2012年考研数学真题及参考答案(数学二).pdf

2012 年全国硕士研究生入学统一考试 2012 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题解析 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上指定位置上. （1）曲线 2 2 1 xx y x + = 渐近线的条数为（） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】 ：【答案】 ：C 【解析】 ：【解析】 ： 2 2 1 lim 1 x xx x + = ，所以1x =为垂直的 2 2 lim1 1 x xx x + = ，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选 C （2）设函数 2 ( )(1)(2)() xxnx f xeeen=L，其中为正整数，则n (0) f= （A） 1 ( 1)(1)! n n （B） ( 1) (1)! n n （C） 1 ( 1)! n n （D）( 1 )! nn 【答案】 ：【答案】 ：C 【解析】 ：【解析】 ： 222 ( )(2)()(1)(22)()(1)(2)() xxnxxxnxxxnx fxe eeneeeneenen=+LLLL 所以 (0) f= 1 ( 1)! n n （3）设 an0(n=1,2,)，Sn=a1+a2+an，则数列(sn)有界是数列（an）收敛的 (A)充分必要条件. (B)充分非必要条件. （C）必要非充分条件. （D）即非充分地非必要条件. 【答案】 ：【答案】 ：(A) 【解析】 ：【解析】 ：由于， 则为正项级数， Sn=a1+a2+an为正项级数的前 项和。正项级数前 项和有界与正向级数 0 n a 1 n n a = 1 n n a = n n 1 n n a = 收敛是充要条件。故选A （4）设 2k x k e Ie= sinxdx(k=1,2,3),则有 D （A）I1y1. (C) x1 ， ( , ) 0 f x y y 表示函数 ( , )f x y 关于变量x是单调递增的，关于变 量 是单调递减的。因此，当 y 121 , 2 xxyy必有 1122 ( ,)(,)f x yxyf+ 22 0 0 x xt ，可知；当时，0y 0x () 2 1220,2xxe 11 (1 ( ) ) 11 22 ( )1( )0 1 22 1 2 n n f = = ， 由零点定理得在 1 ( ,1) 2 肯定有解 0 x， 假设在此区间还有另外一根 1 x， 所以，由归纳法得到 11 000 1 nnnn nnn xxxxxx + =+L1 0 L 1 xx=，即唯一性得证 （2）假设根为 n x，即，所以 1 ()10 nn nnnn f xxxx =+ =L (1)1 ()10,(1) 12 n nn nn n xx f xx x = = ， 由于，可知 1 111 10 nn nnn xxx + + + =L 1 111 10 nn nnn xxx + + L，由于 ，可知 1 10 n x + =L 1n nn nn xx n xx + 。又由于 1 1 n 2 x，也即 n x是单调的。则由单调有界收敛 定理可知 n x收敛，假设lim n n xa =，可知 21 1axx=。 当时，n (1)1 lim()lim110,lim 11 n nn nn nnn nn xxa f xx xa = = = 得 2 = （22） （本题满分 11 分） 设， 100 010 001 001 a a A a a = 1 1 0 0 b = （）求A （）已知线性方程组Axb=有无穷多解，求a，并求Axb=的通解。 【解析】【解析】 ： （） 4 14 100 1000 010 101( 1)101 001 00101 001 a aa a aaaa a a a + = + = （） 23 42 100110011001 010101010101 001000100010 0010001001 1001 0101 0010 0001 aaa aaa aaa aaaa a a a aaa 2 aa 可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有 4 10a=及 2 0aa =，可知。 1a = 此时，原线性方程组增广矩阵为 11001 01101 00110 00000 ，进一步化为行最简形得 10010 01011 00110 00000 可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为 1 1 1 1 0 1 0 0 ，故其通解为 10 11 10 10 k + 线性方程组Axb=存在 2 个不同的解，有| 0A =. 即： 2 11 010(1) (1) 11 A =+= 0，得1=或-1. 当1=时, 1 2 3 111 0000 1111 xx x x = ，显然不符，故1= . （23） （本题满分 11 分）三阶矩阵，为矩阵 101 011 10 A a = T AA的转置，已知，且二次型() T r A A = 2 TT fx A Ax=。 1）求 a 2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。 【解析】 ：【解析】 ：1）由可得， ()( ) T r A Ar A= 2 101 01110 10 aa a =+ = 1 2） () 1 1232 3 222 1231223 202 ,022 224 22444 TT x fx A Axx xxx x xxxx xx x = =+ 则矩阵 202 022 224 B = ()() 202 02226 224 EB = 0 解得B矩阵的特征值为： 123 0;2;6= 对于得对应的特征向量为：() 11 0,0EB X=解= 1 1 1 1 = 对于得对应的特征向量为：() 22 2,0