清华大学物理课件：量子物理.ppt

1,第六章 量子物理 基础 (1),2,引言,十九世纪末，经典物理已相当成熟， 对物理现象本质的认识似乎已经完成。,但在喜悦的气氛中，还有两朵 小小的令人不安的乌云：,跳出传统的物理学框架！,3,6.10 黑体辐射和普朗克的能量子假说,分子(含有带电粒子)的热运动使物体辐射 电磁波。这种辐射与温度有关，称为热辐射 (heat radiation)。,热辐射的电磁波的能量对波长有一个分布。,温度不同，热辐射的电磁波的能量不同， 波长分布不同。,4,温度为t时,单位时间内从物体单位表面发出的 波长在 附近单位波长间隔内的电磁波的能量， 称为单色辐出度m(t),1单色辐出度m(t),一.描述热辐射的物理量,m的si单位为w/m3,de温度为t时,单位时间内从物体单位表面 发出的波长在 + d间隔内的电磁波的能量,m(t) 表示辐射能量按波长的分布。,5,2.总辐出度m(t),m 的单位为w/m2,3.单色吸收率(t),以上这些物理量均与物体 种类及其表面情况有关。,（t）温度为t时,（单位时间内）入射 到物体（单位表面）的,波长在 + d间隔 内的电磁波的能量，被物体吸收的百分比。,6,平衡热辐射,此时物体具有固定的温度。,以下只讨论平衡热辐射的情况。,1.黑体:能完全吸收照射到它上面的各种 波长的电磁波的物体，称为黑体。,物体辐射的能量等于在同一时间内所 吸收的能量时，热辐射过程达到热平衡， 称为平衡热辐射。,二.黑体和黑体辐射的基本规律,7,维恩设计的黑体：不透明材料的空腔 开一个小孔。,黑体,实验表明： 辐射本领大的物体， 吸收本领也大。 （演示）。,黑体能吸收各种波长的电磁波，也能辐射 各种波长的电磁波。,黑体的吸收本领最大，辐射本领也最大,黑体的单色吸收率 (t)=1-理想模型。,8, 对各种具体物体的总辐出度，可以通过实验 定出的“黑度系数”(有“机电手册”可查) 来得出。,而黑体的热辐射正好与空腔的形状、材料及 表面状态 都无关。, 研究热辐射本身的规律，应利用辐射本领 m 只与温度有关，而和材料及表面状态无关的 物体。,例. 油毛毡（法向） 0.93 (200c) 氧化铜（法向） 0.60.7(500c),9,研究黑体辐射的实验装置示意图:,黑体单色辐出度 m(t)曲线,实验结果,10,2斯特藩玻耳兹曼定律（实验定律）,其中常量 =5.6710- 8 /m2k4,3维恩位移定律（实验定律）,黑体辐射光谱中辐射最强 的波长与黑体温度t 之间 满足反比关系,其中常量 b = 2.8910-3 mk,（1. 黑体）,总辐出度m(t)与黑体温度的四次方成正比,11,热辐射定律的发现,斯特藩玻耳兹曼定律和 维恩位移律是测量高温、 遥感和红外追踪等技术的 物理基础。,维恩 (wilhelm wien 德国人 1864-1928),1911年 诺贝尔物理学奖 获得者,12,三.经典物理学所遇到的困难 - 如何解释黑体辐射曲线？, 空腔壁产生的热辐射，想象 成空腔壁内有许多以壁为 节点的许多电磁驻波。, 其中最典型的是维恩公式 和瑞利金斯公式,黑体内的驻波,但是， 由经典理论导出的m(t) 公式都与实验结果不符合！,13,（1）维恩公式（非前面的维恩位移公式） 假定驻波能量按频率的分布类似于 麦克斯韦速度分布率（经典的）。,（2）瑞利金斯公式 假定驻波的平均能量为 kt （经典的能量均分定理）,在长波段，维恩线明显偏离实验曲线！,在紫外区(短波段)与实验明显不符， 短波极限为无限大“紫外灾难”！,14,o,(m),1 2 3 5 6 8 9,4,7,m,b,维恩,瑞利-金斯,实验值,紫,外,灾,难,15,四.普朗克的能量子假说和黑体热辐射公式,1.普朗克假设（1900年）,(普朗克与鲁本斯)。,对于频率为 的电磁辐射， 物体只能以 h为单位发射 或吸收它。,即物体发射或吸收电磁辐射 只能以“量子”方式进行，每 个能量子的能量为, = h,其中 h = 6.62610 - 3 4 js 称为普朗克常数。,16,2.普朗克公式,能量不连续的概念与经典 物理学是完全不相容的！,但由此,普朗克导出了与实验结果极为符合 的普朗克公式：,3经典极限：h0 h kt，能量连续,(普朗克的排徊;1918 诺贝尔物理奖),17,61 光电效应,金属及其化合物在电磁辐射照射下发射电子的 现象称为光电效应，所发射的电子称为光电子。,实验装置：,gd为光电管， 光通过石英窗口照射 阴极k，光电子从阴极 表面逸出。,光电子在电场加速下向 阳极a运动，形成光电流。,18,实验规律,（1）用光强一定的某种频率的光照射，得到的饱和光电流强度im是一定的，光强越大，饱和光电流强度也越大。,当电压 u=0 时，光电流 并不为零；只有当两极间 加了反向电压 u =uc 0时，光电流 i 才为零。,19,这表明：从阴极逸出的光电子必有初动能。,设 um 为光电子的最大初动能，则有,（2）相同频率但强度大小不同的光照射， 截止电压uc是相同的。 （这与经典电磁波的概念完全不同）,截止电压uc与频率的具体实验规律如下：,20,电压 uc与 入射光 频率 呈线性关系,实验规律,uc= k - u0,其中k 为普适常数,直线与横坐标的交点 就是红限频率0.,u0 与材料有关,21,（4）光电效应是瞬时发生的 只要入射光频率 0，无论光多微弱， 从光照射阴极到光电子逸出，驰豫时间 不超过10 -9 s 。,（这与经典电磁波的概念也完全不同）,（3）不论光强多大， 只有当入射光频率 大于一定的红限频率 0 时，才会产 生光电流。 （这与 经典电磁波的概念也完全不同）,22,62 光子与光的二相性,爱因斯坦1905年提出了光量子假设：,（1）电磁辐射由以光速c 运动的 局限于空间某一小范围的光 量子（光子）组成，每一个 光量子的能量 与辐射频率 的关系为 = h 其中h 是普朗克常数。,（2）光量子具有“整体性”。 一个光子只能整个地被 电子吸收或放出。,23,对光电效应的解释：,光照射到金属表面时，一个光子的能量 可以立即被金属中的自由电子吸收。但只有 当入射光的频率足够高(每个光量子的能量 h足够大时)，电子才有可能克服 逸出功 逸出金属表面。,光电子的最大初动能只与入射光的频率 有关，与光的强度无关。,逸出的电子的最大初动能为,（a-逸出功）,24,当 即 时，,电子的能量不足以克服逸出功 而发生光电效应，所以存在红限频率:,25,-a ,u0 都与材料有关,- 密立根精确地测量得k 计算得普朗克常数 h = 6.56 10-34 js 与当时用其他方法测得的符合 得相当好。当时这是对爱因斯坦光子假设的极大支持。,密立根 1923年诺贝尔物理学奖,26,光电效应对于光的本质的认识和 量子论的发展曾起过重要的作用。,分析光电效应所产生的光电子能谱， 已经成为一种有效的物质的 表面分析手段。,只要 0，立刻就有光电子产生 （瞬时效应）。,爱因斯坦于1921年， 为此获诺贝尔物理奖。,27,普朗克是这个杂志的主编，他对爱因斯坦 的工作给予了高度的评价。,28,光子的能量：,光子的质量：,光子的动量：,-光有二象性。,描写光的粒子性的 、p，与 描写光的波动性的 、 通过 = h ； 相联系, = h,29,第六章 量子物理基础 (2)上,30,6.3 康普顿散射,光具有波粒二象性。在有些情况下，光 突出地显示出其波动性；而在另一些情况 下，则突出地显示出其粒子性。,描述光的波动性：波长 ，频率 描述光的粒子性：能量 ，动量 p,康普顿散射是光显示出其粒子性的又一 著名实验。,由光的量子论： = h 和质能关系：2 = p2c2 + m02c4 = p2c2,31,得光子的动量 p = h/c = h /,令 = h/2，圆频率 = 2， 得基本关系式:, = h = ,1923年，康普顿研究 x射线与石墨的散射。,32,一.康普顿散射的实验装置与规律：,按经典电磁理论： 如果入射 x光 是某种波长的 电磁波，散射 光的波长是 不会改变的！,实验装置,33,这是x射线晶体散射仪,康普顿正在测晶体对x射线的散射,34,在散射的x射线中， 除有波长与入射射线 相同的成分0外， 还有波长较长的成分。,波长的偏移为,其中 0入射波的波长 散射波的波长 散射角,通常令,c称为电子的 compton波长。,35,康普顿效应的特点：,（1）波长偏移只与散射角 有关，而与 散射物质及入射的x射线的波长 0 无关；,（2）散射线中还有与原波长相同的射线；,（3）只有当入射波长 0较短与电子的康普顿 波长 可比拟时，康普顿 效应才显著.,36,二.康普顿的解释,石墨中的外层电子在原子中结合较弱， 因x光的光子能量很大，可认为这些 电子是静止的自由电子。,x射线的光子与静止的自由电子之间的 弹性碰撞。并假设在碰撞过程中能量 守恒,动量守恒。,定性分析：,光子把部分能量传给了电子，能量 减小,频率变小,因而波长变长。,37,定量计算：按能量与动量守恒定律应有,解出的波长偏移 （推导见书）：,和实验结果完全符合！,38, 为什么在散射线中还观察到有与原波长 相同的射线？, 为什么，在可见光的散射中观察不到 波长偏移现象？,（光子与石墨中被原子核束缚很紧的内层电子 的碰撞，应看做是光子和整个原子的碰撞）,（最大为00486；是可见光的10-5）, 为什么与散射物的种类无关？,（散射物中的电子看成自由电子）,39,三.康普顿散射实验的意义,（1）有力地支持了“光子”概念； 也证实了普朗克假设 = h 的正确；,（2）首次在实验上证实了“光子具有动量” 的假设；,（3）证实了在微观的单个碰撞事件中， 动量和能量守恒定律仍然是成立的。,康普顿的成功也不是一帆风顺的，在他早期的 几篇论文中，一直认为散射光频率的改变是由于 “混进来了某种荧光辐射”；在计算中起先只 考虑能量守恒，后来才认识到还要用动量守恒。,40,吴有训 （三十年代）,（1897-1977）,吴有训,康普顿与我国物理学家吴有训。,康普顿于1927年获诺贝尔物理奖。,41,对轻元素 p 峰很低，m 峰很高； 随着元素质量的增加， p 峰逐渐增高,m 峰逐渐降低。,（补图）吴有训作的多种元素x射线散射曲线,想一想：如何解释？,在同一散射角，不同元素都具有 相同的峰值位置。,吴有训先生曾任我校物系学主任、 中国科学院付院长。他的学生中 有多人成为我国两弹一星的功臣。,42,64 粒子的波动性,一.德布洛意假设 （1924年）,关于德布洛意 （1892-1987）。, = h = ,实物粒子具有波动性。实物粒子有 和 ， 和它相联系的波的 和 的关系 和光子一样，为（德布洛意关系）：,43,德布洛意首先对玻尔（原子）模型中的 轨道量子化条件作出了解释：,（n=1,2,）,与 粒子相联系的波称为物质波, 或 德布洛意波。,r,44,二.实验验证电子衍射实验,(1)戴维逊革末实验（1927年）,实验装置示意图,45,得,假如电子具有波动性，应满足布喇格公式,46,实验结论:,47,（2）g.p.汤姆逊（1927年） 电子通过金属多晶薄膜的衍射实验.,48,g.p.汤姆逊 观察到电子束 通过金属箔时 产生的圆环形 条纹,1929年 德布洛意获诺贝尔物理奖。,49,1937年，戴维逊 与 g.p.汤姆逊 获诺贝尔物理奖,g.p.汤姆逊,戴维逊,50,后来，又有人作了电子的单缝、双缝、三缝 和四缝衍射实验。,三.一切实物粒子都有波动性,后来实验又验证了：质子、中子和原子、 分子等实物粒子都具有波动性，并都满足 德布洛意关系。,51,一颗子弹、 一个足球 有没有 波动性呢？,例题：质量m=0.01kg，速度 v=300m/s的子弹的德布 洛意波长为,因普朗克常数极其微小， 子弹的波长小到实验难 以测量的程度(足球的波长 也是如此)。只表现出粒子性。,52,第六章 量子物理基础 （2下）,53,再谈玻尔（原子）模型 与 玻尔：,玻尔把量子论推广到 原子系统。至今仍然 正确的假设：,（1）原子中的能量状态 也是分立的、稳定的：,（2）当原子从某一能量状态 跃迁到另一能量状态时,卢瑟福 - 玻尔,54,玻尔理论很好地解释了氢原子光谱的波长。,但是，不能说明氢原子光谱线的强度； 不能说明复杂的原子光谱结构（即使he）。,理论本身存在困难：,（1）电子作轨道运动，受到向心力 - 电子的能量等于动能加电势能 - 电子在中心力场中运动角动量守恒,玻尔加一个角动量量子化条件 就可得到氢原子能级公式。,（为什么？）,有向心加速度而不辐射能量、稳定。,（为什么？）,55,（2）卢瑟福 给玻尔 提的问题,（3）薛定格 给玻尔 提的问题,电子从 e1 到 e2过程的速度不可能是无限大 -？,玻尔理论在人们认识原子结构的进程中有 很大的贡献- 1922年玻尔获诺贝尔物理奖。,56,玻尔正在讲解他的 互补原理,玻尔（左）和 海森伯（中） 泡利（右）在一起,57,在玻尔研究所里 学术空气很浓， 玻尔演讲后与听 众踊跃讨论。,哥本哈根学派,“丹麦是我出生的地方， 是我的故乡， 是我心中的世界 开始的地方。”,卢瑟福的邀请 普朗克的邀请,58,6.5 概率波,如何对波粒二象性正确理解？,一.二象性是单个微观粒子的属性,1949年，前苏联物理学家费格尔曼做了 一个非常精确的弱电子流衍射实验,电子几乎是一个一个地通过双缝， 底片上出现一个一个的点子。 （显示出电子具有粒子性）,开始时底片上的点子“无规”分布，随着 电子增多，逐渐形成双缝衍射图样。,59,衍射图样说明每个电子到达屏上各点 有一定几率，衍射图样是大量电子 出现几率的统计结果。,德布洛意波也称为几率波。,衍射图样不是电子相互作用的结果,来源于 “ 单个电子”具有的波动性。,（放映cai-电子双缝衍射实验）,60,对微观粒子的二象性的理解：,（1）粒子性, 指它与物质相互作用的“颗粒性”或 “整体性”。, 但不是经典的粒子！因为微观粒子 没有确定的轨道，,应抛弃“轨道”的概念！,61,（2）波动性, 指它在空间传播有“可叠加性”， 有“干涉”，“衍射”等现象。, 但不是经典的波！因为它没有某种实际 物理量（如质点的位移、电场、磁场） 的波动分布。,要描述微观粒子的运动，应该用一个函数 （波函数），它必须能把“颗粒性”与 “可叠加性” 统一起来！,62,二 .玻恩对波函数的统计诠释,人们 常用（复函数）代表微观粒子的波函数。,本身并无物理意义，而波函数的模的平方（波的强度）代表时刻t、在空间 r点处，单位体积元中微观粒子出现的几率，,玻恩为了把“颗粒性”与 “可叠加性” 统一起来，给了波函数 一个统计诠释：,63,(r,t)*(r,t)dv 表示在时刻t、空间r点处， 体积元dv中发现微观粒子的几率。,(r,t)称为“几率振幅”。,(r,t) 2称为 几率密度。,1954年 玻恩获诺贝尔物理奖。,(r,t) 2 = (r,t)*(r,t),64,波函数应满足的条件：,（）自然条件：单值、有限、连续,（）归一化条件：,粒子在空间各点的 几率总和应为l，即,（3）状态叠加原理：,若体系具有一系列不同的可能状态， 1, 2， 则它们的线性组合 =c11,+c22+ 也是该体系的一个可能 的状态。其中c1, c2 为任意复常数。,65,对电子双缝衍射实验的说明:,只开缝1-强度分布为i1,只开缝2-强度分布为i2,电子有粒子性,一个电子只能从一个缝通过,电子有波动性,其状态服从叠加原理.,(状态为1,分布为 12 ),(状态为2,分布为 22 ),(状态为 1 + 2, 分布为 1 + 22 ),同时开缝1,2-分布不是i1+ i2,而是双缝干涉分布。,66,6.6 不确定关系,一.不确定关系,波动性使微观粒子没有确定的轨道， 即坐标和动量不能同时取确定值， 存在一个不确定关系。,下面以电子的单缝衍射实验 为例来说明不确定关系：,67,电子沿z方向通过狭缝后，假设全部散布在 中央亮纹的范围内,以电子的单缝衍射实验为例来说明：,衍射角1、缝宽a和入射波波长间满足 a sin1 = ,68,狭缝处的电子 x 坐标不确定范围：xa, x 方向动量的不确定范围:可由电子能到达 屏上的位置来估算 pxp sin 1,x pxh,对坐标 x 测量得越精确（x 越小）， 动量不确定性 px 就越大(衍射越厉害)。,得,69,严格的理论给出坐标与动量的不确定关系为,x px /2 y py /2 z pz /2, 时间与能量的不确定关系,如果对电子测量能量的时间为 t， 则测得的电子能量有不确定范围 e。,te /2,(作习题用),70, 能级宽度和能级寿命的不确定关系,设原子处于某能级状态的寿命为 （显然，测量能量 只能在此时间范围内 进行，不能超过 ），, e /2,te /2,若测量能量的时间为 ，则测得的能级的 能量必有宽度为 e 的不确定程度，,满足关系,71,二 .用不确定关系作数量级估算,（自学例题）,补例：威尔逊云室是一个充满“过饱和蒸气” 的容器。射入高速电子，可看到一条 白亮的带状的痕迹粒子的轨道？,测出径迹的线度10-4cm， 所以电子位置的不确定程度,电子动量的不确定程度为,x10-4cm,72,另 测出云室中该电子的动能 t108 ev， 则电子动量为（用非相对论估算）,有 ppx,所以， 坐标和动量的取值基本上可以认为是 确定的，对云室问题可以使用“轨道”的概念。, 电视显象管中电子的运动可以使用轨道的 概念,其表现跟经典粒子一样。, 氢原子中电子的运动必须抛弃轨道的概念, 代之以说明电子在空间的概率分布的 电子云图象。,73,微观粒子具有波粒二象性 (补图)“少女与老妇” (不太恰当的比喻),6.7 薛定格方程,一. 薛定格方程,描述微观粒子有波粒二象性状态的波函数 一般是空间和时间的函数，即 =(x,y,z,t),微观粒子在不同条件下(例如，处于不同的 外场中)的运动状态是不同的，如何找到 微观粒子在不同条件下的波函数？,74,1932年 诺贝尔物理学奖 获得者,为量子力学 创立的贡献,海森伯（ heisenberg 德国人 1901-1976）,在波函数所满足的方程中，应反映出 微观粒子所处的不同条件。,75,1926年，奥地利物理学家薛定格 （schrodinger 1887-1961）,得出的方程称为 薛定格方程。,量子力学找到微观粒子 在不同条件下的波函数 的方法，归结为求各种 条件下薛定格方程的解。,1933年薛定格获 诺贝尔物理奖。,76,薛定格方程的非相对论形式为,式中 m粒子的质量 u粒子在外力场中的势能函数（所处条件） 2拉普拉斯算符,（1）它是一个复数偏微分方程； 其解波函数 是一个复函数。,（2）它并非推导所得，是量子力学中最基本的方程。,77,二 .定态薛定格方程,常常遇到微观粒子的势能函数 u 与时间t 无关的稳定的势场问题，例如, 自由运动粒子u = 0, 氢原子中的电子,这时波函数 可以用分离变量法分离为 一个空间坐标的函数和一个时间函数的 乘积。,78,例如，对于一维运动的情况，波函数可写成,将其代入薛定格方程,得,两边除以 ，得,= e (常数),可得含变量 t和变量 x 的两个方程：,79, 一个是变量为t的方程,其解为,（a 是待定复常数， e 有能量量纲,以后可知是粒子的总能量）,即,（）,（）, 一个是变量为x的方程,80,即此时，概率密度也可以用 (x)2来表示， (x)称为定态波函数，,对势能函数 u 与时间t 无关的一维定态问题， 只须解定态薛定格方程（）式，再利用 （）式即可得波函数 (x,t)。,由上面可以看出:,（）式是 (x)满足的方程， 称为定态薛定格方程。,81,例.一维自由运动微观粒子的波函数。,其定态薛定格方程为,二阶常系数 常微分方程,结合最简单的问题，介绍量子力学处理问题的 最基本方法，并得出一些重要的结论。,自由运动区 u = 0,82,令,得,它有两个特解:,83,沿 + x 方向的平面单色波,沿 - x 方向的平面单色波,所以，一维自由运动微观粒子的波函数 有如下两个解:,84,68 势阱中的粒子,一.一维无限深势阱中粒子的波函数与能量,金属中自由电子的运动,是被限制在一个有限的范围 称为束缚态。,作为粗略的近似，我们认为这些电子 在一维无限深势阱中运动， 即它的势能函数为, 区 区 区,85,这种势场表示粒子可以在势阱中运动， 但不能越出势阱，因为 x 0 ,x a 区域的势能为无穷大。,（这是一个理想化的模型）,作为对定态薛定格方程应用的例子，我们来 具体求出微观粒子在此势阱中的波函数解。,按照一维定态薛定格方程,（）,86,由于在 i、 iii 两区的 u(x) ， 为保证波函数有限的物理条件，显然应 = 0; = 0,由于 区的u(x)= 0，因此该区薛定格方程为,令,则,87,a、b是由物理（自然）条件来决定的 常数(可将通解上式代入方程，以证明之),有限、单值自然满足,连续？,这一方程的通解为,由于,因此有,88,又由于,因此有,因为,(n =1,2,3,称为量子数),因此 区波函数的形式为,89,再由归一化条件,所以,将脚标 去掉，代之 以量子数 n ，最后得 无限深势阱内 粒子的 定态波函数为,概率密度为,90,因,(n =1,2,3,称为量子数),而,91,按经典理论粒子的“能量连续”；,但微观粒子束缚态能量只能取分立值 - 能级（实验完全证实了这点）。,1。能量只能取分立值的结论是 由解薛定格方程自然而然得到的。,2。最低能量（零点能） 不确定关系。,3。当 m 很大（宏观粒子）时，能量连续 -量子 经典。,4。当时，势阱内各处，粒子都有可能出现， 量子 经典（玻尔对应原理）。,注意：,92,左图画出了 呈驻波状的 波函数 、 概率密度 与 x 的关系 曲线。,93,第六章 量子物理基础 （3上）,94,二 . 量子隧道效应 （势垒贯穿）,金属中自由电子逸出金属表面时， 实际上遇到的 是一个高度 有限的势：,设微观粒子有一定能量 e (设0 e u0)，,我们也应分区求解其波函数：,一 . 一维无限深势阱中粒子的波函数与能量,95,区：,（e u,振动解） 入射波 反射波,区：,令,令,96,“有限”要求 d = 0，,（e u ,衰减解）,按经典粒子不可能在 区出现几率！,但微观粒子仍有可能在 区出现！,97,可以想见，原来在区的粒子也可以在势垒 的另一边 区出现！,如果势能曲线 如图所示，,有一个“势垒”。,这称为“量子隧道效应”。,98,例如， 放射性核的 粒子释放（自学）, 隧道二极管（略）, 扫描隧穿显微镜,计算结果表明，粒子的穿透率为,t ,若 m、a、(u0- e) 越小，则穿透率 t 越大。,实验完全证实了“量子隧道效应”现象的存在。,99,三，扫描隧穿显微镜（stm）,stm(scanning tunneling microscope) 是观察固体表面 原子情况的 超高倍显微镜。,1。原理,隧道电流 i 与 样品和针尖间 的距离s 关系极为敏感。,100,s 样品和针尖间的距离 u 加在样品和针尖间的微小电压 a 常数 平均势垒高度,定量关系：,101,（补图）是一张用扫描隧穿显微镜 拍摄的硅表面的象，每一个 隆起处是一个硅原子。,（补图）是用单个原子排成ibm字样。,（补图）是搬运单个原子图。,2，技术难点与克服,（1）消振,（2）探针制造,（3）到位与驱动,（4）撞针与反馈,102,下图为镶嵌了48个 fe 原子的 cu 表面的 扫描隧道显微镜照片。48 个 fe 原子 形成“电子围栏”，围栏中的电子形成驻波：,103,由于这一贡献，宾尼格、罗赫尔和鲁斯卡 三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。,前两人是扫描隧穿显微镜的直接发明者， 第三人是 1932年电子显微镜的发明者， 这里是为了追朔他的功劳。,104,69 谐振子,如果微观粒子的势能函数是,就应该解一维定态薛定格方程,可用级数展开法解上述方程。 波函数应满足自然条件 （连续、有限、单值）。,求解超出本课程的范围。结论：, 一维变系数 常微分方程,105,1. 能量, 能量量子化、能级等间距。, 能量间隔 h 与黑体辐射同。, 但有零点能。,106,2.几率密度分布, 量子:几率密度呈波动状, 在 e u 的区域也有出现几率， n=0时，x=0处粒子出现几率最大。, 经典: e u 的区域不可能出现， x=0处粒子速度最大，“几率”最小。,（补图）书 p256 .,107, 当 n 时：,量子几率分布 经典分布,108,谐振子问题的应用：, 热辐射场的量子性；, 分子，原子，原子核 的振动。,例如双原子分子中 原子的振动。,量子力学可以证明： 能级之间的跃迁服从 n =1的选择定则, 各能级跃迁都辐射 。,109,（补充）力学量算符与力学量谱,回忆定态薛定格方程,它可以改写为,曾同时解出能量e和定态波函数,在量子力学中一个物理量究竟能取什么值? 理论上它是由什么决定的?,110,在量子力学中，把等号左边的,称为能量算符，也称哈密顿算符。,记作,在三维情况下,111,所以定态薛定格方程也可以写作,也称为 能量本征方程, e 能量值，也称为 能量本征值, 定态波函数，也称为 能量本征函数,在量子力学中，任一个力学量究竟能取哪些值？ 是连续的，还是分立的？ 是由该力学量的本征方程决定的。,我们在前面,曾解能量本征方程 得到了能量所能取的值 e.,112,力学量谱原理：任一力学量f，都对应有 一个算符 ，解该算符的本征方程 u =f u 得到的所有本征值 f，即为该力学量所能取 的值，称为该力学量谱。,最基本的算符是坐标、动量算符：,量子力学中各力学量的算符:,113,任一力学量 f 的算符化方法：,（经典） （量子）,能量（哈密顿量）算符:,114, 解一般力学量的本征方程也要用到 有限、单值、 连续 等物理条件 （也称边界条件）。,角动量算符:,坐标、动量的本征值可解得是连续谱； 角动量的本征值可解得是分立谱。（略）,115,第六章 量子物理基础 （4）,116,二 . 量子隧道效应 （势垒贯穿）,金属中自由电子逸出金属表面时， 实际上遇到的 是一个高度 有限的势：,设微观粒子有一定能量 e (设0 e u0)，,我们也应分区求解其波函数：,（一 . 一维无限深势阱中粒子的波函数与能量）,117,区：,（所以e u,是振动解）,区：,令,令,入射波 反射波,118,“有限”要求 d = 0，,（所以e u ,是衰减解）,按经典粒子不可能在 区出现！,但微观粒子粒子仍有可能在 区出现！,119,可以想见，原来在区的粒子也可以在势垒 的另一边 区出现！,如果势能曲线 如图所示，,有一个“势垒”。,这称为“量子隧道效应”。,120,例如， 放射性核的 粒子释放（自学）, 隧道二极管（略）, 扫描隧穿显微镜,计算结果表明，粒子的穿透率为,t ,若 m、a、(u0- e) 越小，则穿透率 t 越大。,实验完全证实了“量子隧道效应”现象的存在。,121,三.扫描隧穿显微镜（stm）,stm(scanning tunneling microscope) 是观察固体表面 原子情况的 超高倍显微镜。,1.原理,隧道电流 i 与 样品和针尖间 的距离s关系 极为敏感。,122,s 样品和针尖间的距离 u 加在样品和针尖间的微小电压 a 常数 平均势垒高度,定量关系：,隧道电流,123,2.技术难点与克服,（1）消振,（2）探针制造,（3）到位与驱动,（4）撞针与反馈,124,stm,125,下图为镶嵌了48个 fe 原子的 cu 表面的 扫描隧道显微镜照片。48 个 fe 原子 形成“电子围栏”，围栏中的电子形成驻波：,（补图）用扫描隧穿显微镜拍摄的硅表面的象， 每一个隆起处是一个硅原子。,（补图）用单个原子排成ibm字样。,（补图）搬运单个原子。,126,神经细胞,127,由于这一贡献，宾尼格、罗赫尔和鲁斯卡 三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。,前两人是扫描隧穿显微镜的直接发明者， 第三人是 1932年电子显微镜的发明者， 这里是为了追朔他的功劳。,鲁斯卡,罗赫尔,宾尼格,128,69 谐振子,如果微观粒子的势能函数是,就应该解一维定态薛定格方程,可用级数展开法解上述方程。 波函数应满足自然条件 （连续、有限、单值）。,求解超出本课程的范围。结论：, 一维变系数 常微分方程,129,1. 能量, 能量量子化、能级等间距。, 能量间隔 h 与黑体辐射理论同。, 但有零点能。,130,2.概率密度分布, 量子:概率密度呈波动状, 在 e u 的区域也有出现概率， n =0时，x =0处粒子出现概率最大。, 经典: e u 的区域不可能出现， x =0处粒子速度最大，“概率”最小。,（补图）书 p256 .,131, 当 n 时：,量子几率分布几乎 经典分布,132,谐振子问题的应用：, 热辐射场的量子性；, 分子，原子，原子核 的振动。,例如双原子分子中 原子的小振动。,133,*（补充）一。力学量算符与力学量谱,回忆定态薛定格方程,它可以改写为,量子力学中，每一个力学量有一个对应的算符,等号左边的,称为 能量算符，也称 哈密顿算符。,1.能量算符和能量本征方程,134,记作,在三维情况下,所以定态薛定格方程也可以写作,此式也称为 能量（算符）的本征方程, en 为能量值，也称为能量（算符）的本征值。, n 为定态波函数， 也称为 能量（算符）的本征函数,我们在前面,曾解这个能量本征方程（即定态薛定格方程）,得到了能量所能取的值 en。,135,2.在量子力学中，任一力学量究竟能取哪些值？ 是连续的，还是分立的？ 是由该力学量算符的本征方程决定的。,力学量谱原理：任一力学量f，对应有 一个算符 ，解该算符的本征方程 u =f u 得到的所有本征值 f，即为该力学量所能取的值， 也称为该力学量的谱。,最基本的算符是坐标、动量算符：,3. 量子力学中各力学量算符和本征方程举例:,136,动量算符,( 式中 ),得到任一力学量 f 的算符的方法：,（经典） （量子）,能量（哈密顿量）算符:,137, 解一般力学量的本征方程也要用到 有限、单值、 连续 等物理条件 （也称边界条件）。,角动量算符:,138,坐标算符的本征方程：,角动量算符的本征方程：,动量算符的本征方程：,解得的坐标本征值 是连续的谱。（略）,解得的动量本征值也是连续的谱。（略）,解得的角动量本征值是分立谱。（见下）,139,* 二.力学量的本征态与叠加态,某物理量的本征态，指该物理量具有确定值的状态。,例。氢原子能量的定态，就是它的能量的本征态。,当氢原子处于这个状态时，实验测得的能量 有确定值。,例。一个微观粒子处在自由运动状态，测得其动 量有确定值，我们说它处于动量的本征态。,一般来说，同一个力学量算符 有若干个 本征值 fi, i=1,2, 它们对应于若干个 本征态 ，i=1,2,.。当系统处于本征态 时，该力学量就有确定值fi .,140,此外，微观粒子还可以处于某个力学量没有确定 的值的状态，我们称这些状态为该力学量的叠加态。,例如，电子单缝衍射时，通过狭缝的电子处在 动量不确定的状态。,实验表明，当微观粒子处在某力学量的叠加态时， 测量该力学量，每次测得的值一般是不一样的。但是， 测量值都是各参加叠加的本征态的本征值。,在叠加态时，各个本征态以一定的概率出现。 用实验中每次测得的可能的本征值和该值出现的概率， 可以计算该力学量的平均值。,141,我们以二能级原子模型为例: 设二个能级的本征态 和 分别具有能量本征值 e1 和 e2 ,如果原子处在叠加态 其中ci 一般为复数。,每一时刻，原子不是处在 就是处在 ， 总的概率为1，,其中， 是处在 态的概率，,是处在 态的概率，,即处在能量为e1的概率；,即处在能量为e2的概率。,142,在上面二能级模型中，我们讨论的是能量的 本征态和叠加态，称为能量坐标系或能量表象；,量子力学也可以讨论其他力学量的本征态和 叠加态，对应有各种力学量的坐标系或表象。 比如，坐标表象， 动量表象等等。,叠加态 对应的能量的平均值为,微观世界真是一个概率的世界！,143,第六章 量子物理基础 （5）,144,611 氢原子,一.氢原子中电子的“轨道”角动量谱,(在量子力学中，仍常借用“轨道”这名词),氢原子中电子在中心力场运动中 ， 其“轨道”角动量是守恒的。那么“轨道” 角动量究竟能取哪些值？,应解“轨道”角动量算符的本征方程。,通常将氢原子“轨道”角动量算符变换到 球坐标系方便。,我们只写出 l2,lz的算符：,145,“轨道”角动量算符的本征方程为,解得 l2 的本征值为,146,解得 lz 的本征值为,称为磁量子数,（1)（2）两式就是“轨道”角动量的谱 (所能取的值）。,作为一个例子，我们现在来解一下 的谱：,称为角量子数,147,lz的本征方程为,用分离变量法解得本征函数,有限，连续条件自动满足； 单值 ？,由单值条件：,148,即,这就是力学量 的本征值谱。,149,解 得到的本征函数 是球谐函数yl,m(,),150,对于一定的角量子数 , 磁量子数 m 可取 (2 +1)个值， 表明角动量在空间 z 方向的取向 只有(2 +1)种可能。,“轨道”角动量在空间 的取向是量子化的。,对于,m 的值最大只能是 l ，正说明 投影值 lz 不可能超过 l的 值。,151,例如：当 时，,共有 种。,m = 0 , 1, 2,152,二. 氢原子中电子的坐标概率分布与能谱,中心力场,（仍采用球坐标系）,定态薛定格方程为,153,用分离变量法求解，设,式中u（r）称为径向波函数,可得到径向波函数u（r）所满足的方程， 称为径向方程：,代入定态薛定格方程， 可得到、 部分满足的方程，解得,正好是球谐函数,154, 能量本征值 e,n称为主量子数, 径向波函数 u(r)= unl( r ) （略）,解此方程，可以同时得到粒子的本征能量 e 和径向波函数 u( r ),155,按照定态波函数的物理意义， 在空间点（r,）处, 小体积元 dv 中电子出现的概率为,称为 径向概率密度。,表示在半径为 r r +dr 之间 发现电子的概率( , 取全部范围 )。,156,因此,概率不见得都是球对称的。,由于,157,它的电子云是 球对称分布的。,在 r = a1 处有极大值。,几个径向概率密度的分布图：,其中,(cai: 氢原子中电子云),158,巴耳末 在1885年 根据埃格斯特朗 发表的精确氢原子 光谱实验数据， 推出了一个经验 公式，能非常精 确地代表光谱系。,612 氢原子光谱,159,量子力学按照上面得到的氢原子中电子的 能级公式，可以圆满地解释氢光谱的基本 结构。,玻尔频率定则,将氢原子能级公式代入，可得,由,160,因此由上式可得氢原子发光的可能谱线的 波数为,光谱线常用波数 (波长的倒数)来表示， 它等于单位长度内波长的数目。,式中常数r 称为里德伯常数,161,赖曼系：,巴尔末系：,帕邢系：,162,163,164,里德伯根据许多种金属 元素的光谱，独立地得 到了这个经验公式。,里德伯,1890年当他得知巴耳末公式 正是他这一公式的特例时， 才公开发表了他的公式。,此式也称为里德伯公式。,165,用上面的公式计算出的波数与实验 测得的波数相比较，符合得非常好：,观察氢原子光谱的实验示意图： 在氢放电管内充以压强约为 1mmhg 的氢气。,166,氢原子光谱的理论与实验的符合， 证明了量子力学理论的正确性。,巴尔末系（n2）几条谱线的波长（单位 ）,167,613 电子的自旋 四个量子数,一.电子“轨道”角动量与轨道磁矩的关系,由于电子带电，电子绕原子核作轨道运动， 就相当于一个闭合载流线圈一样。,其磁矩为 = is i电流强度 s载流线圈面积,所以有,168,由于电子带负电，角动量与磁矩的矢量关系为,若角动量是空间量子化的，那么磁矩也是 空间量子化的，它们在空间 z 方向的投影 也是量子化的， 应有,一系列实验说明， 量子力学的结论是正确的。,也应有 种。,169,实验装置示意图,原子是复杂的带电系统， 有一个“等效磁矩”。,可以证明 , 磁矩受的力为,由电磁学知，在非均匀磁场 中，磁矩不仅受力矩的作用， 还受 力的作用。,二. 斯特恩一盖拉赫实验,1921年实验出现了新的矛盾。,也应有 种。,170,银原子束通过非均匀的 磁场时分裂为两束,斯特恩正在观测,1943年 斯特恩 获诺贝尔物理奖。,实验结果,基态（ =0）ag 原子的沉积是2条， 不是奇数 2 +1=1 条， 无法解释！,171,三 . 电子自旋,1925年，两位当年的荷兰学生 乌伦贝克和哥德斯密特在分析上述实验的 基础上提出了大胆的看法：,(1)电子不是一个质点，它存在一种内秉的运动 自旋，相应地有自旋角动量和自旋磁矩。,(2)电子自旋角动量 s 的大小类似于 “轨道”角动量 为,s 称为自旋量子数,(3)电子自旋角动量在空间相对外磁场方向的 取向也是 空间量子化的：,172,于是电子的自旋角动量在外磁场方向上只有两个分量，数值为,电子的自旋磁矩也是空间量子化的， 也有两个取向。,仿照电子“轨道”角动量在外磁场方向上的分量取 2l +1种，电子自旋角动量在外磁场方向上的分量 也只可能取 2s + 1 = 2种， 于是就得到 s = 1/2.,ms= -s ，+ s = -1/2，+1/2,电子自旋角动量也有磁量子数，为,（称自旋磁量子数）,仿照电子“轨道”角动量有磁量子数，为,173,电子在外磁场中的两种自旋 运动状态，常用下图形象化地描述。,他们对实验的解释：,其磁矩就是最外层的 价电子的自旋磁矩。,原子的轨道角动量 就是其最外层的价电子的 轨道角动量;,基态银原子的轨道 角动量为零（l =0）， 但是它有自旋角动量， 有自旋磁矩；,174,引入自旋以后，斯-盖实验的偶数沉积 自然而然得到了解释， 而且计算得到的两条沉积线之间的距离也 与实验符合得很好。,此电子自旋磁 矩又只有两种分立的取向， 经过非均匀磁场的磁 力作用， 在屏上就只出现两条痕迹了。,175,但是，经典物理学无法理解电子有内部结构。,（泡利、洛仑兹 等的反对）,（埃伦菲斯特的支持）,自旋运动是一种内部“固有的”运动，其本质目前还不清楚。,关于 乌伦贝克、哥德斯密特。,“you are both young enough to allow yourselves some foolishness!”,（这种陀螺运动图象正象轨道运动图象一样 是借用了宏观图象，是很不确切的）,176,现在知道，一切微观粒子都有自旋, 按自旋分类：,（1）费米子：自旋为半整数，如 s = 1/2, 3/2,如电子，中子，质子，中微子，,-服从泡利不相容原理。,反西格玛负超子,（王淦昌等, 1959年）,王淦昌先生,177,（2）玻色子：自旋为整数， 如 s = 0，1,-不服从泡利不相容原理。,光子， 介子等。,178,第六章 量子物理基础 (6),179,四. 碱金属原子的光谱双线,碱金属原子发光是由其价电子的能量 状态改变引起的。,碱金属原子 的结构与氢 原子有类似 之处。,一. 电子“轨道”角动量与轨道磁矩的关系,613 电子的自旋 四个量子数,二. 斯特恩一盖拉赫实验,三. 电子自旋,180,1. 碱金属原子中的电子能级特点, 电子能级与 n、 有关，即 e = e nl,例，n=2, =0, 1, 分裂为两条。,n=3, =0, 1, 2, 分裂为三条。, 价电子能级均比具有相同 n 值的氢原子 能级低， 而且 越小、能级越低。,181,182,能级特点的定性解释：,(1)电子贯穿原子实,(2)原子实极化,2. 碱金属原子光谱双线 的定性解释,na原子(价电子)能级,na的 5893 谱线实际上是由双线组成,d1:5895.930 ,d2:5889.963 ,183,自旋磁矩在外磁场中的 磁能为,na的价电子有自旋，相应有自旋磁矩 ， 它在外磁场中受到力矩的作用，要转向 的方向。,从能量的角度来看， 要转向能量小的方向。,磁场是电子自身的 轨道运动产生的。,价电子在原子实的电场中 运动，外磁场 是什么,184,可以证明（略）： 考虑了自旋-轨道耦合能后，,e30不分裂， 于是就有了双线。,因此上面的磁能称为自旋-轨道耦合能。,e31分裂为两条，,185,614 原子的壳层结构,按照量子理论，原子中各个电子的运动 状态都可用四个量子数来描述：,(l)主量子数 n ： nl，2， 3， 电子的能量主要由 主量子数决定。,(2)角量子数 ： = 0，1，2，,n -1,它决定电子绕核运动的轨道角动量的大小。 一般处于同一主量子数 n，而角量子数l不同 的电子，其能量也略有不同。,(3)磁量子数ml：ml = 0，1，2，,它决定电子轨道角动量在外磁场中的指向。,186,(4) 自旋磁量子数 ms：ms1/2,