) . 证明 : 由条件知 c 并。+ 要 , 且有 (eo sA十拓讥月)+(eo sB+佑inB) +(eo sC+ 招inC)0 , 即 eo s (A 一C)+ i n(乃一尸)+l = 一 co s(B一C)+i si n (刀一e)皿 , 将上式两边取共扼复教 , 有 c o s(A一C)一i si n(A一)+ I 一 eo s(B一C )一i s in(刀一e) , 再将上面两个等式 两边分别相乘 , 有 eo s(月一C)+ 话in (A一C) + c o s(A一C)一翻n(A一C)十10 . 即知 e, (A一 c)+in(A一C)= 。 或 。2 , (。 1 . 丫了 . 、 一令+之下乙0 . 2 2 同理 eo s (B一c)+ in(B一e)= 。 或 。2 . 可用 反证法证得上述两式不可能同取 。 或扩 , 只能是 co s ( A 一C )+翻n ( A一C ) 一。时 , cO S ( B 一C)+绍i n(B一C)护(或者相 反) . . 。 e璐A+ 招i几吸= 。(eosC+拓inC) , eo s B+i sinB一扩(eo sC+巧恤C) , 故 (c o s3A + i sin3月)+(eo s3B+认in3B) +(eo s3C+i sin3C) 证明 : 不妨假定这正多边形在复平面 上 , 圆 心 在原 点 , A I 在正实轴上 , 则 其 它 顶 点 对 应 复数 , 。, 声 , , 、一 , 这里 。 是 1的单个 异 于 1 的 , 次单位根(或 砚 次 原根) , 又设 p 点 对 应的复数 为 二, 则 p月 , 】 ; 一 ,。一, (、= (l )由性质七 , 有 , 2 , ,、) 耳 ( 二 一户一 ) 一广一, 开 P A 一 开 一二 一, 卜一卜1 . 万尸 . X , 二 , X 求 ;t 护尹 = 广一 7. l 二广一 , 一 o p “ 一尸 (2)山 剐 . 】 “= ! x 一 z 。,一】 2 =( x 一 , 。,一1 )( x 一 , 省,一) 一 公 x 十尸 扩一1 扩一1一x咫一,一x r犷一, 口 P Z+,2 一 x 此 ,一1 一刀 扩一1 . 乙 I剐 、12 一 n (OP Z+尹 2 ) 一。(l+ + 沪+沪一 ) 一刀(1+ : +沪+ 沪一l ) 一 。(O PZ+,2 ) . 1993年第9期 中学教研(数学) 例1 1 设M是锐角力及7内一点 , 并使 匕AMB=乙刀MC乙CMA一 12 0 0, 又 p 为乃B内任意点 , 试证 : PA + P B+PC MA+MB+MC . 证明 : 如图 , 建 立复平 面 , M点在原 J点 , 设 A 、 B 、 c三 点 在对应 的复数分别 为勺 、 助 、 灸 , p 点 对 应 的复 数为 :, . 注 意到 1的3 次单 位 根的性质 , 于是 = ! :浦一引 + 1( :, 一孙)。J+ I(孙一夺)护I )1( 之, + z, 。+补。2)一孙(1+。+ 护) = :, +助。+掩。21 . (二) 由于不等式( , )右端为定值 . 由( , )的 证明过程知 , 不等式( , )中等号成立的条件 是 三个复数勺一z P , (勺一即)。 , (介一孙)护所 对应 的向量方 向相 同 . 而复数乘法的几何意 义知 , 此时勺一z P 、z , 一z P 、介 一z P 所对应的向 量戒 、筋、论两两夹 角为 12 0 。, 即 p 重合于M 点 . 故 尸月+PB十尸C )MA十万B十Mc . 勺一今十1介一孙十z e 一 夺! 199 3 年高 考数学试题评析 任樟辉黄美剑 对于今年普通高等学校招生全国统一考试(常规卷理科及文科)的数学试题 , 我们根据参加评