2006-2017 IMO试题.pdf

2006 年 7 月 12 日 一、 设I为的内心，ABCP是ABC内部的一点， 满足 PCBPBCPCAPBA+=+. 证明：AIAP ， 并说明等号成立的充分必要条件是IP =. 二、 设为正 2006 边形. 如果的一条对角线的两端将的边界分 PPP 成两部分，每部分都包含P的奇数条边，那么该对角线称为“好 边”. 规定的每条边均为“好边”. P 已知 2003 条在P内部不相交的对角线将P分割成若干三角形. 试问在这种分割之下，最多有多少个有两条“好边”的等腰三 角形. 三、 求最小的实数M， 使得对所有的实数和c， 有 ba, . 2222222222 )(| )()()(|cbaMaccacbbcbaab+ 时间：4小时30分钟 每题7分 language:Chinese (Simplified) day:1 2006 年 7 月 13 日 四、求所有的整数对， 使得 ),(yx 212 221y xx =+ + . 五、设为次（）整系数多项式，k是一个正整数. 考虑多项 式 ， 其中 )(xPn1n )()(LLxPPPPxQ=P出现k次. 证明：最多存在 个 整数 t，使得 . n ttQ=)( 六、对于凸多边形P的任意边 ，以 为边，在bbP内部作一个面积最大 的三角形. 证明: 对的每条边， 按上述方法所得三角形的面积 之和至少是 P P的面积的2倍. 时间：4小时30分钟 每题7分 language:Chinese (Simplified) day:2 Version : Simplifi ed Chinese 2007 c 7 25 F K 1. a1,a2,.,an. z i (1 i n), : di= maxaj: 1 j i minaj: i j n, - d = maxdi: 1 i n. (a) y: ? x1 x2 . xn, k max|xi ai| : 1 i n d 2. () (b) y: 3 x1 x2 . xn () . K2. A,B,C,D,E :, ABCD 1o/, BCED S o/. L A , DC ?u: F (F DC S :), BC ?u: G. e EF = EG = EC, y: DAB . K 3.3gm, k m*l. *lXp. X J+m? AC R?u: Q. K L O BC AC :. y: RPK RQL . K 5. a b . 4ab 1 (4a2 1)2, y: a = b. K 6. n . S = (x,y,z) : x,y,z 0,1,.,n, x + y + z 0 nmk (n + 1)3 1 :8. : ?, 8U S, ? (0,0,0). m4 ?30 zK7 1 2008年7月16日， 星期三 1. 已知 H 是锐角三角形 ABC 的垂心，以边 BC 的中点为圆心，过点 H 的圆 与直线 BC 相交于两点 12 ,AA；以边CA的中点为圆心，过点H的圆与直线CA相 交于两点 12 ,BB；以边AB的中点为圆心，过点H的圆与直线AB相交于两点 12 ,C C. 证明：六点 12 ,AA 12 ,BB 12 ,C C共圆. 2. （a）设实数x，y，z都不等于1，满足xyz1，求证： 222 222 1 (1)(1)(1) xyz xyz + . （b）证明：存在无穷多组三元有理数组（x，y，z），x，y，z都不等于1， 且xyz1，使得上述不等式等号成立. 3、证明：存在无穷多个正整数n，使得 2 1n +有一个大于22nn+的质因子. Language: Simplified Chinese 考试时间：4小时30分 每题7分 Language: Chinese (Simplifi ed)Day: 1 49th INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD MADRID (SPAIN), JULY 10-22, 2008 2008年7月17日，星期四 4.求所有的函数: (0,)(0,)f+ +， 满足对所有的正实数 w，x，y，z， w xy z，都有 ()() 22 22 2222 ( )( ) ()() f wf xwx f yf zyz + = + . 5. 设 n 和 k 是正整数，kn，且kn是一个偶数.2n 盏灯依次编号为 1， 2，2n，每一盏灯可以“开”和“关”.开始时，所有的灯都是“关”的.对 这些灯可进行操作，每一次操作只改变其中的一盏灯的开关状态（即“开”变成 “关”，“关”变成“开”） ，我们考虑长度为 k 的操作序列，序列中的第 i 项就 是第 i 次操作时被改变开关状态的那盏灯的编号. 设 N 是 k 次操作后使得灯 1，n 是“开”的，灯 n1，2n 是“关” 的状态的所有不同的操作序列的个数. 设 M 是 k 次操作后使得灯 1，n 是“开”的，灯 n1，2n 是“关” 的，但是灯 n1，2n 始终没有被开过的所有不同的操作序列的个数. 求比值 N M . 6.在凸四边形ABCD中，BABC. 1 和 2 分别是ABC和ADC的内切圆. 假设存在一个圆与射线BA相切（切点不在线段BA上），与射线BC相切（切 点不在线段BC上），且与直线AD和直线CD都相切. 证明：圆 1 和 2 的两条 外公切线的交点在圆上. Language: Simplified Chinese 考试时间：4小时30分 每题7分 Language: Chinese (Simplifi ed)Day: 2 49th INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD MADRID (SPAIN), JULY 10-22, 2008 2009年7月15日，星期三 1.设 n 是一个正整数，是集合 12 ,(2) k a aa k ?1,n?中的互不相同 的整数，使得对于，都有n整除1,1ik=?1) 1 ( ii a a+. 证明：n不整除 1 (1 k a a ). 2. 设O是三角形ABC的外心. 点P和Q分别是边CA和AB的内点. 设K，L和M分别是线段BP，CQ和PQ的中点，是过点K，L和M的 圆. 若直线PQ与圆相切，证明：OP = OQ. 3设是一个严格递增的正整数数列，使得它的两个子数列 123 ,s s s? 123 , sss sss? 和 123 111 , sss sss + ? 都是等差数列. 证明：数列本身也是一个等差数列. 123 ,s s s? Language: Simplified Chinese 考试时间：4小时30分 每题7分 Language:Chinese (Simplied) Day:1 2009年7月16日，星期四 4. 在三角形 ABC 中，AB = AC，CAB和ABC的内角平分线分别与 边 BC 和 CA 相交于点 D 和 E. 设 K 是三角形 ADC 的内心. 若45BEK= ) ， 求所有可能的值. CAB 5. 求所有从正整数集到正整数集上的满足如下条件的函数 f ：对所有 正整数 a 和 b，都存在一个以 ,(af b 和( ) 1f bf a+ 为三边长的非退化三角形. （称一个三角形为非退化三角形是指它的三个顶点不共线.） 6.设是互不相同的正整数. M 是有 12 , n a aa?1n个元素的正整数集， 且不含数. 一只蚱蜢沿着实数轴从原点 0 开始向右跳跃 12n saaa=+? n 步，它的跳跃距离是的某个排列.证明：可以选择一种排列， 12 , n a aa? 使得蚱蜢跳跃落下的点所表示的数都不在集 M 中. Language: Simplified Chinese 考试时间：4小时30分 每题7分 Language:Chinese (Simplied) Day:2 2010年7月7日，星期三 1. 求所有的函数 f : ，使得等式 ( )( )fx yf xf y 对所有, x y成立 （这里， z表示不超过实数z的最大整数 ） 2. 设三角形ABC的内心是I，外接圆为直线AI交圆于另一点设E是弧D BDC上的 一点,F是边BC上的一点，使得 1 2 BAFCAEBAC 设G是线段IF的中点证明：直线DG与EI的交点在圆上 3设是所有正整数构成的集合求所有的函数g : ，使得对所有， ,m n ( )( )g mnmg n 是一个完全平方数 Language: Chinese (Simplified) 考试时间：4 小时 30 分 每题 7 分 Language: Chinese (Simplifi ed) Day:1 2010年7月8日，星期四 4. 设 P 是三角形 ABC 内部的一点，直线 AP，BP，CP 与三角形 ABC 的外接圆的另一个交 点分别为 K，L，M圆在点 C 处的切线与直线 AB 相交于点 S假设 SC = SP，证明: MK = ML 5. 有 6 个盒子 123456 ,B B B B BB ，开始时每个盒子中都恰好有一枚硬币每次可以任意选择 如下两种方式之一对它们进行操作： 方式1： 选取一个至少有一枚硬币的盒子(15) j Bj， 从盒子 j B中取走一枚硬币， 并在盒子 1j B 中加入2枚硬币 方式2：选取一个至少有一枚硬币的盒子(14) k Bk，从盒子 k B中取走一枚硬币，并且交换 盒子 1k B (可能是空盒)与盒子 2k B (可能是空盒)中的所有硬币 问: 是否可以进行若干次上述操作，使得盒子 1234 , 5 B B B B B中没有硬币，而盒子 6 B中恰好有 枚硬币？（注： ） 2010 2010 2010 () c b aa c b 6. 设是一个正实数数列假设存在某个固定的正整数s，使得对所有的，有 123 ,a aans max11 nkn k aaakn l 证明: 存在正整数l和N，使得对所有的n都有lsN nln aaa Language: Chinese (Simplified) 考试时间：4 小时 30 分 每题 7 分 Language: Chinese (Simplifi ed) Day:2 Language: Chinese (Simplied) Day: 1 2011年7月18日，星期一 1. 对任意由 4 个不同正整数组成的集合 1234 ,Aa a a a，记 123A saaaa4，设是满 足整除的数对（i，j）的个数求所有由4个不同正整数组成的集合A，使得 达到最大值 A n (14) ij aaij A A s n 2. 设是平面上包含至少两个点的一个有限点集，其中没有三点在同一条直线上 S 所谓一个“风车”是指这样一个过程：从经过中单独一点的一条直线 开始，以为旋转 中心顺时针旋转，直至首次遇到中的另一点，记为点Q接着这条直线以为新的旋转中心顺时 针旋转，直到再次遇到中的某一点，这样的过程无限持续下去 SPP SQ S 证明：可以适当选取中的一点，以及过的一条直线，使得由此产生的“风车”将中 的每一点都无限多次用作旋转中心 SPPS 3设是一个定义在实数集上的实值函数，满足对所有实数x，y，都有 :f ()( )( ( )f xyy f xf f x， 证明：对所有实数，有 0x ( )0f x Language: Chinese (Simplified) 考试时间：4 小时 30 分 每题 7 分 Language: Chinese (Simplied) Day: 2 2011年7月19日，星期二 4. 给定整数有一个天平和个重量分别为0n n 011 2 ,2 ,2n的砝码 现通过步操作逐个将所有砝码都放上天平，使得在操作过程中，右边的重量总不超过左边的 重量每一步操作是从尚未放上天平的砝码中选择一个砝码，将其放到天平的左边或右边，直至 所有砝码都被放上天平 n 求整个操作过程的不同方法个数 5. 设 f 是一个定义在整数集上取值为正整数的函数， 已知对任意两个整数 m， n， 差( )( )f mf n 能被()f mn整除证明：对所有整数 m，n，若( )( )f mf n，则( )f n被( )f m整除 6. 设锐角三角形 ABC 的外接圆为，是圆的一条切线记切线 关于直线 BC，CA 和 AB 的对称直线分别为，和证明：由直线，和构成的三角形的外接圆与圆相切 a b c a b c Language: Chinese (Simplified) 考试时间：4 小时 30 分 每题 7 分 Language: Chinese (Simplied) Day: 1 2012年7月10日，星期二 1. 设J为三角形ABC顶点A所对旁切圆的圆心. 该旁切圆与边BC相切于点M，与直线AB 和AC分别相切于点K和L. 直线LM和BJ相交于点F，直线KM与CJ相交于点G. 设S是直线 AF和BC的交点，T是直线AG和BC的交点. 证明：M是线段ST的中点 （三角形ABC的顶点A所对的旁切圆是指与边BC相切，并且与边,AB AC的延长线相切的 圆.） 2. 设整数3n ，正实数 23n a ,a ,a满足 23 1 n a aa =证明： () ()() 23 23 111 n n n +a+a+an 3 “欺诈猜数游戏”在两个玩家甲和乙之间进行， 游戏依赖于两个甲和乙都知道的正整数k和 n. 游戏开始时甲先选定两个整数x和N, 1xN. 甲如实告诉乙N的值， 但对x守口如瓶. 乙现 在试图通过如下方式的提问来获得关于x的信息: 每次提问，乙任选一个由若干正整数组成的集合 S（可以重复使用之前提问中使用过的集合） ，问甲“x是否属于S?”. 乙可以提任意数量的问题. 在乙每次提问之后，甲必须对乙的提问立刻回答“是”或“否” ，甲可以说谎话，并且说谎的次数 没有限制，唯一的限制是甲在任意连续1k +次回答中至少有一次回答是真话. 在乙问完所有想问的问题之后，乙必须指出一个至多包含n个正整数的集合X，若x属于X， 则乙获胜；否则甲获胜. 证明： （1）若2kn ，则乙可保证获胜； （2）对所有充分大的整数k，存在整数1.99kn ，使得乙无法保证获胜. Language: Chinese (Simplified) 考试时间：4 小时 30 分 每题 7 分 Language: Chinese (Simplied) Day: 2 2012年7月11日，星期三 4. 求所有的函数f，使得对所有满足0a+b+c=的整数a,b,c，都有 ( )( )( ) 222 f a+f b+f c=( )( )( )( )( )( )222f a f b + f b f c + f c f a （这里表示整数集 ） 5. 已知三角形 ABC 中，90BCA=， D 是过顶点 C 的高的垂足. 设 X 是线段CD内部的一点. K 是线段 AX 上一点， 使得=BK BC L 是线段 BX 上一点， 使得=AL AC. 设 M 是 AL 与 BK 的交点. 证明: MKML= 6. 求所有的正整数n, 使得存在非负整数 12 , n a aa，满足 1212 11112 1 222333 nn aaaaaa n +=+= Language: Chinese (Simplified) 考试时间：4 小时 30 分 每题 7 分 Language: Chinese (Simplifi ed) Day: 1 2013年7月23日,星期二 第第第 1 题题题.证证证明对于任意一对正整数 k 和 n, 都存在 k 个 (不必不相同的) 正整数 m1,m2,.,mk, 使得 1 + 2k 1 n = ( 1 + 1 m1 )( 1 + 1 m2 ) ( 1 + 1 mk ) . 第第第 2 题题题.平平平面上的 4027 个点称为是一个哥伦比亚式点集, 如果其中任意三点不共线, 且有 2013 个点 是红色的, 2014 个点是蓝色的. 在平面上画出一组直线, 可以将平面分成若干区域. 如果一组直线对于 一个哥伦比亚式点集满足下述两个条件, 我们就称这是一个好直线组: 这些直线不经过该哥伦比亚式点集中的任何一个点; 每个区域中都不会同时出现两种颜色的点. 求 k 的最小值, 使得对于任意的哥伦比亚式点集, 都存在由 k 条直线构成的好直线组. 第第第 3 题题题.设设设三角形 ABC 的顶点 A 所对的旁切圆与边 BC 相切于点 A1. 类似地, 分别用顶点 B 和顶 点 C 所对的旁切圆定义 CA 边上的点 B1和 AB 边上的点 C1. 假设三角形 A1B1C1的外接圆圆心在 三角形 ABC 的外接圆上. 证明：三角形 ABC 是直角三角形. 三角形ABC的顶点A所对的旁切圆是指与边BC相切，并且与边AB, AC的延长线相切的圆. 顶点B，C所对的旁切圆可类似定义 Language: Chinese(Simplifi ed)时间: 4小时30分 每题7分 Language: Chinese (Simplifi ed) Day: 2 2013年7月24日,星期三 第第第 4 题题题.设设设三角形 ABC 是一个锐角三角形, 其垂心为 H, 设 W 是边 BC 上一点, 与顶点 B,C 均不 重合. M 和 N 分别是过顶点 B 和 C 的高的垂足. 记三角形 BWN 的外接圆为 1, 设 X 是 1上一点, 且 WX 是 1的直径. 类似地, 记三角形 CWM 的外接圆为 2, 设 Y 是 2上一点, 且 WY 是 2的直 径. 证明: 点 X, Y 和 H 共线. 第第第 5 题题题.记记记 Q0是所有正有理数组成的集合. 设函数 f : Q0 R 满足如下三个条件: (i) 对所有的 x,y Q0, 都有 f(x)f(y) f(xy); (ii) 对所有的 x,y Q0, 都有 f(x + y) f(x) + f(y); (iii) 存在有理数 a 1, 使得 f(a) = a. 证明: 对所有的 x Q0, 都有 f(x) = x. 第第第 6 题题题.设设设整数 n 3 , 在圆周上有 n + 1 个等分点. 用数 0,1,.,n 标记这些点, 每个数字恰好用一 次. 考虑所有可能的标记方式; 如果一种标记方式可以由另一种标记方式通过圆的旋转得到, 那么认为 这两种标记方式是同一个. 一种标记方式称为是漂亮的, 如果对于任意满足 a + d = b + c 的四个标记 数 a 3, ?3dn:?%?:8. 111 2 KKK.(kn?|(a,b,c), ? ab c,bc a,ca b ?z2?. (2?/X2n?, nK?.) 111 3 KKK.333b?n?/ABC, AB AC. ?, H?R%, Fd:A?p ?Rv. MBC?:. Q:, ?HQA = 90, K:, ?HKQ = 90. :A,B,C,K,Qp, UdS?3. y: n?/KQH?n?/FKM?. Language: Chinese(Simplifi ed)m: 4 ? 30 zK 7 Language: Chinese (Simplifi ed) Day: 2 2015c7?11F, (8 111 4 KKK.333n?/ABC, ?, O?%.A?%?BC?u :DE, ?:B,D,E,Cp, UdS?3BC. ?FG?:, ?: A, F, B, C, GUdS?3. ?Kn?/BDF?AB?,?:. ?Ln?/CGE?CA?,?:. b?FKGL, ?u:X. y: X3AO. 111 5 KKK.?R?N?8. k?f : R R, v?x,y, k f(x + f(x + y) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x). 111 6 KKK.?S?a1,a2,ve?: (i) z?j 1, k1 6 aj6 2015; (ii) ?1 6 k m N?mn. Language: Chinese(Simplifi ed)m: 4 ? 30 zK 7 Language: Chinese (Simplifi ed) Day: 1 2016c7?11F, ( 111 1 KKK.n?/BCF, ?B?. 3CF?:A, ?FA = FB, F3:ACm. ? :D, ?DA = DC, ACDAB?S?. ?:E, ?EA = ED, ADEAC?S? . ?MCF?:. ?:X?AMXE1o/(p AMkEX, AEkMX). y: BD,FXMEn?:. 111 2 KKK.(k?n, ?3n nL?z?Wi1I,M,O, ve ?: 3z19z?, Tkn?Wi1I, n?Wi1M, n ?Wi1O; 3z?, eT?n?, KTkn?Wi1I, n?Wi1M, n?Wi1O. 5: nnL?1?Ug,?SIP1n. ddz?Au?(i,j), 1 i,j n. n 1, Lka?O4n 2?. 1a?di + j, ?k?(i,j)?, 1?a?di j,?k?(i,j) ?. 111 3 KKK.?P = A1A2Ak?/. :A1,A2, ,Ak?pI?, 3?. P?PS. ?n?, vP?z?n?. y: 2S?, ?n?. Language: Chinese(Simplifi ed)m: 4 ? 30 zK 7 Language: Chinese (Simplifi ed) Day: 2 2016c7?12F, (? 111 4 KKK.d?88, e?k?, z? ?k?f. ?P(n) = n2+ n + 1. : ?b?U?3 K?a, ?8 P(a + 1),P(a + 2), ,P(a + b) 8? 111 5 KKK.333?k (x 1)(x 2)(x 2016) = (x 1)(x 2)(x 2016), ?k2016g. : ?k?, 3?4032g ?Tk, ?z?3eg, ?vk? 111 6 KKK.333kn 2, ?, vkn?u:. #3 z?:“?3d:, “?,:. ?X#n 1g. z?g, z“?=ca?3?e?:. z“?gUCa ?. #?“U?/“?, ?3?k“?3?:. (a) y: en, K#oUy?“. (b) y: en, K#oUy?“. Language: Chinese(Simplifi ed)m: 4 ? 30 zK 7 2017年7月18日,星期二 第第第 1 题题题.对对对每个整数 a0 1, 定义数列 a0, a1, a2, . 如下: 对于任意的 n 0, an+1= a n, 若 a n是一个整数, an+ 3,其它情况. 试求满足下述条件的所有 a0: 存在一个数 A, 使得对无穷多个 n, 有 an= A. 第第第 2 题题题.设设设 R 是全体实数构成的集合. 求所有的函数 f : R R, 使得对于任意实数 x 和 y, 都有 f (f(x)f(y) + f(x + y) = f(xy). 第第第 3 题题题.一一一个猎人和一只隐形的兔子在欧氏平面上玩一个游戏. 已知兔子的