2014数学建模国赛A题 创意平板折叠桌.pdf

2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承承诺诺书书 我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参 赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下 载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或 其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有 违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）：B 我们的报名参赛队号为（8 位数字组成的编号）：27006025 所属学校（请填写完整的全名）：长安大学 参赛队员 (打印并签名) ：1.罗清云 2.陈晨 3.郑凌晨 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：王文杰 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容 请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期：2014年 9月 12 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编编 号号 专专 用用 页页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 1 20142014 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛年高教社杯全国大学生数学建模竞赛 创意平板折叠桌 摘要 本文主要研究创意平板折叠桌的设计加工的优化问题和折叠桌的动态变化过程。我 们根据题目所给的一些数据以及折叠桌动态变化过程视频，并查阅相关资料分析并建立 了曲线参数方程、综合指数分析法、对比模型、转换模型、多目标优化模型等来研究此 问题。 首先，我们通过几何关系和对称性推导出折叠桌的参数方程。通过 Matlab 软件绘 制出折叠桌子的四张动态图。通过钢筋的具体位置和几何关系，给出桌腿木条的开槽长 度。通过参数方程给出了桌脚边缘曲线数学描述。 其次，我们由 SGS 标准见文献 8，通过建立力学平衡方程，得到制动力矩和驱动 力矩的关系。经过分析制动力矩和驱动力矩的关系，我们采用对制动力矩和驱动力矩的 乘积进行多次求导的方式，得到了符合题目要求的角。考虑到加工方便的约束，通过 Matlab 软件绘图的方法进行分析，得到了钢筋位置和各木条的开槽长度的最优加工参 数。 最后，考虑到稳固性和节省用料的因素，通过建立综合指数分析模型，计算出评定 因子 制动力矩 驱动力矩 径向最短长度径向最大长度 木条长度 E 与的函数关系式。当木条长度越短，制动力矩 越大，驱动力矩越小时，即当评定因子 E 取最小值时，对应的即为所求。 在模型优化中，我们考虑了在桌面上均匀分布的力的情况，通过建立空间力系的平 衡模型，在临界条件下（桌子支撑腿受到指向桌内的摩擦力取最大值），由理论力学知 识推导出桌面上均匀分布的力 F 与角、钢筋位置之间的函数式。计算得出桌子的稳定 性与钢筋位置无关，桌子在这种受力情况下的稳定性只与支撑腿与竖直方向的夹角有 关。当 636.36时，桌子始终保持稳定。 关键词：关键词：曲线参数方程、综合指数分析法、对比模型、转换模型、多目标优化模型、 空间力系的平衡模型 2 一、 问题重述 1.1. 问题背景问题背景 某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张 平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分 别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子 外形由直纹曲面构成，造型美观。且视频展示了折叠桌的动态变化过程（见原题附件视 频）。 2.2. 提出问题提出问题 （1）. 给定长方形平板尺寸为 120 cm 50 cm 3 cm，每根木条宽 2.5 cm， 连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为 53 cm。 试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数 （例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。 （2）. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定 的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加 工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。 对于桌高 70 cm，桌面直径 80 cm 的情形，确定最优设计加工参数。 （3）. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌 面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可 行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的 任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计 的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少 8 张动态变化过程的示意 图。 二、 问题分析 (1).折叠桌以铰链连接，外形由直纹曲面构成。通过反复研究折叠桌的动态视频， 分析出折叠桌的运动特性，我们采用几何投影法，化三维运动为二维运动，简化模型。 同时，为了便于分析几何关系，我们仅对单组木条中最长与最短两根木条进行探究。并 通过 Solidwoks 软件绘画其几何关系图。根据各木条之间的连动原理推导出所有木条间 的关系，建立曲线参数方程表示折叠桌整体的动态变化过程。最后计算出折叠桌的设计 加工参数，并通过函数式和三维曲线图描述桌角边缘线。 (2).通过分析题目要求，我们初步建立优化模型。然后，我们通过对稳固性的三大 影响因素（结构重心、结构支撑面、结构形状）分析计算，对原模型进行多目标规一化 处理。确定出单一的目标函数，通过 Matlab 软件进行优化求解。然后，依次讨论其他 约束条件对结果进行优化，得到最优解函数。带入相关参数求解题目所求条件下的最优 加工参数。 (3).分析得出问题三属于问题二的一般化扩展，在客户给定折叠高度、桌面边缘线 的形状和桌面直径的要求下，对问题二中模型进行改进，转换。求解出符合要求的平板 材料的形状尺寸和其实可行的最优设计加工参数。然后，由所得模型再求解出其他几种 桌子。并画出其动态变化图。 3 三、 基本假设 1. 假设木板的材质均匀，强度合格，不会在折叠过程中发生断裂现象。 2. 假设折叠桌处于完全支撑状态时，稳定性与地面摩擦力无关，即不会自动恢复 到平板而失稳。 3. 假设在折叠桌的承压范围内，钢筋的强度足够大，不会折断。 4. 假设木条间的摩擦力忽略不计。 四、 符号说明 i A 第 i 根木条 i a 第 i 根木条距圆心最近端的坐标 转动过程中木条与 Y 轴的夹角 i 第 i 根木条与 X 轴夹角 i d 第 i 根木条的槽长 D所有木条槽长的总和 V木板体积 G折叠桌整体的重力 K稳定系数 h桌子高度 五、 模型的建立与求解 ( (一一) ). .问题一的模型与求解问题一的模型与求解 通过观察原题中折叠桌的运动过程视频（见原题附件 视频），我们分析出在折叠 桌展开过程中，最长的四根木条带动钢筋运动，其他木条中心有空槽，钢筋可在其中进 行滑动，以便使折叠桌展开至最佳稳定状态。且各个木条与钢筋均在铅垂面内作圆周运 动。 4 1.11.1 折叠桌动态变化过程折叠桌动态变化过程-参数方程参数方程 通过 Solidworks 三维软件，以木板上表面中心为原点，建立空间直角坐标系（如 图 1）。 图 1 由于此木板高度对称性为形状，为了简化模型，我们仅以第一象限内木条运动状态 为例加以证明。其他部分均可由对称性同理得出相应结果。 根据木板的尺寸：120 cm 50 cm 3 cm，每根木条宽 2.5 cm。以木板几何中 心为圆心作最大内切圆为圆桌的基本轮廓线。如图 1 所示，根据木板宽度与木条宽度可 将第一象限的木板横向均分为 10 等份，即可划分为 10 根木条。设每根木条的横向中心 线与内切圆的交点为 i a ， 从圆心位置开始， 沿 Y 轴方向各木条分别命名为 18910 .,AAAA， 其 X 轴坐标依次为 18910 .,aaaa。运用几何投影法，将第一象限木板沿 Z 方向投影（见 图 2）。 由于钢筋的端点固定在木条 A1 的中心位置，在折叠桌运动时，钢筋并不变形。所 以各个木条的运动相互牵连的。我们简化研究对象，以木条 A1 作为基准，研究木条 Ai 与 A1 之间的运动的关系。当木条处于最佳稳定状态时，A1 与 Ai 的几何关系如下图（见 图 2） 几何运动过程为： 木条 A1 以圆点 1 a 为圆心，Da1为半径作圆周 运动。 木条 Ai 以圆点 i a 为圆心，Dai为半径作圆周 运动。 钢筋以以圆点 O 为圆心，2/ 1 a为半径作圆周 运动。 每根木条 i A 沿 Y 轴方向的坐标为： 图 2 5 . 225 , 5 . 2 , 0 i y（i=1,2,3.10） 每根木条长度为： 2 2 ii yRa（R=25cm）（1） 5 每根木条的长度可表示为： ii aL 60（2） 设木条 Ai 与 X 轴夹角为 i ，根据几何关系可得： )(cos 2 sin 2 tan 11 1 1 1 aa L L i i （3） 通过 Matlab 软件 （程序见附录）计 算并绘画出散点图（见图 3） 当折叠桌展开至最稳状态时，桌子底 面距地面高度 h=53-3=50cm。 以 A1 为研 究对象，由几何关系可得 1 最大值为 rad2798 . 1 max1 。即 1 取值范围为： rad2798 . 1 0 1 （4） 图 3 根据对称性原理，可得出整体的变化动态过程。通过 Matlab 软件（程序见附录） 绘画出折叠桌的动态变化图（见图 4） 图 4 经过与原视频（见原题视频附见）中折叠桌运动郭晨的对比，验证出此模型的准确 性与科学性。 6 1.21.2 桌腿木条开槽的长度桌腿木条开槽的长度 在图 3 中，由于钢筋处于木条 A10 的中心位置，故根据几何关系（见图 2）得出： 11 2 1 2 cos)()()2(aaLaaLc iiiii （5） 式中 i c 表示钢筋与第 i 根木条(0, i a )之间的距离。 则桌腿木条开槽长度的函数表达式（程序见附录）为： )( iii abcd（6） 经计算得出第一象限内所有木条与其开槽长度关系（见表 1）如下： 木条编号A1A2A3A4A5 槽长（cm）05.029.9014.2117.84 木条编号A6A7A8A9A10 槽长（cm）20.7723.0524.7325.8226.37 1.31.3 桌脚边缘线的数学描述桌脚边缘线的数学描述-曲线参数方程曲线参数方程 在图 3 中，由几何关系可知，建立曲线参数方程如下： iii ii iiii Lz y Laax sin 5 . 225.26 cos 1 （7） 又根据： 1sincos )(cos 2 sin 2 tan 2 2 11 1 ii i i aa L L （8） 曲线参数方程可化简为： 1tan tan 5 . 225.26 1tan 1 1 2 1 1 2 1 ii i iii Lz iy Laax （9） 即曲线的参数方程可化简为含参数 1 的方程。 7 通过 Matlab 软件绘画出折叠朱处于完全支撑状态时， 桌脚边缘线的三维趋势图 （见图 5） （程序见附录） 图 5 ( (二二).).问题二的模型与求解问题二的模型与求解-多目标规划改进模型多目标规划改进模型 首先，我们通过互联网查阅大量资料，得到对于一般家用桌椅的稳定性评测依据： SGS见文献 8。 我们仍然以第一象限的桌子与木条为研究对象。 对其进行静荷载 F=200N 的稳定性测试分析。通过 AutoCAD 2007 软件做出受力分析图（见图 6）： 图 6 取该桌的重心为 G。即： )3*80*( 0 LgVgmgG（10） 我们查阅相关资料得：市面上大多数用来做家具的木质材料密度范围为 3 /8 . 04 . 0cmg 。而木头的密度是随着含水量的变化而变化的。一般说的密度是指干 气密度，大家默认为 3 /6 . 0cmg 。且式中 kgNg/8 . 9 ，木板的体积用 V 表示。 以点 a 为研对象，F 和 G 分别对其产生力矩 12 MM 和。为了便于分析，我们设定一 稳定系数为： Fa Gb M M K 2 1 （11） 8 即 K 值越大，结构的稳定性越好。 木板的总长表示为： 2*)( 100 alL（12） 式中156 2 1 2 1 yRa。 由几何关系知 0 3 cos l h ，故 10 A 号木与地面支撑点的 b 点的坐标函数式为： 1 tan)3(ahb（13） 且baa5 10 （14） 式中1696 2 10 2 10 yRa 综上所述，我们可以得到： 木板体积为： 480*) cos 3 ( 1 a h V （15） 稳定性系数为： )5( 240*tan)3(* 10 1 baF hagh K （16） 2.12.1 参数参数的界限的界限 木板体积函数式：480*) cos 3 ( 1 a h V 的变化图如下（程序见附录）（见图 7）： 为了求用材量随的变化速率快慢的临界值，对 V（）求多次导数，并作出图像 （程序见附录）（见图 8）经过多次尝试，即对用材 V()多次求导，得求导次数为 10 时最好 （再多则导函数变得不再光滑， 因取值间隔所致） 。 由图 8 大致可得用材 V() 用量速率显著增大时对应的角度为 0.8（约 45.84 度），为上限,即： 84.450（17） 图 7图 8 9 2.22.2 用材最少用材最少-图形分析法图形分析法 稳定性系数为： )5( 240*tan)3(* 10 1 baF hagh K （18） 由 Matlab 软件绘画出其变化图（见图 9）（程序见附录）： 图 9 当=0.32 时，在受力图中(见图 6)，外力 F 的作用线经过木条与地面的接触点。 当0.32 时，在不考虑材质强度的情况下，外力 F 继续增大，也不会导致桌子侧翻。 此时，稳定系数 )5( 240*tan)3(* 10 1 baF hagh K 不再适用。 故对此模型进行改进。改进稳定系数为： )5(*240*tan)3(* 10121 baFhaghMMKK（19） 由 Matlab 软件绘画出其变化图（见图 10）（程序见附录）： 图 10 10 同理，对 KK（）求导十次，可得其变化图（见图 11）（程序见附录） 图 11 当0.32 时，有最适值为 0.33，此时，0.8。符合上文中的界限，表明此结果 的科学性与准确性。 同时考虑产品的稳固性及用材最少，取=0.33，此时产品非常稳固，将=0.33 代入木板体积公式480*) cos 3 ( 1 a h V 可得，最少用材量为 V=39989.45（ 3 cm ）。 2.32.3 钢筋位置及开槽长度钢筋位置及开槽长度 通过对折叠桌动态变化视频，我们分析推理出:各个木条中开槽长与钢筋的位置有 着密切关系，我们取单组中最短木条 10 A 为研究对象进行分析: 11101 2 110 2 110 cos*)(*)(*2)()(aaabaaabc（20） )( 11010 abcd（21） 故槽长 10 d 与钢筋位置 b 的关系式为： )(cos*)(*)(*2)()( 111101 2 110 2 110 abaaabaaabd（22） 式中49.12 1 a，95.39 10 a，24 . 1 1 且31135.83bd（约束条件）（23） 11 由 Matlab 软件画出钢筋位置 b 与木条 10 A 的槽长 10 d 的关系图 （见图 12） （程序见附录） 图 12 即木条 10 A 的槽长随着钢筋位置横坐标的增加而减小。 图中两条曲线的交点坐标为（56.1053，27.2060） 由条件31135.83bd可得，直线31135.83bd下方为可行解的区域。又因为目标位 求槽长 10 d 的最小值，故图中两条曲线的交点即为最优解： 钢筋横坐标 b=56.1053(见图 2)最短边槽长 10 d =27.2060 由以下公式， 11 2 1 2 cos)()()2(aaLaaLc iiiii （24） )( iii abcd（25） 10 1 *4 i i dD（i=1,2.10）（26） 通过 Matlab 软件编程计算可得： 整个折叠桌的开槽总长度为： D=713.4922(cm)（27） （三）问题三的模型与求解问题三的模型与求解 3.13.1 模型应用模型应用 桌面边缘线的形状除了圆以外，还可以是椭圆形、棱形、正六边形等，这里以椭圆 形为例。任意给定一组值，例如：长轴 A=35cm，短轴 B=25cm，桌高 h=65cm。 考虑稳固性及用量少，可求得=0.2，对应桌长为 L=142.12cm（平板材料为矩形）。 当钢筋的横坐标 b 变化时，对应着不同的桌脚边缘线形状。如图（13）（程序见附录）， b=53 时，为最外边图像（蓝色）；b=43 时，为中间图像（绿色）；b=33 时，为最内边 图像（红色）。 客户可根据自己的喜好定制不一样的桌脚边缘线形状： 12 图 13 设计加工参数为 L=142.12cm、=0.2 及 b（由客户需求所定）。 3.23.2 几何动态图几何动态图 13 六、 模型的优化 1.1.对于问题二中对于问题二中值得改进（程序见附录）值得改进（程序见附录） 在第二问求角度的问题中，是由欧洲标准，通过受力分析得到力学方程式，并对驱动 力矩和制动力矩的乘积多次求导，通过观察两积导数的变化得到的观察值，在求解过 程中只考虑了两个力矩的关系，即只考虑了稳定性的问题，故我们把问题二中模型进行 改进，即采用综合分析法，通过引入一个综合指数 E 来对用材和稳定性进行综合评估， 设为木条的长度，M1 为驱动力矩，M2 为制动力矩，故 2 10 40 E M ML （28） 由上面的求解可以得到： 2*)( 100 alL cos 0 h l （29） 156 2 1 2 1 yRa （30） )(tan*h-5-R*200M1（31） )tan(*(*10*6 . 0*3*80*M 1 2 02 haL （32） 通过上式可得：E 与的关系式， 14 )tan(*(*10*6 . 0*3*80* )tan(*5(*200 40 2*) cos h ( E 1 2 0 1 haL hR a （33） 当 0 L 越小， M1 与 M2 的比值越小， 即 E 取最小值时， 对应的角最合适， 通过 Matlab 编程（程序见附录）求解，可以得到对应的为 2 . 19。此值与问题二中所求 9 . 18 相差 3 . 0。偏差率为%5 . 1%100* 9 . 18 3 . 0 。 故证明了值具有较可靠的科学性和正确性。 2.2.问题二中的问题二中的角范围的改进角范围的改进 上述第二个问题的模型中，考虑了桌子是否会在竖直面内失稳的（桌子绕两个脚腿 发生旋转失稳），未考虑地面摩擦问题，以及桌面在均匀受力下的情况和桌子是否会在 水平面内失稳（桌子的四个腿向外划开）故提出以下模型对原模型进行优化， 模型：空间力系的平衡模型；临界条件； 理论力学知识； 为简化问题，我们做出以下假设： 1. 每一个木条都均匀受力，即每根木条受到的力为20 F ，木条的每一端受力为40 F 。 2. a(i)是第 i 根木条与竖直方向的夹角； 3. b(i)是第 i 根木条在桌面长度的 1/2； b(i)= x(i)2-240 ;(x(i)=2,6,10,14,1838) 4. 转轴与木条的摩擦力忽略不计; 5. 地面与木头的摩擦因数 u=0.5； 6. 木料的自身重量忽略不计； 由 Auto CAD 2007 软件做出 1 A根木条受力分析图（见图 14）为： 图 14 对第 10 A 根木条的受力分析图（见图 15）如下： 15 图 15 对第一根木条列出方程如下： ; 0) )tan( (*)tan(*(* 40 ; ; 1 0 00100 1 1 1 1 L HFLhFL F FFF FFF fn nyy fxx （34） 其中 8/FFf ; 4/FFn ； cmH67 0 (桌厚为 3cm); 对中间未受地面支持力的木条，由理论力学知识，可以列出以下方程； ; ; 1 1 ii ii yy xx FF FF （35） 又由于 ii yxi FF 11 /)tan( （36） )tan(* )tan( 10 10 L bbL i i （37） 40 F y F （38） 由上述方程联立求解,可得到以下关系式： 7436 . 0 )tan( 1 （39） 可以求出 636.36 1 在求解过程中易得，桌子的稳定性与钢筋的位置没有关系，稳定性唯一取决于桌子 最外面的木条与竖直方向上夹角的大小，在以上的计算中我们假设的是桌子腿与地面的 16 摩擦力取向里的最大值（摩擦力不可能指向桌外，否则不符合功能原理），即为一个临 界情况。 当 a（1）36.636 度时，在这种情况下，桌子发生了自锁现象（桌子开始处于静止 状态，随着 F 的增大，桌腿所受的摩擦力也增大，但水平动力的增长速度比摩擦力增长 速度慢），无论外力有多大，除非桌子发生结构性破坏，桌子一直保持稳定。 由以上原模型求出的结果最优解为 636.36 9 . 18。在上述模型求解的结果范 围之内，说明原模型求解的结果是正确的。 3.3.折叠桌稳定改进方案折叠桌稳定改进方案 为了保证桌子完全支撑时，能够具有更加良好的稳定性，我们建议在每个木条的开 槽末端增加钢筋卡口。具体如下图所示 七、模型的推广及发展前景 通过对题目的解读我们不难发现这是一类规划问题。我们建立了一个多目