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2011年河北省大学生数学竞赛（非数学类）年河北省大学生数学竞赛（非数学类） 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 考试时间 9 月 24 日上午 9：0011:30 一、 （本题满分 10 分）设)(xf在0=x的某邻域内有连续的导函数, 且 , 2) )(sin (lim 2 0 =+ x xf x x x 求)0(f与)0( f. 解: 由, 2) )(sin (lim 2 0 =+ x xf x x x 得到 . 0 ),1 (2 )(sin 2 +=+x x xf x x o 因此 0 xx),( sin 2)(+=o x x xxf. 由于)(xf在0=x的某邻域内有连续 的导 函数, 故)(xf在0=x连续, 所以 . 1 )(lim)0( 0 = xff x （5 分） 由导数的定义, . 2 1)( sin 2 lim )0()( lim)0( 00 = + = = x x x x x x fxf f xx o （10 分） 10 分 二、 （本题满分 10 分） 计算级数LL+ + + ) 1( ) 1( 45342312 5432 nn xxxxx n n 之 和, 1|=xfxfxfxfxfxF （6 分） 因此当) 1 , 0(x时)(xF递增, 且0)(xF, 又由于)(xF在1=x处连续, 故 . 0) 1 (F （10 分） 十 、（ 本 题 满 分10分 ） 设)(xf在 1 , 0上 有 三 阶 连 续 导 数 , . 0 )( , 2) 1 (, 1)0( 2 1 =fff 证明至少存在一点),1 , 0( 使得.24| )( |f 证明: 由泰勒公式, 存在),1 ,(), 0( 2 1 2 1 使得 3 2 1 6 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 )0)( )0)( )0)( )()0(+=fffff; ,)1)( )1)( )1)( )() 1 ( 3 2 1 6 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 +=fffff （5 分） 两式相减, 并用已知条件, 得 ,48
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