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2007 华南师范大学第六届数学建模竞赛优秀论文 第 1 页 共 23 页 举重问题（举重问题（举重问题（ 举重问题（ B B B B 题）题）题） 题） 数学科学学院王雪莹李戴娴郭艳当 摘要摘要 本文首先分析了题目条件与表中数据，根据表中数据和所给的条件建立了几个有关 举重总成绩和体重的几种模型，并对其进行误差分析，逐步改进。从单纯的数据分析到 考虑运动员的生理条件因素入手，找出比较优秀的模型。运用数据拟合，最小二乘法等 常用方法对数据进行分析和建立模型，并运用回归分析对所建立模型进行有效检验，最 后进行模型的评价和推广。同时还利用 MATLAB 的强大图形处理功能，进行数据的可 视化，根据可视化的结果做出分析和判断。 问题一中，用 scatter 函数画出表中总成绩散点图，让数据可视化，从而判断体重与 举重成绩大概呈线性关系。用一次函数进行拟合，得到线性模型 C=2.6W+162.1，并据 此模型求出了相应的举重总成绩理论值，与实际值进行比较。求得误差为 30.8651，较 大，线性模型过于简单粗略，考虑因素太少。 问题二中，根据问题一的结论，考虑到题目中问题 2 给出的条件，对模型的建立融 合了运动员的生理特点，得到模型为，计算得到的举重总成绩的理论 3 2 0880.20WC 值与实际值的误差为 37.2124。由于模型的假设条件过于粗略，对假设条件进行修改， 得到改进后的模型为C=29.7427W0.5775，算得误差为 25.8672，相对较好，用回归分析 对此模型进行检验得到结果是令人比较满意的。 问题三中，假定人体体重有一部分是与成年人的尺寸无关，从运动生理学得知体重 分肌肉和非肌肉部分，对上述模型作进一步改进。根据统计分析人体中非肌肉重量为 35kg 时，得到模型（1），通过二维条形图和三维直方图来 3039. 0 )35(*8752.118WC 观察实际值跟通过拟合函数得到理论值之间的误差，并算得误差为 14.8055，误差仍较 大， 于 是 尝 试 建 立 更 加 合 理 的 模 型 。 经 过 验 证 ，=45 时， 得 到 模 型 为 0 W （2）,算得误差为 7.7245，相对较小。并用回归分析对其进 2142. 0 )45(*9023.177WC 行 检 验 ， 发 现 了 一 个 异 常 点 ， 剔 除 异 常 点 后 得 到 新 的 模 型 (3),再次用回归分析，没发现异常点，结果比较理想。根据 2092. 0 )45(*3993.181WC 模型（3）算得总成绩的实际值与理论值列表如下： （单位：千克） 最后提出经验法则，设置障碍：把模型(3) 换为,将运动 2092.0 )45( 3993.181 W C 员的实际举重成绩和重量代入上式右边，若右边大于等于左边，则有机会获奖，否则， 没资格拿奖，由此提高比赛的公平性。本文最后对模型的优缺点及误差进行了评价，并 体重5459647076839199108 实际值287.5307.5335.0357.5367.5392.5402.5420.0430.0 理论值284.8313.1334.3354.5371.2387.8403.9418.1432.1 2007 华南师范大学第六届数学建模竞赛优秀论文 第 2 页 共 23 页 对模型进行了推广，且提出了改进的方向。 关键词：关键词：数据拟合、线性回归分析、经验模型、OCarroll 模型 一问题的重述 运动员在高度和体重方面差别很大，为了在举重比赛中对此做出补偿，规定要从运 动员举起的重量中减去其体重,以下是 1996 年奥林匹克运动会上优胜者的举重成绩： 1. 这个规定暗示了什么关系，结合上表说明这种关系。 2. 已经提出的生理学论证建议肌肉的强度和其横截面的面积成比例，利用这个强 度子模型，建立一个表示举重能力和体重之间关系的模型，列出所有的假设,用 所提供的数据来检验你的模型。 3. 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关的，提出一个把这种改进融合进去 的模型，并讨论两个模型各自的优缺点，然后提出一种经验法则，对不同体重 的举重运动员设定障碍，使得比赛受体重因素的影响较小，从而更加公平。 二背景和问题的分析 1 1 1 1 、在现代奥运会举重比赛中，比赛前运动员都要称体重，并且最后运动员的成绩只计 算抓举和挺举的总成绩，如总成绩相同则赛前体重轻者列前，如再相同，则以赛后即称 体重轻者列前。 2 2 2 2 、从表中数据可以得到：级别越高，体重越重，举起的重量也越大，那么可设想同一 级别的运动员，体重越大的，举起的重量应该越大。也就是说，运动员的体重与总成绩 级别最大体重（千克）抓举（千克）挺举（千克）总重量（千克） 154132.5155.0287.5 259137.5170.0307.5 世界记录 364147.5187.5335.0 470162.5195.0357.5 世界记录 576167.5200.0367.5 683180.0212.5392.5 世界记录 791187.5213.0402.5 899185.0235.0420.0 世界记录 9108195.0235.0430.0 10超过 108197.5260.0457.5 2007 华南师范大学第六届数学建模竞赛优秀论文 第 3 页 共 23 页 应该有着密切的关系。同时已经提出的生理学论证建议肌肉的强度和其横截面的面积成 比例11，而生理学已证明肌肉强度近似正比于力量的大小，从这个角度出发建立举重 总成绩与体重的关系模型，并用表中数据进行检验。 3 3 3 3 、进一步地，基于生理学、动物解剖学和统计分析，体重分为两部分，肌肉部分和非 肌肉部分，体育运动员身体中肌肉所占体重为 40%45%222 2 。所以可以猜想体重中可 能有一部分与成绩关系不大，再对模型进行改进。 三三三 三 模型假设和变量说明模型假设和变量说明模型假设和变量说明 模型假设和变量说明 1 1 1 1 、举重运动员的总成绩是生理条件，心理因素等众多因素共同作用的结果，这里只考 虑体重的因素，假设运动员其他条件相差不大。 2 2 2 2 、符号说明、符号说明： 人的体重W 人的身高h 肌肉横截面积S 人的体积V 肌肉强度T 举重成绩C 非肌肉重量W0 四模型的建立和求解 问题问题 1 1 1 1 1 1 、题目中， 由于运动员在高度和体重方面差别很大， 因此在举重比赛中对此做出补偿 ， 规定要从运动员举起的重量中减去其体重。这个规定暗示了运动员的举重总成绩与体重 可能成正比的。 2 2、结合表中也可得：体重越重的，级别越高，举起的重量就越大。表中体重一列是呈 上升趋势，抓举、挺举和总重量三列也是呈上升趋势的。 综合以上两点观察所得，这个规定暗示了举重总成绩与体重近似成正比。 3 3、下面用图形和数据拟合来验证一下观察的结论，把表中所给总成绩和体重的数据用 scatter 函数绘制成散点图，如下图（用小圆圈表示） 2007 华南师范大学第六届数学建模竞赛优秀论文 第 4 页 共 23 页 图 1 从上图可以直观地看出，体重越大，举重总成绩越好，因此，举重总成绩与体重大概成 线性关系。下面我们用一次函数 W=aC+b 对它们进行拟合。得到拟合后的函数是： C=2.6153W+162.0959,拟合的图像（图中直线）如图： 图 2 从上图看出实际的举重成绩值在拟合的线性函数上下波动，说明拟合的函数与实际 具有一定的误差，根据拟合的函数，我们求出了相对应的一些理论值，并用 scatter 函数 画出它的散点图（用星号表示） ，再跟实际值进行对比，如图 2007 华南师范大学第六届数学建模竞赛优秀论文 第 5 页 共 23 页 图 3 从图上看出每个体重值对应的总成绩实际值（小圆圈）和总成绩理论值（星号）不是很 吻合，误差比较明显，计算得到误差为 30.8651，说明用线性函数对举重总成绩与体重 进行拟合的模型过于简单、粗略，考虑的因素比较少。 问题问题 2 2 1 1、 模型的建立模型的建立 一般举重运动员的举重能力是用举重成绩来衡量，而举重运动员的举重能力与其肌 肉强度近似成正比关系，从而举重运动员的举重总成绩与其肌肉强度近似成正比，即： （为常数且0）（1）TkC 1 1 k 从运动生理学得知，肌肉的强度与其横截面积近似成正比，即： （为常数且0） ，（2）SkT 2 2 k 从而可得。（3）SkkTkC 211 假设肌肉的横截面积正比于身高的平方，人的体重正比于身高的三次方33，即可得： ，（为常数且0）（4） 2 3h kS 3 4h kW 43,k k 从而得（5） 2 32121 hkkkSkkC 从可得：，（6） 3 4h kW 3 1 4 k W h 2007 华南师范大学第六届数学建模竞赛优秀论文 第 6 页 共 23 页 代入（5）式得： ,（7） 3 2 3 2 4321 3 2 4 321 2 321 Wkkkk k W kkkhkkkC 从而可得举重运动员举重总成绩与其体重的关系为： （）（8） 3 2 KWC 3 2 4321 kkkkK 上述模型是根据比例关系推导得出，又称为经验模型。综上所述： 2 2、模型的求解、模型的求解 利用题目表格中所给的体重和举重总成绩数据，运用最小二乘法求出上述模型的系 数 K。因为体重超过 108 千克的运动员的体重没有具体的数据，为了模型的准确性，故 将这个数据舍去。 得到 K=20.0880, 于是举重运动员的举重总成绩与体重的关系模型为 （9） 3 2 0880.20WC 用上述模型计算得到的理论值（保留小数点后一位）见下表（单位：千克） 表 1 下面对此模型进行数据检验：下面对此模型进行数据检验： 利用 scatter 函数画出表格中举重总成绩实际值的散点图（用小圆圈表示） ，并画出举重 总成绩与体重拟合后的函数，得到图象如下： 3 2 0880.20WC TkC 1 目标函数（）SkT 2 3 2 KWC 3 2 4321 kkkkK （模型） 2 3h kS 3 4h kW 体重5459647076839199108 总成 绩理 论 值 287.0304.4321.4341.2360.4382.2406.4429.9455.6 2007 华南师范大学第六届数学建模竞赛优秀论文 第 7 页 共 23 页 图 4 从上图可以看出，实际数据在函数曲线上下波动，第一个点跟理论值非常接近，而第八 个点则跟理论值偏差比较大。根据拟合的函数，我们求出了相对应的一些理论值，并用 scatter 函数画出它的散点图（用星号表示） ，再跟实际值进行对比，如图五： 图 5 将举重总成绩的实际值和理论值制成表格如下（单位：千克） 表 2 体重5459647076839199108 总成绩实 际值 287.5307.5335.0357.5367.5392.5402.5420.0430.0 总成绩理 论值 287.0304.4321.4341.2360.4382.2406.4429.9455.6 2007 华南师范大学第六届数学建模竞赛优秀论文 第 8 页 共 23 页 根据上表数据计算的误差为 37.2124，误差很大。这个模型主要是依据比例关系得到的， 假设条件都比较粗糙，是比较粗略的计算模型。通过这个模型只能大概得到举重总成绩 与体重的关系，但计算得到的理论值与实际值不是很相符。由于人的重量并非完全均匀 的，并且通过查找资料得知，人的体重并不完全正比于身高的三次方，有人做过统计得 到人的体重和身高的关系为 333 3 ，（10） 32.2 1.17hW 假设人的体重跟身高的关系为 ，（11） hkW 1 同时由于人体中不同部位的肌肉横截面积不相同，所以横截面积不一定完全正比于身高 的平方。假设肌肉横截面积跟身高的关系为，类似于上面的推导，可得到 hkS 2 （）（12） 3 KhW 3 4321 kkkkK 综上所述得： 利用表格中的数据对上述模型进行求解，首先将上述函数化成对数形式 （13）WKClglglg 然后利用表中的数据用线性最小二乘法和 MATLAB 软件编程， 得K=29.7427，=0.5775。 得到拟合后的函数为 C=29.7427W0.5775,（14） 画出图象如下 TkC 1 目标函数（，）SkT 2 KWC 3 4321 kkkkK 3 （模型） hkS 3 hkW 4 2007 华南师范大学第六届数学建模竞赛优秀论文 第 9 页 共 23 页 图 6 从上图可以看出， 实际数据在函数曲线上下波动， 第七和第八个点就跟理论值非常接近 ， 而第九个点则跟理论值偏差比较大。根据拟合的函数，求出了相对应的一些理论值，并 用 scatter 函数画出它的散点图（用正号表示） ，再跟实际值（用圆圈表示）进行对比， 如下图： 图 7 将举重总成绩的实际值和理论值（取小数点后一位）制成表格如下（单位：千克） ： 表 3 体重5459647076839199108 总成绩实 际值 287.5307.5335.0357.5367.5392.5402.5420.0430.0 总成绩理 论值 297.8313.4328.5345.9362.8381.7402.5422.6444.4 2007 华南师范大学第六届数学建模竞赛优秀论文 第 10 页 共 23 页 计 算 得 到 它 们 的 误 差 为 25.8672 ， 因 此 此 模 型 拟 合 的 效 果 比 模 型 好，用它来描述举重运动员的总成绩和体重的关系比较准确， 3 2 0880.20WC 最后得到模型为： C=29.7427W0.5775（15） 3 3、模型检验、模型检验 将化 成 对 数 形 式， 再 用 回 归 分 析 中 的 KWCWKClglglg b,bint,r,rint,s=regress(y,X,alpha)对此模型进行检验。 计算得到 lnK=3.3926,lnW =0.5775,跟用 polyfit 函数拟合的结果相同。同时得到 的置信区间为0.48220.6729，不含零点，并且 R2=0.9670,F=204.9798,P0） SkSkT 212 2 k hkS 3 3 40 hkWW 目标函数 )( 0 WWKC 其中，。 3 4321 kkkkK 3 2007 华南师范大学第六届数学建模竞赛优秀论文 第 12 页 共 23 页 图 9 从上图可以看出拟合的曲线没有完全经过实际值所在的点， 76，99 公斤级的比赛的运动 员的成绩基本上是经过模型 2 所拟合出的曲线，其他的点在拟合曲线上下波动。 下面再通过二维条形图和三维直方图来观察实际值跟通过拟合函数得到理论值之间的 差距： 图 10 通过计算，拟合的成绩与实际成绩之间的标准差是 14.8055，显然该模型比模型 1 拟合效果更好。 猜想：能否找到误差更小的数学模型来表示举重总成绩与体重之间的关系。 体育科学期刊 1999 年第 3 期中提到：用 FUTREX5000A 近红外体脂分析仪对参加第 8 届全运会举重比赛决赛的运动员的身体成分进行测试，结果表明：在同一级别的男运动 2007 华南师范大学第六届数学建模竞赛优秀论文 第 13 页 共 23 页 员中，比赛成绩较好者，全身体脂百分含量较低，瘦体重较重，体液含量较高；女运动 员的这种现象不明显55。也就是说，运动员进过严格的膳食及训练，机体中非肌肉重 量所占比例越来越大。那么猜想非肌肉重量 W0的值应该比 35 大，于是尝试将模型中 W0的值增大，来观察误差的变化。通过运用 MATLAB 软件来估计参数 W0的最佳值， 发现当 W0大概在 3545 之间变化时，误差随着 W0的值变大而逐渐变小；但当 W0大 概在 4650 之间时，误差随着 W0的增大而增大。故取 W0=45。于是将（2）式化为： （5） )45(WKC 将（5）式转化成一元线性函数，根据表中数据，用)45log(loglogWKC polyfit(x,y)拟合，得到 K=177.9023，=0.2142，即得到总成绩和体重的关系式是： （6） 2142.0 )45(*9023.177WC 画出图象，如图 11： （实线：，虚线：） 2142 . 0 )45(*9023.177WC 3039. 0 )35(*8752.118WC 图 11 从上图中可以看出函数跟实际值更接近， 根据此函数计算 2142. 0 )45(*9023.177WC 得到的理论值跟实际值的误差为 7.7245，比用函数计 3039. 0 )35(*8752.118WC 算的误差更小，拟合效果更好。 从而改进后的模型为 （6） 2142. 0 )45(*9023.177WC 3 3 3 3 、模型检验、模型检验 下面用回归分析检验模型的有效性： )( 0 WWKC 用b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha)求出 K 和的估计值和相应的回归置信区 2007 华南师范大学第六届数学建模竞赛优秀论文 第 14 页 共 23 页 间，得： K=177.8962（与用 polyfit 计算结果 177.9023 相当接近）=0.2142（与用 polyfit 计算 的结果相同） ，将所得结果制成表格如下： 表 4 下面作残差的置信区间分析： 图 12 残差及置信区间如图 12 所示，图中第二个点残差的置信区间不包含零点，可认为这个 数是异常的，应予以剔除。 将原始数据中的第二个剔除后重新计算得到下表： 表 5 从表中可出 K,变化不大，但置信区间变短，R2变大，s 变小，说明模型精确度提高 回归系数回归系数估计值回归系数置信区间 k 177.8962169.8134186.3823 0.21420.20050.2279 R2=0.9942p0.0001s=3.6756 回归系数回归系数估计值回归系数置信区间 k181.3993174.4433188.6324 0.20920.19790.2204 R2=0.9964p0.001s=2.9556 2007 华南师范大学第六届数学建模竞赛优秀论文 第 15 页 共 23 页 了，残差及置信区间见图 13，没有异常点，结果是比较理想的。 图 13 故改进后的举重运动员的举重总成绩与体重的模型 2 为： （7） 2092 . 0 )45(*3993.181WC 4 4 4 4 、模型、模型 1 1 1 1 和模型和模型 2 2 2 2 的比较：的比较： 模型 1C=29.7427W0.5775与模型2是根据最小 2092. 0 )45(3993.181WC 二乘准则拟合得到的模型， 从统计分析的角度验证了它们的可靠程度。 两个模型相比较 ， 模型 2 虽然是在剔除一个奇异点后所建立的模型，但拟合后和实际值十分接近，剩余标 准差小于 3，精确度比较高，用该模型可以对不同体重的举重运动员设置障碍，使得比 赛受到体重因素的影响较小， 从而更加公平。 模型 1 中作出的残差置信区间没有异常点 ， 根据模型 1，可以大概得到举重运动员总成绩跟体重的关系，但模型中自变量体重对因 变量举重成绩的决定作用很大，相对于用模型 2 计算总成绩不是很公平，计算出来的值 跟实际值也不是很相符。 5 5、设置障碍：、设置障碍： 根据经验，以及我们所建立的两个模型，运动员的体重越大，他的举重成绩就越好。如 果在一个级别里的所有运动员的举重总成绩比级别更低的运动员的举重总成绩还要小， 却可以拿到该级别的冠军，那显然是很不公平的。所以，将各个运动员的体重代入式子 （7） ，计算各个运动员应该达到的理论总成绩，若该运动员的实际举重总成绩与理论总 成绩之比大于等于 1 时，即实际举重成绩大于或等于其理论成绩，则有机会成为冠军； 2007 华南师范大学第六届数学建模竞赛优秀论文 第 16 页 共 23 页 如果实际举重成绩与理论成绩之比小于 1，即没有达到该理论成绩值，即使是在其所在 的级别中是最高的成绩，则同样不能拿冠军。另外，将（7）式化为 （8） 2092.0 )45( 3993.181 W C 我们也可以将运动员的实际举重成绩和重量代入（8）式的右边，再比较其结果与 181.3993 的大小。如果，说明该运动员的举重成绩大于等于按3993.181 )45( 2092. 0 W C 照（7）式计算的理论成绩，有机会获奖；如果，说明该运动员3993.181 )45( 2092. 0 W C 的举重成绩低于根据（7）式计算的理论成绩，则没有资格拿奖。 五、模型的评价 1 1 1 1 模型的误差模型的误差： 本文中人的体重中肌肉百分比是一个基于统计分析而得出的理论值 （查阅有关资料 所得） ，实际上由于每个人所占的肌肉百分比不同，所以在本文中对不同的人，都以一 个常量值来代替其体内的肌肉百分比，就会产生一点误差。 2 2模型的评价模型的评价 在所给的数据中，因为不知道超过 108kg 的运动员的具体体重，为了提高模型的准 确性，故没有将超过 108kg 的运动员的总成绩列入考虑的范围。现在将本文中所有的模 型制成一个直方图进行比较，如下图： 图 14 2007 华南师范大学第六届数学建模竞赛优秀论文 第 17 页 共 23 页 从上图可看到不同模型下的理论值和实际值之间的误差，直观看出模型 是最优模型。下面对模型进行优缺点评价： 2092.0 )45(3993.181WC 优点：优点： （1）在问题二中，利用生理学论证建议肌肉的强度和其横截面的面积成比例这个强度 子模型和参考经验公式，推导出模型，并对模型进行改进，得 2 3 2 0 .0 8 8 0CW 到优化后的模型为C=29.7427W0.5775，通过线性回归分析验证了优化后模型的可靠性 （2）问题三中考虑到人的体重中的非肌肉因素和参考 OCarroll 公式以及其他资料， 推导出模型，并对模型进行改进，得到优化后的模型 3039. 0 )35(*8752.118WC ，拟合效果很好，是一个能根据举重运动员体重来比 2092. 0 )45(*3993.181WC 较精确预测其成绩的模型，并通过线性回归分析验证了模型是成立的并且可靠度很高。 （3）在模型的比较中提出了一种经验法则，此法则能使举重比赛受体重因素影响较小， 从而更加公平。 缺点：缺点： 由于表中只提供了体重的数据而没有其他数据，例如高度，臂长之类的数据，因此所建 立的不同模型都产生了不同程度的误差。 六、模型的推广和改进六、模型的推广和改进 1 1 1 1 、模型的推广、模型的推广 在问题三中最后得到的模型，即，在几个模型中， 2092 . 0 )45(*3993.181WC 误差是最小的。利用这个模型可以做为举重比赛中制定补偿规则的一个客观依据，还有 可以应用于其它类似的体重是比赛成绩主要因素的比赛活动中，诸如大力士比赛，摔跤 等比赛活动。 2 2、模型的改进方向、模型的改进方向 模型 1C=29.7427W0.5775和模型 2都只是考虑 2092. 0 )45(*3993.181WC 身体上的因素，没有考虑到其他因素，如身体因素，心理因素，精神状态运动员在比赛 中的兴奋程度， 对当地的气候， 环境的是适应能力等等， 模型的应用存在一定的局限性 ， 可将其改进。 除了体重因素外，心理因素是影响举重运动员举重成绩的另一个重要的因素，心理 素质好可以使劣势化优势，优势更优，反之则会出现优势不优、优势变劣势的现象。在 模型 2 中再考虑这个因素。记心理因素为 X，X=0，1，2，3，4（X=0 表示心理素质很 2007 华南师范大学第六届数学建模竞赛优秀论文 第 18 页 共 23 页 好，X=1 表示心理素质较好，X=2 表示心理素质一般，X=3 表示心理素质较差，X=4 表示心理素质很差） 。 可以通过收集相关资料， 并用MATLAB 将 X 与 T 的数据作散点图 ， 观察他们之间大致所成的关系，估计能建立模型 KXWT 2092.0 )45(3993.181 再由数据估计系数 K，并用回归线性检验，将可能得到一个更加精确的模型。 举重过程还跟运动员的高度和手臂长度有关，如果能收集到相关数据，也可在举重 运动员的体重的基础上再考虑上述两个因素对成绩的影响。 七、参考文献 11 邓树勋等， 运动生理学P363，高等教育出版社。 222 2 杨亚琴， 素质练习P1，东方出版社。 333 3 刘利刚，浙江大学数模讲义， ，2007 年 4 月 26 日。 444 4 卢塞军， 体能训练的理论与实践P52，贵州：贵州人民出版社。 555 5 李云霞等，8 运会我国优秀举重运动员身体成分的调查报告，体育科学，1999 年， 第 3 期。 66 阮沈勇等，MATLAB 程序设计，北京：电子工业出版社，2004 年。 77 姜启源等，大学数学实验，北京：清华大学出版社，2005 年。 88 谢兆鸿等，数学建模技术，北京：中国水利水电出版社，2003 年。 八、附录 2007 华南师范大学第六届数学建模竞赛优秀论文 第 19 页 共 23 页 下面的程序均用下面的程序均用 MatlabMatlab 软件编写的软件编写的 问题一附录问题一附录 附录 1.1利用表中的数据做出散点图 问题二附录问题二附录 附录 2.1利用最小二乘法求解中的 K 值 3 2 KWC 附录 2.2利用最小二乘法求解中的待定系数 K 和 KWC W=54 59 64 70 76 83 91 99 108; C=287.5 307.5 335 357.5 367.5 392.5 402.5 420 430; Scatter(W,C) 附录 1.2 一次函数 W=aC+b 的拟合 polyfit(W,C,1)% 利用表中数据进行一次拟合 ans = 2.6153 162.0959% 输出最小二乘解（a,b 的值） 2.6154 W=54 59 64 70 76 83 91 99 108; C=287.5 307.5 335.0 357.5 367.5 392.5 402.5 420 430 K=W.(2/3)C% 左除，输出最小二乘解 K = 20.0880 2007 华南师范大学第六届数学建模竞赛优秀论文 第 20 页 共 23 页 附录 2.3回归分析检验模型 KWC 问题三附录问题三附录 W=54 59 64 70 76 83 91 99 108; C=287.5 307.5 335.0 357.5 367.5 392.5 402.5 420 430; lgC=log(C),lgW=log(W);% 分别对 W 和 C 取对数 a=polyfit(lgW,lgC,1)% 利用数据进行一次拟合 a = 0.57753.3926% 输出最小二乘解 K=a(1) K = 0.5775 r=exp(a(2)% 还原 K 值 r = 29.7427 C=54 59 64 70 76 83 91 99 108; W=287.5 307.5 335.0 357.5 367.5 392.5 402.5 420 430; y=log(C); x=log(W); n=9; X=ones(9,1),x; b,bint,r,rint,s=regress(y,X); b,bint,s,%输出回归系数及其置信区间和统计量 rcoplot(r,rint)%残差及其置信区间作图 b = 3.3926% 输出 lnK 的值 0.5775% 输出的值 bint = 2.97863.8066 0.48220.6729 s = 0.9670204.97980.0000 2007 华南师范大学第六届数学建模竞赛优秀论文 第 21 页 共 23 页 附录 3.1利用最小二乘法求解中的待定系数 K 和 )35(WKC 附录 3.2利用最小二乘法求解中的待定系数 K 和 )45(WKC 附录 3.3绘制误差二维条形图和三维直方图 附录 3.4绘制函数 C=K(W-45)0.2142和C=K(W-35)0.3039 x=54 59 64 70 76 83 91 99 108; y=287.5 307.5 335 357.5 367.5 392.5 402.5 420 430; x1=x-35; lgy=log(y);lgx1=log(x1);lgx=log(x); A=polyfit(lgx1,lgy,1); b=A(1) b = 0.3039 a=exp(A(2) a = 118.8752 xx=x;yy=a*(xx-35).b;% 计算理论值 plot(x,y,+,xx,yy),grid% 画图 gtext(体重(kg),gtext(举重成绩(kg) x=54 59 64 70 76 83 91 99 108; y=287.5 307.5 335 357.5 367.5 392.5 402.5 420 430; x1=x-45; lgy=log(y);lgx1=log(x1); A=polyfit(lgx1,lgy,1);% 输出最小二乘解 b=A(1) b = 0.2142 a=exp(A(2); xx=x;yy=a*(xx-46).b; plot(x,y,+,xx,yy,c) x=54 59 64 70 76 83 91 99 108; Y=287.5000284.8266;307.5000313.0996;335.0000334.2650;357.5000 354.5037;367.5000 371.2203;392.5000 387.7677;402.5000 403.9659; 420.0000 418.0813;430.0000432.1165; subplot(1,2,1);bar(x,Y,0.5);title(二维条形图);% 绘制直方图 xlabel(体重（kg),ylabel(总成绩(kg); legend(实际举重成绩,根据模型 2 计算的举重成绩); subplot(1,2,2);bar3(x,Y,0.5);title(三维条形图); ylabel(体重（kg),zlabel(总成绩(kg)% 绘制立方图 2007 华南师范大学第六届数学建模竞赛优秀论文 第 22 页 共 23 页 附录 3.5回归分析检验模型 C=K(W-45) 附录 3.6去掉一个异常点后用回归分析检验模型 C=K(W-45) x=54 59 64 70 76 83 91 99 108; y=287.