1988年全国青年力学竞赛试题及解答(理力).pdf

19 8 8年全国青年力学竞赛试题及解答 说明: 1 . 全部解答将在本刊 19 88 年四 、五、 六期内登出 , 即第四期登理论力学部分 , 第五期登材杆力 学部分 , 第六期登弹性力学和流体力学部分 . 2 . 19 8 8 年四 、 五 、 六期的小问题栏暂停 . 一 、 理论力学娜分 第 1 , 2 , 3 , 1 0题为填充题 , 只要求写结果 , 不要求 写解题过程 . 其他各题要求解题过程 . 1 图 l所示平衡系统中, 物体 I,11,Ixx,Iv 之间 分别通过光滑铰链 汉 , B,c 连接 . 。,E 为固定支座 , D , F, G , “处为杆约束 . 尺寸如图 , b/ 1 . 5 . 物体 1 1 受大小为,的力偶作用 . 假定全部力均在图示平面 内 , 且不计所有 构件的自重 , 杆 。,G 的内力不 为零 , 则 杆 。; H 与杆 0 , H 所受内力之比为_ (要求计算 三位有效数字) . (邹大国 , 四川省城 乡建设千部 学校) / / / / / 图 2 所以 , s一/s, tg, (cH 一KT)/C T 嵘嵘嵘嵘嵘嵘嵘嵘嵘H H H H H 口。卜 卜卜卜卜卜卜 份份份份 亡亡亡亡 工工工工工工工工工工工工工工工工工工工工 F F F uL 君 】一 O O O 幼幼幼幼幼幼幼幼幼 , , , , ,_、 / 2 , L“ 一 夕lj 少 吸一 D I= U 。 )U U 。 3/ 即杆 。 4H 与 。,H 的内力之比为0 . ,。 。 . 2 . v 形槽中放置一 个半径为 / 的匀质圆柱 , 槽边 与水平夹角为 “ (图 3), 接触处的摩擦系数 “ t g甲。 圆柱重 G . 设转动圆柱所需的最小力偶矩为 L. , 则当 卯,拜, 即 a, , 时 , N : 0 ; 而当 “沁 时 , N : 0 , 此时 L. 犷si n 0 . 所以有 编 一 介 LO rs in a si n Z沪. 当 沪二o , 且 沿AB方向 , 这种情 况是不可能发生的 . (2)根据前面的分析 , 可分两种情形讨论 . 冈 初始时 二 a r 了万 . , J ,=。 二6 usina。co ,a。/ l(8 一3 e o:, 。) . 6 一质量 为 M , 半径为 b 的空心薄圆柱 0 , 在光 滑水平面上运动 . 另一质量为 m , 半径为 a ( 。(00), 得 e os(28 +a通)si na泥=0 . e,装。 , 故最大倾角(即最优折线之夹角乙 BAc ) p l 尺 : 一 , n口 , 二 . 令, . a尸 Kr vrz 一 PZ 或 因 e, 一二一 叁 . 积分后 42 质点通过最优折线之时间(最短时间)为 。 - 一 _ 尺 / , , 一 p, 甘 a压tg 人I P V R 孟 一 r, , 。 一2 ,。!。_。_ 一2、/了 。r 。 。0 : , , g 一 sin o 滩 l+ si n 夕月 . p _ _ _ / , 一 p , 一, , a l Lg 气I 一二二- - - ,于 , 尺 V 人 一 尸 ( c ) 取极轴 o p土AB (图 14 , 图中 9 . +e : = 9), 势能 犷(, )二 “g r, / (Z R ) , 由能量守恒 , ( * ) , 8 , 时 , 上m , : + 2 mg rJ 功gR - 万一 这是圆内旋轮线方程(图 1 4), 当 / 二R , e 可 得 得质点速度为 , 二 斌 ; (R , 一 , )/ R . , 一 ( 一 孕) R . 质点由 A 经旋轮线到 B的时间(最短时间)为 了. ,。 一2 了万 f” ( ,”“ 一2了 万 犷 。 桨 击 一2 丫万 犷 交 耳二 rdr 丫( R , 一 , )( r, 一 。, ) / 尺 , 一 p , 一 飞I 挂“ yR g : 运Zr , 一(p , + 尽 , ) R 盆 一P l 二 图 14 因 , 二击Z介 , 且 一 , 了 竺最二 一犷瓦吞二可两厅 下面说明方程(*)是圆内旋轮线方程 . 由图 14 , d 了 侧(J r ) , + ( ,JO), 二 斌 ,” + ,: ds r/de, 故有 e : R2 占a (b是小圆半径) , 即 其中 尸二0 二下犷气 设 R 在 必(, , ) “ 一 了 带瑞 0 . 了告芳 , 二Z b + 户,即Z b二R一口 , 2(R 一占)二R+ 户, OMs 中 , r. 双 , + (Z b e osa ) 忿 一ZR Zbeo s Z。 2 乡 2(R一沙)c o s 艺a 及 忍 一 ”. 则有 , 一 了万 J之 “, r 口 即 所以 ,_。_ _ /下蔽二下, . _ _ 厂芬爪二矛一 一 一 V飞歹丁万 吕 “一 V 玉犷二下; . 1 . B 厅 日 在 盛OMQ 中 , e , + a+ 功+二 二 , 2 即 。 : 一 仁 一 , 、 一 二, 、21 又因为 (粤 + 。、 入生一一艺里 里竺 r P / _ _解勺 / 声门 尸二- 叫曰 s i n必二二 p l R, 一 ,” O石砚 吕, rV R 3 一 P .卜一 l 一州” , _ I 二 _ 八 _, R /钾万二蔺尸 g 、万 一 w . “g尹 万V 下厂二万 . 图 16 。 _ 。 . 0 Zb . / 汀 . _ 甘 一 口 . 十 。, . “ 甲 I 一 W l 一 “ R 21 将碰 撞后的 OA 石 与点P的位形相对碰撞壁 注, 作 镜面反射(图 17), 则点 p 碰 撞前后的轨迹仍连接成一 直线 , 速度保持不变 . 以 后 所 最 喇 一 (奋 一 ) 一 佘 一 剖令井 - p _ _ _ l , 一 p厂 一 二, al Lg电I - 气:二一- - -二 尺 , K 一 r . 图 17 8 . 质量均为,的两质点 p :, p : 沿一光滑直线O x 运动 , 其位置在距离为 l的两壁之间 (图 15) . 设质点 之间 , 质点和培壁之间的碰搜都是完全弹性的 . 问在 什么条件下 , 经过一段时间后 , 两质点的位置和速度同 时回到初始状态?若发生两质点同时与一侧壁碰撞的 三体碰撞时 , 则视为无限短时间内相继发生的两体碰 撞 . (胡宁信 , 吉林大学) 些 ,: 尸 。、 晚 图1 8中有阴影的三角形表示经反射后和 原来 的 。才B 一致的三角形 . 点 p 运动到阴影三角形中相同 位置的 P 时 , 表示两质点 p ., p , 回到了初始状态 , 此 时两者的坐标差为 x 一 2(二+ ”)l, 二 : 2 ”1. 由图1 , 两质点的速度比为 生 . 竺生 , x 份 + . 这表明质点组作周期运动的必要条件是它们的速度比 , : / , 为有理数(。 , 为整数) , 包括比值为c o( , , 。0 ) 和 。( , , =0 ) , 与质点组 的初始位置无关 . 不难说明 这一条件也是充分的 . 图 15 解 : 以质点 p ., p : 在O x 轴上的坐标 x ., 朴作为 平面 。二j x , 中一点 p 的坐标( x: , x: ) , 这样 , 质点组 p : ,尸2 的位置和速度可由点p在坐标系中的位置和速 度表示(图 1 6) . 因 。( x: 簇 x: 砚l, 故 p 点限制在。A刀中运动 . 点 p 与 0 才 边 、 AB 边和 O B 边的碰撞 , 实际上分别 是质点 p , 与左壁 , 质点 p : 与右壁以及两质点之间的 碰撞 . 因碰撞是完全弹性的 , 故质点与壁碰撞时速度 反向 , p . 与p : 碰撞后交换速度 . 所以 , 对应的p点的 碰撞是相对 O A 、O B 和 才B 的完全弹性反射 . 没有 碰撞时 , . 和 “, 为常数 , 对应于 p 点轨迹为直线 . 以 点p与 AB 边碰撞为例(即质点 p . 与右壁碰撞) , 若 了了 了了 、 A 、 A A A A A A A A A A A / / / / / 蔗蔗 赚赚 且 A A A A A 厂厂 一一了 了 A 少狱狱狱狱 潇潇潇 . 丫丫 . 厂厂 形形 、 、 、 多叨 名招 图 l吕 、 ,口、,矛 自R Z 户L 产奋、 9 . 半径为 a, 质量为 。的均匀圆球在半径为石的 完全粗糙的另一固定圆球的外表面上滚动 , 试建立动 球的运动微分方程 。 当动球转速超过多少时 , 动球可 以在定球的最高点处稳定地转动 . (出题者:程稼 夫 , 中国科技大学;解题者 : 贾书惠 , 清 华大学) 口二c o 明,D , 二 对 , 口,s沁口 : , 。: 二( a +b )石 , , , 二 一( 。 +)侧月, 少。5 . 0 约束条件 : 。, = 。 +o , x (一 a e, ) o 夕. 一 . . . 0 ,夕c, 十 a 田 . 目0 夕 . 小 石 : - 切 . 目一一 二 二 . - - 二-二口CO日日。 口口 少:a 十b d w , p 口口 气9) 将( 7), (夕)代入( 6)得到关于自转角速度“ 的特性 , 。 , 。, 或 。 , 常数 将 夕) , ( s) , (9)代人( z) , (2) , (呼) , ( s)得: 。( a +占)(声+ Zc o s月s沁 口 = F 。 +, g c o sos访 月 。( a +b)(一c o明+2 户 sin 尹) = F, 一功9 si n众 普 。(+)(, 一2*声 S, ,) + 号 。一, 一r , 苍 。 +”) ”+ : 。 ,一,) 一 号 勿一c O , 一 , . ( 1 0) ( 11) ( 12) ( 13) ( 14) 解 : 本题 中动球受非完整约束 , 敌不能应用拉氏 二类方程;又因要求动球在最高点处转动的稳定条件 , 所以也不能用球坐标描述球心的位 置 . 如图1 9所示 , 用卡尔丹角 a , 月描述动球质心c的位置;建立动坐标 系O x” , 它相对定坐标系的方位由 Q 沪 确定 , 其角速 度为0 . 坐标系Lc ,。.,e :,., j过动球质心 c , 且与 坐标系O x”相平行 . 动球质心 c 的 速度为 , , 动球 绝对角速度为 0 , . 动球所受之力为 。B , N , F ., F , . 由质心运动定理向动坐标系 0”: 各轴的投影式 得 : 。(沙 , 一 , ,“ + D ,es) F, +。g c o s osi n 月 ( l) 。(沙 。, 一 。:, 。, + 。J, 。. ) F, 一。9 si n 。 (2) 。(沙 c, 一口 t 气 , +口 ,。: ) N一二君伽烧“月 ( 3) 由相对质心的动量矩定理在动坐标系 c ,e . ,。, . , 1各轴的投影式得: 晋 ,一“ ! 一D ,“7 +, “: ) 一,二, 香 。一“ , 一“ : “+“ , 。 ) 一 F ! (;) 号 。二( ! 一” :。、 + “!臼: , 一。 (6) 运动学关系: 。 。 口 x ( 。 +b)e - 从上面四式中消去 F , 万. , 即得动球的运动微分方程 式: 7(。+石) (e o明一2郊si n月)+2 。听月 一, gsina o (l,) 7(a+乙)( 沙+ ,s in月C O s产 ) 一Z a。:“产 一sgc o s a:i n 口二o ( 2 6) 此方程有特解 a * , 。,月*。, 代表动球在固定球的 最高点处以“ : 自旋的运动 . 为研究此运动的稳定性 , 将a , 月看成小量 , 并在式( 1 5) , (16) 中略去二阶以上 的小量 , 得到线性化的受扰运动方程 : 7(。+)+Za。 , 夕一 ,窟ao ( 1 7) 7( a +)口一2 。, 一59口o (1 5) 其特征方程为 : 17( a +b)又 2 一 5口2。 . 1 I 一z a田, 7吸+ b ) 凡 . 一, 9 1 或 月 , ( a +b) t又 + t4 。,。蛋一 70( a +)窟 +259 生 。o (1,少 四个特征根都没有正实部的条件是 : , a,。弓一 70( a +b)忍) , 一4 25 49( 。 + 去) . 护) o (20) 或 “蛋 35 9(a+ b)/护 (2 1) 这就是动球在最高点自转运动的稳定条件(严格地讲 , 越样求得的只是稳定的必要条件) . 10 . 内半径 R 3 0 cm 的空心圆柱 O , 水平固定 放置 . 质量为 M , 半径为 ! 二1 0 cm 的均匀 圆环 。 : 可以在 圆柱内作纯滚动 . 质量为 . 的质点 A固联在圆 环 0 : 的边缘上 . 当圆环 0 . 处于圆柱 。的最低位置 时 , 质点 汉处于圆环的最高位置 . 设 口0 、 与向下竖直 线的夹角为 e(图20 ) . 则 , 当 MZm 时 , 圆环的稳 定的平衡位置为 口 _ 弧度 , 圆环在此平衡位置 附近微振动的周期为_秒 ; 当 。一ZM 时 , 圆环 的稳定的平衡位置为 0, _ 弧度 , 圆环在此平衡 位置附近微振动的 周期为_ 秒(取重力加速度 召. 9 8 0 厘米l秒 , 要求计算三位有效数字) . (殷金 生 , 和京大学分校 , 武变 , 北京大学) l ( 。)一。(,+Zm 。 : 鄂 , 势能为 V 二一M(R一 , )。e 一. 9(R 一 , )c o oe +