2014学而思杯数学解析(4年级).pdf

2014 年第四届全国学而思综合能力测评（学而思杯） 数学试卷详解（四年级） 一、一、填空题（每题填空题（每题 5 5 5 5 分，共分，共 20202020 分）分） 1.定义：一天的“幸福指数”是 2 12MM-，其中M代表今天是星期几例如，今天是 4 月 7 日星 期一，那么今天的幸福指数就是 2 121111 -=那么，2014 年劳动节（5 月 1 日，星期四）的幸 福指数是 【考点】定义新运算 【难度】 【答案】32 【分析】 2 124432 -= 【点评】第一题很简单，但细心的小朋友会发现，在6M=的时候幸福指数最高，1M= 时指数最低， 周日和周五都比较高，应该比较符合孩子的幸福指数状态，周六最开心，周一最痛苦哈！ 2.在右图“学而思培优”的标志中，共有个四边形 【考点】几何计数 【难度】 【答案】8 【分析】有 5 个大四边形和 3 个重叠的，共 8 个. 3.学而思在“五一劳动节”即将发行新版积分卡如果旧版积分卡上共出现 300 位老师，新版积分 卡上共出现 400 位老师，其中有 150 位老师在新旧两版积分卡中都出现了，那么，在新旧两版积 分卡上共出现了位老师 【考点】容斥原理 【难度】 【答案】550 【分析】300400150550+-= 【点评】学而思新版积分卡暑期马上上市了！ 4.粗心的俊俊想要计算“12345678910+ + + +”的和，但他不慎把其中的一个数加了 两次，结果得到了 64那么，俊俊把加了两次 【考点】等差数列 【难度】 【答案】9 【分析】如果把算式正确相加，结果应得 55，但有一个数加了 2 次，也相当于多加了 1 次，所以多加 的是64559-=. 二、二、填空题（每题填空题（每题 6 6 6 6 分，共分，共 24242424 分）分） 5.盛盛在玩一种“跑酷”游戏，他在跑道上奔驰，并拾起跑道上的金币他每跑 1 米，会得到 8 分， 每拾到一个金币，会得到 15 分在一次游戏中，盛盛共跑了 38 米，得了 2014 分，那么，盛盛平 均每米会拾到个金币 【考点】平均数问题 【难度】 【答案】3 【分析】方法 1：盛盛通过跑步会得到388304 =分；通过金币得到了20143041710-=分； 盛盛得到了171015114=个金币；平均每米得到114383=个金币. 方法 2：盛盛每米会得到20143853=分（201421953= ，所以这步可以口算哦！ ） 所以，盛盛每米会拾到(538)153-=个. 6.在下面的乘法竖式中，如果方框内填的数字都不是 1 和 4，那么将竖式补充完整后，最后一行的乘 积是 4 41 4 41 【考点】乘法竖式数字迷 【难度】 【答案】94658 【分析】首先14456 =，如下图，d的上下都是 4，说明d是 0 或 9，而由于d是4b的个位，只能 是 0；则ab只能是 15 或 20，而151491362614000 =，所以不可能，所以 甲只能是 3 分，他战胜了乙，输给了丙丁；同理，乙队已经输给了甲队，如果他再平一场，得分 是 4 分，显然无法取得第一名（还不与其他队并列） ，所以乙得 6 分，战胜了丙丁；此时丙和丁都 是 1 胜 1 负，由于不能和甲乙并列，它们之间只能打平，得分是 4 分，于是得到答案. 【点评】此题丙和丁从头至尾没有任何分别，但最后却能按顺序写出得分，可以得出结论：它们一定 是同分，这样可以很容易解出题目，这也是今后孩子做题的答题技巧！ 10. 甲、乙、丙 3 人在一个周长是 300 米的环形跑道上同时出发，出发地和行走方向如图所示已知， 出发 15 秒后乙和丙第一次相遇，又过了 10 秒，甲和乙第一次相遇那么，再经过秒， 甲第一次追上丙 丙乙 甲 【考点】环形跑道 【难度】 【答案】50 【分析】乙丙相遇时，和走了全程的一半，可以得到他们的速度和乙丙1501510=； 甲乙相遇时，和走了整个一圈全程，可以得到他们的速度和甲乙300(1510)12=+=； 通过上两式，可得到甲丙12102=-=，所以甲追上丙总共需要150275=（秒） ； 即再经过75151050-=（秒）. 11. 有些数，它们既可以表示成两个不同质数的和，也可以表示成两个不同质数的乘积，我们称这样 的数是“未来数” 那么，两位数中，最大的“未来数”是 【考点】质数合数，极端分析 【难度】 【答案】94 【分析】奇偶性分析，凡是奇数分解为 2 个质数的和，只能是 2一个奇质数； 凡是偶数分解为 2 个质数的乘积，只能是 2一个奇质数； 从 99 开始枚举；99297=+正确；但9933 11= ，所以无法拆乘 2 个质数乘积； 98249= 直接排除；97295=+直接排除； 96248= 直接排除；95293=+直接排除； 94247= 正确；同时94589=+；也可以拆成两个不同质数的和 所以，本题答案是 94. 12.A、B、C、D、E、F六个人相约去照相（所有人都可以负责摄影） ，安排如图所示他们 6 人的身 高依次递增，A最矮，F最高照相要求所有后排的人必须比所有前排的人高（摄影师身高不限）， 那么，共有种不同的安排方式 【考点】加乘原理 【难度】 【答案】72 【分析】先从 6 人中选出 1 人做摄影师，共有 6 种选法；种方法； 剩余 5 人按身高从低到高排序： 排名前 2 的只能站在前排，但他们在前排可以调换顺序，共 2 种方法； 排名后 3 的只能站在后排，但他们在后排可以调换顺序，共 3216 种方法； 总计62672 =种方法. 四、四、填空题（每题填空题（每题 8 8 8 8 分，共分，共 32323232 分）分） 13. 有一个神奇的五位数，它能同时被 1、3、5、7、9、11、13、15 整除，却不能被 2、4、6、8、10、 12、14、16 中的任何一个数整除那么，这个五位数是 【考点】整除特征 【难度】 【答案】45045 【分析】方法一：能被 1、3、5、7、9、11、13、15 整除，1 无需考虑，考虑 9 就无需考虑 3；考虑 5 和 9 就无需考虑 15；所以只需考虑 5、7、9、11、13 即可，最小是579 11 1345045 =， （即 使 5、7、9、11、13 的最小公倍数） ；但不能被 2 整除，所以450452 不行，如果3 就不是 5 位 数了，所以答案只能是 45045. 方法二：能同时被 7、11、13 整除，也就是能被 1001 整除，能被 1001 整除的 5 位数一定符 合 AB0AB 的形式，又通过能被 5 整除但不能被 2 整除，得 B5；通过能被 9 整除，得 A4. 14. 下图是一个正六边形，面积是 360 平方厘米，A、B、C、D分别是四条边的中点那么，阴影部 分的面积是平方厘米 DC BA 【考点】几何图形分割 【难度】 【答案】210 【分析】显然，每个大阴影三角形的面积为360660=； 再将小阴影三角形所在的空白部分进行分割如下： C B 显然，阴影在 8 个格子中相当于 3 个格子，则面积为6028345 =； 综上，阴影面积为602452210 + =. 15. 如图，一个小正四面体印章，每面刻着 1 至 4 中的一个数字，各面数字互不相同小明用这个小 正四面体印章在右图的三角形格子内滚动，从任意一格以任意摆放方法开始，到任意一格结束， 但要求每格恰好经过一次 那么， 当滚动结束后， 所有小三角形格中印下的数字之和共有种 不同的取值 【考点】几何，立体图形与空间想象 【难度】 【答案】4 【分析】研究下图所示的滚动路径： O a c b a 若以 O 点为三角形的顶点，那么共有这个顶点的 3 个相邻面滚动时一定依次出现，那么有对 顶角的两个三角形上的数一定相同. 按这样的思路，枚举每条路径，发现除了中心三角形，都是 3 个 1、3 个 2、3 个 3、3 个 4， 和是相同的，都是 30；但中心三角形上的数有 4 种取值，故总和有 4 种不同的取值（31、32、33、 34）. 16. 有 12 张卡牌，分别写着 112，不同卡牌上的数互不相同甲、乙、丙分别抓取其中的四张牌， 进行游戏规则如下： 比赛分 4 轮，每轮三人各出一张牌（出过的牌不能再出） ，并计算三张牌的和，如果和比中间 牌的 3 倍小，则出最小牌的人获胜，反之，则出最大牌的人获胜如果和等于中间牌的 3 倍，则 无人获胜 （例如：甲、乙、丙分别出的是 2、4、1，则乙获胜） 已知： 四轮都有人获胜； 甲四轮出牌顺序依次是 3、4、8、1，结果只有前 3 轮获胜； 乙第一次出了他手中四张牌中最小的牌； 乙、丙两人手中四张牌的和相等 那么，乙所拥有的四张牌的乘积是 【考点】逻辑推理 【难度】 【答案】3150 【分析】剩余 8 张牌的和是(1212)348162+- - - - =，所以乙、丙的和都是 31； 观察 2 这张牌，如果乙有 2，他一定第一轮出（题目条件 3） ，但乙第一轮出 2，甲的 3 是无 法获胜的（因为丙没有 1，所以他一定比 3 大，那么 3 是中间数无法获胜） ，所以 2 一定在丙手中； 同理，还是 2 这张牌，如果它在第 2 轮，甲的 4 也无法获胜；如果它在第 3 轮，甲的 8 想 获胜，剩余的 1 个数一定是 3、4，但 3、4 都已出现，所以 2 也不能在第 3 轮，所以 2 一定是丙第 4 轮由丙出； 如果丙还有 5，那么丙的 4 个数最大，是2511123031+=，所以 5 一定在乙手上， 那么 5 就是乙最小的牌，5 是在第一轮出的，如果甲的 3 想要获胜，丙只能出 6； 丙已经由 2 和 6，丙的 4 个数最大是26111231+=，刚好，所以 11 和 12 只能是丙， 那么乙的 4 个数就是 5、7、9、10，乘积是579103150 =. 五、五、解答解答题（每题题（每题 8 8 8 8 分，共分，共 16161616 分）分） 17. 计算： （1） 2 9591 99- （2）4.78.49.4194.73.6+ 【考点】平方差公式；提取公因数 【难度】 【答案】 （1）16； （2）235 【分析】 （1）原式95（954）（954）（2 分） 95（954） 16（4 分） （2）原式4.78.44.7384.736（1 分） 4.7（8.4383.6）（2 分） 4.750 235（4 分） 18. 计算： （1） 22222 112223399 1010+ + + + （2）(201420132012201220132014)(2014201320132014)- 【考点】平方和公式；平方差公式 【难度】 【答案】 （1）715； （2）20002 【分析】 （1）原式（1210）（1223910）（1 分） 1011216910113（2 分） 385330 715（4 分） （2）原式（2000000002）（100001）（1 分） 2（100001）（100001）（100001）（2 分） 20002（4 分） 【附】【附】【附】【附】 17171717、18181818 题共题共题共题共 4 4 4 4 道小题，如果没有任何过程，但答案正确，每道小题得道小题，如果没有任何过程，但答案正确，每道小题得道小题，如果没有任何过程，但答案正确，每道小题得道小题，如果没有任何过程，但答案正确，每道小题得 2 2 2 2 分；分；分；分； 每道小题不论用任何方法（死算也可每道小题不论用任何方法（死算也可每道小题不论用任何方法（死算也可每道小题不论用任何方法（死算也可） ，只要有至少，只要有至少，只要有至少，只要有至少 1 1 1 1 步过程，并且答案正确，得满分；步过程，并且答案正确，得满分；步过程，并且答案正确，得满分；步过程，并且答案正确，得满分； 如果答案错误，但过程部分正确，可按评分标准酌情得如果答案错误，但过程部分正确，可按评分标准酌情得如果答案错误，但过程部分正确，可按评分标准酌情得如果答案错误，但过程部分正确，可按评分标准酌情得 12121212 分，但不会超过分，但不会超过分，但不会超过分，但不会超过 2 2 2 2 分分分分. . . . 六、六、解答解答题（每题题（每题 15151515 分，共分，共 30303030 分）分） 19. 甲、乙两人平时喜欢散步甲从A地出发，每走 5 分钟就要休息 2 分钟，需要 50 分钟走到B地 乙从B地出发，每走 4 分钟就要休息 1 分钟，需要 74 分钟走到A地已知，A、B两地的距离是 3600 米 （1）如果甲不休息，走完全程需要多少分钟？ （2）有一天，甲、乙分别从A、B两地同时出发，相向而行（各自按先走后休息的方法走） ，经过 25 分钟后，甲、乙还相距多少米？ （3）接（2）问，甲、乙继续行走，当两人第一次相遇时，甲从出发开始总共走了多少米？ 【考点】行程走走停停 【难度】 【答案】 （1）36； （2）500； （3）2160 【分析】 （1）甲 7 分钟一个周期；50771= ，57136 + =（分） ； （2）甲的速度是360036100=（米/分） ； 乙 5 分钟一个周期，745144=，144460 +=（分） ； 速度是36006060=（米/分） ； 25 分钟，25734= ，甲实际走了35419 +=（分） ，共100191900=（米） ； 2555=，乙实际走了4520 =（分） ，共60201200=（米） ； 两人相距360019001200500-=（米） ； （3）剩余 500 米，第 26 分钟，甲乙均走，共行 160 米； 剩余 340 米，第 27 分钟，只有乙走，共行 60 米； 剩余 280 米，第 28 分钟，只有乙走，共行 60 米； 剩余 220 米，第 29 分钟，甲乙均走，共行 160 米； 剩余 60 米，第 30 分钟，只有甲走，这 60 米全部是由甲完成的； 甲总计走了1900100100602160+=（米）. 【附】【附】【附】【附】 每问每问每问每问 5 5 5 5 分，无任何过程，只有正确答案，每问可得分，无任何过程，只有正确答案，每问可得分，无任何过程，只有正确答案，每问可得分，无任何过程，只有正确答案，每问可得 3 3 3 3 分；分；分；分； 答案正确，且有简要并且正确的推理过程，可得满分答案正确，且有简要并且正确的推理过程，可得满分答案正确，且有简要并且正确的推理过程，可得满分答案正确，且有简要并且正确的推理过程，可得满分 5 5 5 5 分；答案不正确，每问酌情给分：分；答案不正确，每问酌情给分：分；答案不正确，每问酌情给分：分；答案不正确，每问酌情给分： （1 1 1 1）问，有问，有问，有问，有 7 7 7 7 分钟一周期，可得分钟一周期，可得分钟一周期，可得分钟一周期，可得 1 1 1 1 分；有分；有分；有分；有 50505050 7 7 7 7 除法算式，可再加除法算式，可再加除法算式，可再加除法算式，可再加 2 2 2 2 分；分；分；分； （2 2 2 2）问，计算出甲、乙的速度，可分别得问，计算出甲、乙的速度，可分别得问，计算出甲、乙的速度，可分别得问，计算出甲、乙的速度，可分别得 1 1 1 1 分；计算出甲、乙走的距离，可分别再得分；计算出甲、乙走的距离，可分别再得分；计算出甲、乙走的距离，可分别再得分；计算出甲、乙走的距离，可分别再得 1 1 1 1 分分分分. . . . （3 3 3 3）问，有问，有问，有问，有 1 1 1 1 分钟分钟分钟分钟 1 1 1 1 分钟枚举的思路，可得分钟枚举的思路，可得分钟枚举的思路，可得分钟枚举的思路，可得 2 2 2 2 分分分分. . . . 20. 把从 1 开始的自然数按照下图方式排列（下图只给出了这个数表的一部分） 如果我们认为 1 在第 0 行第 0 列，6 在第上 2 行第 0 列，12 在第 0 行第左 2 列，19 在第下 2 行第右 1 列请问： （1）在第上 2 行第右 3 列的数是多少？ （2）自然数 2014 在第几行第几列？（要求写出方向） （3）从 1 开始向上数 100 个数（1 算作第 1 个，向后依次是 2，6，14） ，那么，这 100 个数 的和是多少？ 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 321321 列 0 右 列 右 列 右 列 左 列 左 列 左 列 下3行 下2行 下1行 0行 上1行 上2行 上3行 【考点】数表 【难度】 【答案】 （1）45； （2）第上 5 行第右 28 列； （3）646999 【分析】 （1）用列举法，按规律继续写，很快得到 45 的答案； （注（注（注（注： 由于命题组失误由于命题组失误由于命题组失误由于命题组失误， 答题纸上的题目是上答题纸上的题目是上答题纸上的题目是上答题纸上的题目是上 2 2 2 2 行左行左行左行左 3 3 3 3 列列列列， 这样计算的答案是这样计算的答案是这样计算的答案是这样计算的答案是 59595959， 59595959 也算作正确也算作正确也算作正确也算作正确！） ） ） ） （深深自责中（深深自责中（深深自责中（深深自责中） （2）观察第 0 列从 1 向上的数，1、2、6、14、26、42 从 2 开始，依次是4+ ，8+ ，12+，16+ 所以，按照2(481216)+ + 进行估算 即估算24(123)2014+ + +； 即123503+ +，可得12 331496+ +=； 即第上 32 行第 0 列的数是244961986+ =，从 1986 到 2014 每次都是向右下移动， 2014198628-=，所以共移动 28 次，2014 在第上 4 行第右 28 列； （3）接（2）问规律，第 100 个数是24(12398)+ + + 第 2 个数至第 100 个数，每个数都会有一个打头的 2，把它们都提到最前，可得到这 100 个数的和是129941(12)(123)(1298)+ + + 把中括号内的数写成一个三角形，可用“二踢脚”模型（平方和公式的推导）解决 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 1 1 1 12 2 2 23 3 3 3 1 1 1 12 2 2 29 79 79 79 79 89 89 89 8 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 9 79 79 79 72 2 2 21 1 1 1 9 89 89 89 83 3 3 32 2 2 21 1 1 1 9 89 89 89 8 9 79 79 79 7 3 3 3 3 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1 中括号内等于(9811)(12398)3161700+ + +