2013年第九届新希望杯数学竞赛五年级决赛试卷和答案详解.pdf

2013 年第九届新希望杯五年级决赛 考试时间 60分钟，总分 120 分 一、选择题（本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分） 题1. 在期末考试中，方方五科的总分是445分，除数学外的四科平均分是87.25分，方方的数学是 _ A、95分 B、96分 C、97分 D、98分 题2. 王伯去水果店买水果，如果买4千克梨和7千克苹果，要付款84元；如果买4.5千克梨和7千克 苹果，要付款87.5元。那么买1千克梨要付款_ A、3.5元 B、5元 C、6元 D、7元 题3. 下表中的数是按规律排列的，其中第2行第4列是9，那么第9行第9列是_ 123456 35791113 5811141720 71115192327 A、99 B、95 C、89 D、87 题4. 布袋中的球大小相同，其中黄球和红球各有9个，蓝球有4个，绿球有3个，从布袋中摸出m 个球，为保证摸出的球中至少有5个球颜色相同，m最小是_ A、15 B、16 C、17 D、18 题5. 如图，3个长方形与1个直角三角形的面积已知，那么阴影长方形和阴影三角形的面积之和为 _ 14 3036 42 A、56.1 B、60.4 C、68.2 D、78.6 题6. 在有10个不同因数的自然数中，最小的两个数的和是_ A、92 B、128 C、210 D、560 二、填空题（本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分） 题7. 计算： 92.0122.0132.0122.01332492.0122.0133242.0122.013_ 题8. 李某以17元/个的进价购买一批玩具，再以35元/个售出。当卖了一半时，除去购进这批玩具的 全部成本外还获得了200元的利润。李某卖完这批玩具共可获得利润_元 题9. 在循环小数0.425871 中，从小数点后第m位开始到第n位止的所有数字之和为2013，当m取 最小值时，n _ _ 题10. 如图，一个圆周上有9个位置，依次编号为1 9号。现在有一个小球在1号位置上，第1分钟顺 时针前进2个位置，第2分钟顺时针前进3个位置。以后第奇数分钟顺时针前进2个位置，第偶 数分钟顺时针前进3个位置。第_分钟，小球第一次回到1号位置 9 8 7 6 5 4 3 2 1 题11. 质数, , ,a b c d满足2013a bcd ，则a b cd _ 题12. 有9条木棍，长度分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9分米，先从中取出长8分米的木棍，再从剩下的木棍 中随机取出2条木棍，这2条木棍与长8分米的木棍能组成三角形的可能性是_ 题13. 定义如下正方体的变换：如图1所示，x变换表示面向正方体的正面，将正方体顺时针旋转 90；y变换表示面向正方体的右侧，将正方体顺时针旋转90；z变换表示面向正方体的上 面，将正方体顺时针旋转90；定义“*”为先后连续变换，如*xy表示先进行x变换再进行y 变换，*yz表示先进行y变换再进行z变换。如图2所示的正方体（相对的两个面上的数字之 和为7）进行* *xzy变换后，上面的数字是_ 3 2 1 正面 右侧 上面 图 1 图 2 题14. 对于五位数a与b，如果a至少有4个数位上的数字大于b相应数位上的数字，则称a可以“吃 掉”b，那么92013共能“吃掉”_个五位数 题15. 如图所示的乘法竖式中，被乘数与乘数的和为_ 1 2 2102 3 4 题16. 有125个棱长为1厘米的小正方体，其中62个为白色，63个为黑色。现将它们拼成一个大正方 体，在大正方体的表面上，白色部分的面积最多是_平方厘米 三、解答题（本大题共 4 小题，前 2 题每题 10 分，第 3 题 12 分，第 4 题 14 分，共 46 分） 三、解答题（本大题共 4 小题，前 2 题每题 10 分，第 3 题 12 分，第 4 题 14 分，共 46 分） 题17. 仿照图1，将图2分割成若干个长方形，且长方形内的数字表示该长方形所占的方格数 9 9 8 4 6 9 8 6 3 6 4 图 1 图 2 题18. 有一个四位数，在它的左边写上一个“9”，得到一个五位数A；在它的右边写上一个 “9”，得到一个五位数B。已知A比B的3倍少623，求：这个四位数 题19. 如图，A、B是直径的两端，小张在A点，小王在B点。两人同时出发反向行走，他们在C点 第一次相遇，在D点第二次相遇。C点离A点100米，D点离B点60米 （1） 求这个圆的周长 （2） 若两人始终这样行走，他们能否在A点相遇？证明你的结论 AB D C 题20. 甲、乙两人玩游戏：放两个箱子，其中一个装有213颗棋子，另一个装有243颗棋子。规定两 人轮流取棋子，每次可以在其中任意一个箱子取1 9颗棋子（不能一次同时在两个箱子中 取），取得最后一颗棋子的获胜。若甲先取，谁有必胜的把握？策略是什么？ 答案 一、选择题： （1）B （2）D （3）C （4）B （5）A （6）B 二、填空题： （7）2916 （8）7200 （9）448 （10）11 （11）3894 （12） 15 28 （13）1 （14）480 （15）511 （16）114 选讲： （1）44587.25 496 （2）设梨每千克x元，苹果每千克y元，则 4784 0.53.57 4.5787.5 xy xx xy （3）显然所有的第n行第1列构成等差数列，所以第n行第1列的数为21n。其次第n行本身也是一 个公差为n的等差数列，所以第n行第n列的数为 2 2111nnnnn 。自然第9行第9列的数 为 2 99 189 （4）根据最不利原则，至少要摸3444 1 16 个球 （5）根据下图，将三角形都补成长方形，根据共边定理我们有 33.63036 452842 xy yx ，所以阴影长 方形的面积为33.6，阴影三角形的面积为 1 22.5 2 y ，两个和为33.622.556.1 y x 28 3036 42 （6）有10个约数的自然数只有两种形式： 9 a或 4 ab。显然最小的为 4 3 2，其次的为 4 52，两个数 的和为 4 8 2128 说明：本题考查了约数个数公式的逆用，根据约数个数写出质因数分解的形式 （7）换元法的应用，令2.0122.013A，则 22 92.0122.0132.0122.01332492.0122.0133242.0122.013 93249324 932493249324 93242916 AAAA AAAA （8）设这批玩具一共x个，根据题意3517200400 2 x xx。所以全部卖出去可获得利润 35 400 17 4007200元 （9）显然不管从哪位开始，都是6个数一个周期，一个周期的数字和为42587 127 。而 201327 74 15，所以我们要看从哪位开始可以构成15这个部分和。如果从4开始，显然 42515 425815 ，显然不可能；如果从2开始，正好有25815，所以2m ，而 1 6 743448n （10）直接分类讨论，如果第奇数分钟回到1号位置，也就是说 2 3 123232321 mod957 mod9 k kk 2 3 123232321 mod957 mod9 k2 32 3 123232321 mod957 mod9123232321 mod957 mod9123232321 mod957 mod9123232321 mod957 mod9123232321 mod957 mod9123232321 mod957 mod9123232321 mod957 mod9 组 最小为5，也就是说在第2 5 1 11 分钟 时，第一次在奇数分钟回到1号位置； 如果第偶数分钟回到1号位置，也就是说 2 3 12323231 mod950 mod9 k kk 2 3 12323231 mod950 mod912323231 mod950 mod9 k2 32 3 12323231 mod950 mod912323231 mod950 mod912323231 mod950 mod912323231 mod950 mod912323231 mod950 mod912323231 mod950 mod912323231 mod950 mod9 组 最 小为9，也就是说在第2 918分钟时，第一次在偶数分钟回到1号位置； 综上所述，第一次回到1号位置应该是第11分钟 （11）由于20133 11 61 ，而题目又说2013a bcd ，所以三种可能： 3cd，考虑到, c d均为质数，而最小的质数223，显然不可能 11cd，考虑到质数中只有一个偶数2，所以2,9cd，显然这种情况d不是质数 61cd，考虑到质数中只有一个偶数2，所以2,59cd，这种情况符合我们的要求，所以 3 11 2 593894a b cd （12）首先所有的选取一共有 2 8 28C 种，其次要组成三角形的另两条边只能是 2,7 , 2,9 , 3,6 , 3,7 , 3,9 , 4,5 , 4,6 , 4,7 , 4,9 , 5,6 , 5,7 , 5,9 , 6,7 , 6,9 , 7,9，共15种，所 以可能性为 15 28 （13）如下图，变换的结果都在图里 yzx 5 3 1 5 1 4 4 2 13 2 1 （14）很容易分析出，百位数上的数字“0”肯定无法大于任何0 9的数字，所以只能a的另外四个 数字要大于b对应位上的数字。从而知道： b的万位可以选18，共8种选择； b的千位可以选0 1，共2种选择； b的百位可以选0 9，共10种选择； b的十位可以选0，共1种选择； b的个位可以选0 2，共3种选择； 综上所述，根据乘法原理，一共有8 2 10 1 3480 个数满足条件 （15）首先很容易得到下面左图的结果。其次由431 02CDB XB 。而1 mod10BF，所以 BF肯定发生了进位，由此推出8A，得到下面中图。由于418 2CDEF，而 499 31800 4 400 51800 E ，得到下面右图。考虑到4418 24|18 2CDFF，根据被4整除的规律，我 们知道3F 或7。若3F ，则4418324458CDCD，而458 4319694，不符合最后的要 求；若7F ，则4418724468CDCD，而468 4320124，满足我们的要求。 综上所述，最后答案就是46843511 F E DC B A 0 1 1 2 2102 3 4 F E DC B 8 0 1 1 2 2102 3 4 F 4 DC B 8 0 1 1 2 2102 3 4 （16）由于有125个小正方体要构成正方体，所以边长为5。我们知道角上的8个正方体露出来的面最 多，达到3个面；接下来棱上的正方体，露出2个面。然后表面上除了棱、角的正方体露出1个面，内 部的一个都面都露出来。所以露出最多的要安排白色的。首先角上8个都安排白色的，其次每条棱上 除了角还有3个小正方体，一共12条棱，所以再安排36个小正方体。剩下还有6236818个白色 小正方体，安排在面上。所以一共白色的表面积为 2 8 336 2 18 1 114cm 三、解答题：三、解答题： （17）突破口在数字“9”上面，显然要划分为长方形，只有下图的一种划法。 9 8 6 3 6 4 接下来考察第一排的数字“6”，显然只有如下划法： 9 8 6 3 6 4 接下来考察数字“8”，显然只有如下划法： 9 8 6 3 6 4 剩下的几个数字很容易凑出答案了： 9 8 6 3 6 4 （18）设这个四位数为CDEF，则根据题意我们有939623CDEFCDEF ，而 990000 9109 CDEFCDEF CDEFCDEF ，设CDEFx，则900003 1096233124xxx （19）设这个圆的周长为x米，则第一次相遇我们得到方程 100 100 2 v x v 张 王 ，第二次相遇我们得到方 程 60 2 60 x v xv 张 王 。所以 60 100 2 480 60 100 2 x x x x ，所以圆的周长为480米。 若两人能在A点相遇，则小张应该走了m圈，小王应该走了 1 2 n 圈。考虑到 1005