2010年全国大学生数学建模竞赛A题全国一等奖论文.pdf

1 数值解法在储油罐变位标定中的应用 摘要 本文主要采用微元分析法、数值积分法和回归分析法，对储油罐油位测量高度H和 燃油体积V建立了模型，即问题一中椭圆型储油罐无变位模型 11 HV,椭圆型储油罐纵 向变位模型 12 HV，问题二中实际储油罐变位模型 2 HV。 对于问题一中的椭圆型储油罐，探究变位对罐容表的影响，先建立无变位时的 VH 模型。以椭圆型储油罐左底面中心为原点，该面为xoy平面，建立空间直角坐标 系。根据简单柱体的体积计算公式，得出无变位初模型。又将由模型得到的体积理论计 算值与所给实际体积数据对比，发现两者大致呈线性关系。将两者进行线性拟合以对初 模型进行修正，最终得到椭圆型储油罐无变位模型 11 VH 。 当储油罐发生纵向变位后，在上面所建坐标系下，用微元分析的思想，以积分的方 法求得假设条件下燃油体积V关于油位测量高度H的解析解。但是由于解的复杂性，很 难由直接积分的方法求得给定H的燃油体积。转而利用数值积分的方法，将积分转化为 若干微元的和，借助 MATLAB 即求得燃油体积，这样就得到了纵向变位模型。将依模型 所求的理论计算值与处理得到的实际值进行对比分析，两者关系走向基本呈线性，于是 对两者进行线性拟合，以缩小误差。最终得到精度较高的修正模型 12 VH ，以此对储油 罐进行重新标定，标定结果参见附录一中的图表一。 对于问题二中的实际储油罐，将其分成左球冠、中间圆柱体和右球冠三部分，参照 问题一建立的空间直角坐标系，利用微元法，分别建立了各部分燃油体积关于油位测量 高度H和参数),(的积分表达式。然后将三部分的燃油体积相加，即得到储油罐内燃 油体积关于变量H和参数、的积分形式解析解),( 2 HV。由于积分表达式十分复 杂，依然利用 MATLAB 数值积分来处理。对于未知参数、，本文用回归分析法和遍 历思想求解。即以较小间隔，从0取到10，让和分别遍历所有的取值点。定义一 个函数 2 2 ( ,)( , , ( )( )FVh kV k ,其中h为附件2中所给的部分H数据所组 成的向量，V表示与h一一对应的进（出）油量，求F的最小值，此时对应的),(便 认为是模型中的参数。依据上面方法求得2.1 ,4.45。再由附件2中的其余数据 对模型),( 2 HV进行检验和误差分析，得到相对误差集中在2%以内，验证所建模型 是合理的。 关键词关键词：数值解法 遍历理论 回归分析 微元法 2 1 问题重述 加油站大型储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，罐体的位置会发生纵 向倾斜和横向偏转，从而导致罐容表不能准确反映储油罐内燃油的体积，因此需要求出 纵向倾斜角和横向偏转角度，定期对罐容表进行重新标定。 本文主要解决储油罐的变位识别与罐容表的重新标定问题。 问题一给出一种几何形 状较简单的小椭圆型储油罐，给出了罐体无变位和倾斜角为4.1的纵向变位两种情 况下的数据，要求研究罐体变位后对罐容表的影响，并算出罐体变位后油位高度间隔为 1cm的罐容表标定值。 问题二给出两端为球冠的圆柱形储油罐， 由于两端球冠部分的体积难以测定而且较 为复杂。要求利用罐体变位后在进、出油过程中的实际检测数据，得出罐内储油量与油 位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系，即式 2 ( , ,)VfH 。并根据数据算出、。从而建立H与 2 V的对应关系。 2 问题问题分析分析 储油罐是根据无变位情况下油面高度H与燃油体积V的关系进行标定的， 若要实现 储油罐的变位识别和罐容表标定，就需要建立燃油体积V与油面高度H的数学模型。 问题一： 若要探究发生纵向变位对罐容表的影响，应首先建立无变位和发生纵向变位时，罐 容表标定值与油面高度H分别满足的关系。由变量H计算发生纵向变位后的实际燃油 体积，将其与罐容表的标定值进行比较，分析变位对罐容表的影响。由此，需要分别建 立无变位情况下和发生纵向变位情况下，储油罐内燃油体积V与油面测量高度H的模 型。利用几何知识和微积分的理论，可以很容易建立无变位情况下的模型。对于发生纵 向变位，可以用微元分析法，分情况计算储油罐内的实际燃油体积。得出模型后，对模 型计算所得数据与题目所给数据进行比较，分析误差，加以改进。 问题二： 问题二要求对这种两边是球冠体， 中间为柱体的实际储油罐建立燃油体积V与油面 测量高度H的数学模型。 由于这种储油罐的形状比椭圆型储油罐复杂， 而且又发生了、 的纵向倾斜和横向偏转，处理起来比较麻烦。可以将这种实际储油罐分为左球冠、中 间圆柱体和右球冠三个部分，对油面测量高度为H的情况下，分别计算三个部分内燃油 的体积，然后将其求和即为储油罐内燃油体积。可以采用微元法分别建立三部分内燃油 体积与油面测量高度H的模型，不过要考虑H取不同范围内的值时，体积求解方法可 能不同。如果积分形式过于复杂，可以考虑采用积分的数值算法，用和逼近。考虑到模 型建立时，参数和是未知的，可以用回归分析的方法，求得使理论计算值与实际值 3 之间整体误差最小的和。可以用遍历思想，设定两参数的取值范围，逐一代入模型 计算比较。模型确立后，用题目附件二中的其余数据对模型进行检验，分析误差，思考 改进方法。 3 模型假设 1.储油罐的形状为标准几何意义上的几何体。 2.假设发生变位时，纵向倾斜角度和横向偏转角度都很比较小，控制在10以内。 3.假定燃油是不可压缩的，且体积不受温度和压强等外界物理因素的影响。 4.进出油口壁是光滑的，即油位探针与进出油口壁不存在摩擦。 5.假设储油罐内部装置体积的体积可以忽略。 4 模型的建立与求解 4.1 问题一模型的建立与求解 符号说明： :()Hmm显示油位高度 1: ()Lmm小椭圆型储油罐的长度 :()amm椭圆的长半轴 :()bmm椭圆的短半轴 :()hmm横截面内油面的高度 2 :()Smm横截面中燃油所占的面积 3 11: ()Vm椭圆型储油罐没变位的情况下内部燃油的体积 ）的体积（椭圆型储油罐内部燃油无变位时经模型修正后 3 11: mV 3 12: .1()Vm椭圆型储油罐发生纵向变位4之后储油罐内燃油的体积 3 12: .1()Vm纵向变位4时模型修正后储油罐内燃油的体积 4.1.1 无变位时椭圆型储油罐的 H-V 模型 考虑椭圆型储油罐在没有发生变位的情况下， 储油罐内燃油的体积和显示的油位高 度之间的关系模型。 为使计算和表述起来更加方便， 我们以椭圆型油罐的左侧底面椭圆中心为坐标轴原 点，以椭圆型油罐左侧底面所在平面为 xoy平面，建立空间直角坐标系。沿 y 轴负方向 和 z 轴正方向分别作截面图，如图一、图二。 z x x o 图一 椭圆型油罐沿y负方向截面图 x y 油位高度 o b a 图二 椭圆型油罐沿z轴正方向截面图 4 无变位时，燃油所占储油罐部分是一柱体。根据柱体体积等于底面积与高之积的计 算方法，求解高度为H时的燃油体积。为此，先计算燃油高度为H时沿z轴截面的面积 S。 经过积分化简， 得到S的最终表达式(1.1.1) 1。 （详细计算过程参见附录 1 积分过程） 2 2 21 h b b x Sadx b )arcsin(2sin( 22 )arcsin( b bhabab b bh abS (1.1.1) 此时，椭圆型油罐内燃油的体积为 1111 arcsin()sin2arcsin() 22 hbababhb VSLabL bb (1.1.2) 这样就建立了无变位时椭圆型储油罐的 11 VH 模型。 根据附件一中无变位进油和无变位出油两个表格中所给的数据，简单处理 后，对 11 VH 模型进行检验。按照 11 VH 模型，利用 MATLAB 输出对应于输入 H 的理论 计算值（程序见附录 2 程序 1） 。将所得的数据与两表格中所给的实际测量值进行对比， 如图三： 图三： 无变位时储油罐内燃油体积理论计算值与实际测量值对比 由图可知，依据 11 VH 模型得到的理论计算值存在误差。为提高模型的精确度，缩 小误差，下面要对理论计算值与实际测量值进行分析。 5 图四：无变位时理论计算值与实际测量值关系图 由图四发现理论计算值和实际测量值大致呈线性关系。用 MATLAB 中的 polyfit 函 数对数据进行线性拟合，得到系数0.9663和0.0011，即 0011. 09663. 0 11 11 VV 以此对 11 VH 模型进行修正，得到无变位时的 11 VH 模型 111 0.9663arcsin()sin2arcsin()0.0011 22 hbababhb VabL bb 1.1.3（） 4.1.2 发生纵向变位时椭圆型储油罐的 H-V 模型 在椭圆型储油罐发生纵向 o 1 . 4变位后，罐容表显示体积与实际体积不符。现建 立纵向变位 o 1 . 4角时，椭圆型储油罐的 12 HV模型。采用微积分的方法计算储油罐 内燃油的体积。在储油罐上取一小段燃油进行分析，如图五。则有SdzdV ，对两边进 行积分即可。由(1.1.1)式可计算S。 dz z轴 x轴 油 油浮子 出油管 油 位 探针 注油口 水平线 2.05m 17cm 0.4m 1.2m 图五图五：小椭圆型油罐形状及尺寸示意图：小椭圆型油罐形状及尺寸示意图 6 0 1200 400 tan H z 当H处于图五中所表示的不同范围内时，z的积分上下限不同，由此分五种情况 对 12 V的计算进行讨论： ：当油面在图五中线和线之间时，即当02050tanmmHmm时，任意一点z 对应的油面高度为h， 由几何关系可求得)400(tanzHh， 储油罐内燃油的体积为： 400 tan 12 0 arcsin()sin2arcsin() 22 H hbababhb Vabdz bb (1.2.1) 将h代入(1.2.1)式即求得此种情形下的体积。 ：当油面在图五中线和线之间，2050tanmm1200400tanHmm， )400(tanzHh，储油罐内燃油的体积为 2450 12 0 arcsin()sin2arcsin() 22 hbababhb Vabdz bb (1.2.2) ：当油面在图五中线和线之间，即1200400tanmm1200Hmm时，为简便 起见，先求储油罐内空气体积，再用储油罐的总体积减去空气体积，即得储油罐内燃油 的体积。取中间任意一点做垂直于z轴的截面，可得到空气部分的高度 Hzh1200tan400tan ，积分下限为 燃油的体积为 2450 1200 121 400 tan arcsin()sin2arcsin() 22 H hbababhb VabLabdz bb (1.2.3) ：当油面在图五中线和线之间，即1200Hmm时，此时储油罐内燃油的体积介 于第种情况下储油罐内燃油体积的上限和整个储油罐总体积之间，即 121 4012.74LVabL ：当油面在图五中线以下，即0H mm时，由于显示油面高度为0，所以只能得到 此时储油罐内燃油体积的上限，此上限可在第种情况中得到。得 12 01.6749LV 上述五种情况的公式在求解的过程中，发现无法通过积分得到准确的解析解，因此 转用 MATLAB 求数值解（详细的 MATLAB 程序参见附录 2 程序二） ，输入变量为显示油面 的高度()H，输出的为椭圆型油罐内实际的燃油的体积 12 ()V。 4.1.3 罐体变位后对罐容表的影响 根据附件一中倾斜变位进油和倾斜变位出油两个表格中所给的数据，利用 4.1.2建立的 12 HV模型，计算出理论上储油罐内燃油的体积，和附件一中所给的实际 测量值作对比，如图六 7 图六：储油罐倾斜时理论计算值与实际测量值对比 由图六知，理论计算值和实际测量值之间存在较大的误差，由 MATLAB 计算出理论 计算值相对于实际测量值最大的相对误差为4.57%，且两者之间呈线性关系，如图七 图七：倾斜时理论计算值与实际测量值关系图 为使 12 HV模型更加精确，用 MATLAB 中的 polyfit 函数对数据进行拟合，得相应 的两个系数为0.9991和75.2645。以此对 12 HV模型进行修正，得到有变位时的 12 HV 模型： 1212 0.999175.2645VV 利用 11 HV模型和 12 HV模型， 分别得到储油罐显示体积数与实际体积数的曲线对 比，如图八。 8 图八 变位后储油罐显示体积与实际体积对比 由图八可知，变位后罐容表示数明显偏大。对显示体积数和实际体积数分析，得到 两者之间相对误差最大为23.43%。根据 12 HV模型，对储油罐罐容表进行重新标定， 标定值参见附录 1 图表一。 4.2 问题二模型的建立与求解 符号说明 3 2: ()Vm圆型储油罐发生纵向和横向的变化后，储油罐内燃油的体积 3 21: ()Vm圆型储油罐发生纵向和横向变化后，储油罐左球冠体内燃油的体积 3 22: ()Vm圆型储油罐发生纵向和横向变化后，储油罐圆柱体部分内燃油的体积 3 23: ()Vm圆型储油罐发生纵向和横向变化后，储油罐右球冠体内燃油的体积 :()Hmm显示油位高度 :()hmm横截面内油面的高度 2 :()Smm横截面中燃油所占的面积 :()Rmm圆型储油罐圆柱体部分横截面的半径 :()rmm圆型储油罐球冠体部分横截面的半径 4.2.1 建立罐体变位后 2 ( , ,)VfH 模型 坐标系建立方法同问题一。 分析横向变位影响 9 如图九，横截面上对应的实际油面高度 1 H和显示油面高度H的关系为 1 ()cosHRRH (2.1.1) 分析纵向变位影响 此时是在考虑过纵向变位影响进行讨论的， 即所用的油面高度 1 H是经过(2.1.1)式变 换得出的。 将燃油体积的计算分左球冠、中间圆柱体和右球冠三部分解决。 中间圆柱体 问题一中，储油罐侧面是椭圆形，问题二中，储油罐圆柱体部分侧面是圆形，其计 算方法类似问题一。 O z x 图十：实际储油罐纵截面示意图 R x y o 1 H H 图九：横向变位影响示意图 垂 线 10 图十一：中间圆柱体部分横截面 油面高度下横截面的面积计算方法与 12 HV模型相似： 2 2 21 h R R x SRdx R 22 2 arcsin()sin2arcsin() 22 hRRRhR R RR 下分五种情况进行讨论 ：当油面在图十中线到线之间，即 1 06000tanmmHmm时，油面高度为h的 截面的z轴坐标为： z轴的积分下限为0， 积分上限为： 圆柱体部分燃油体积为： 1 2000 tan 22 0 H VSdz 1 22 2000 2 tan 0 arcsin()sin2arcsin() 22 H hRRRhR Rdz RR ：当油面在图十中线到线间，即6000tanmm30002000tanHmm时，油 面高度为h的截面的z轴坐标为 1 2000 tan Hh z 积分下限为0mm，积分上限为8000mm，圆柱体部分燃油体积为 8000 22 0 VSdz 22 8000 2 0 arcsin()sin2arcsin() 22 hRRRhR Rdz RR 1 2000 tan Hh z 1 2000 tan H 11 ：当油面在图十中线到线之间，即30002000tanmm3000Hmm时， 油面高度为h的截面z轴坐标为 1 3000 2000 tan Hh z 积分下限为 1 3000 2000 tan H mm，积分上限为8000mm，则圆柱体内燃油的体积 1 8000 3000 22 2000 tan H VSdz 1 22 8000 2 3000 2000 tan arcsin()sin2arcsin() 22 H hRRRhR Rdz RR ：当油面在图十线到线之间，即 1 3000H mm时，圆柱体部分燃油体积大于 1 3000H mm时圆柱体部分燃油体积，小于圆柱体部分总的容积。 ：当油面在图十线以下，即当0Hmm时，圆柱体部分燃油体积上限为油面达到 0Hmm时燃油的体积。 左球冠 考虑左球冠内燃油体积时，分两种情况来讨论。情形一：燃油液面从进入左球冠到 液面到达球冠中心对应的水平面过程（即图十二、之间） 。情形二：燃油液面超过 球冠中心对应的水平面时，会出现一个球帽形状的几何体，需要单独计算。 由几何关系，得到左球冠的方程 2222 (625)1625xyz (2.2.1) 油面在xz平面内的直线方程为 1 tan2000tanxzHR (2.2.2) ：当油面在图十二线到线之间，即0mm 1 (15003000tan)Hmm时， 由 (2.2.1)和(2.2.2)式求得左球冠面与油面在xz平面内直线的交点纵坐标为 01 z，以 01 z为 积分下限，积分上限是 0mm。油面高度为h的横截面，其z轴坐标与h的关系为 x z x 图十二：左球冠示意图图十二：左球冠示意图 12 22 1 (2000)tan15001625(625)hzHz 横截面的半径r满足关系式 22 1625(625)rz 此横截面在油面下的面积为 此时相应的左球冠内燃油的体积为 ：当油面在图十二线到线之间，即 (1500 3000tan )mm 1 (30002000tan)Hmm时，油面左端部分高于yz平面， 左球冠内燃油体积就分成两部分来考虑。 第一部分（记为 211 V）和中的情况相似，即积分下限为 01 z，积分上限为0，所以 第二部分（记为 212 V）为一个规则的球冠，积分的下限为1000mm，积分上限为 01 z， 积分表达式为 01 2 212 1000 z Vr dz 01 22 1000 1625(625) z zdz 左球冠内燃油总体积为： 21211212 VVV ：当油面在图十二和之间，即当 1 (30002000tan)Hmm时，左球冠内充满燃 油，燃油体积等于左球冠体积，即为： ：当 1 0Hmm时，左球冠内燃油体积小于一个常数，这个常数可以从第种情况下 令 1 0Hmm得到。 右球冠 22 2 arcsin()sin(2arcsin) 22 hrrrhr Sr rr 01 0 21 z VSdz 01 22 0 2 arcsin()sin(2arcsin) 22 z hrrrhr rdz rr 01 22 0 2 arcsin()sin(2arcsin) 22 z hrrrhr rdz rr 01 0 211 z VSdz 0 2 21 1000 Vr dz 0 22 1000 1625(625) zdz 13 讨论方法与左球冠类似。 ：当油面在图十三中线以下时，即06000tanmmHmm 对应的右球冠内燃油的体积为： 3 23 0Vmm ：当油面在图十三中的线和线之间时，即 6000tanmm(15007000tan )Hmm 右球冠面的方程为： 2222 (7375)1625xyz (2.3.1) 油面在xz平面中的投影的直线方程为 1 tan2000tanxzHR (2.3.2) 以(2.3.1)和(2.3.2)式解得油面与右球冠面在xz平面中交点的z轴坐标， 记为 02 z， 02 z为 积分上限，积分下限为8000mm。横截面的油面高度h与其z轴坐标之间的关系为 22 1 1625(7375)(2000)tan1500hHzz 此圆截面的半径r与相应的z轴坐标关系为： 22 1625(7375)rz 此圆截面在油面以下的面积为 22 2 arcsin()sin(2arcsin) 22 hrrrhr Sr rr 右球冠内燃油体积为 02 23 8000 z VSdz 02 22 2 8000 arcsin()sin(2arcsin) 22 z hrrrhr rdz rr ：当油面在图十三线之上，即(15007000tan )Hmm时，类似于左球冠的第 种情形，右球冠内燃油体积分成两部分计算。 第一部分的计算公式为： z x 图十三：右球冠示意图图十三：右球冠示意图 14 02 22 2 231 8000 arcsin()sin(2arcsin) 22 z hrrrhr Vrdz rr 第二部分的燃油体积的计算公式为： 02 9000 22 232 1625(7375) z Vzdz 右球冠燃油总体积为： 23231232 VVV 4.2.2 2 ( , ,)VfH 模型的求解 通过以上讨论建立了实际储油罐内燃油体积 2 V与纵向倾斜角度、 横向偏转角度 以及油面高度H之间的 2 ( , ,)VfH 模型，、为待定参数，采用遍历思想以及回 归分析方法求出、。 编写程序 V21 用于计算左球冠内燃油的体积（参见附录 2 程序 3） ，V22 用于计算圆 柱体部分燃油的体积（参见附录 2 程序 4） ，V23 用于计算右球冠内燃油的体积（参见附 录 2 程序 5） ，令在010范围内每隔0.1取值，令在010范围内每隔0.05取值， 构造出101 201个( ,) 组合， 对于每一个( ,) ， 利用附件二中给出的显示油面高度H 前302个数据，依次算出相应的实际储油罐内燃油的体积，相邻数据作差得出理论上的 出油量，将理论出油量和实际出油量作差，求平方和。这样对于每一个( ,) ，就求得 了一个误差平方和，所有误差平方和中的最小值所对应的( ,) 即为 2 ( , ,)VfH 要 确定的变位参数。 利用 MATLAB（具体程序参见附录 2 程序六）可计算得到变位参数为： 2.1 ,4.45 4.2.3 罐容表标定 由上面求得的2.1 ,4.45，代入 2 ( , ,)VfH 得 2 ()Vf H，, 作为确定 值，只要给出H的数据就可以得到相应的实际储油罐内燃油体积，利用 MATLAB 可计算 得到相应的罐容表标定值表如下： 显示油位高度/cm 储油罐内燃油体积/L 0 上限 46.0346 10 355.9042172 20 1069.546373 30 2229.359607 40 3710.468609 50 5441.535322 60 7381.100697 70 9498.191191 80 11767.35589 90 14166.50397 100 16675.75906 15 110 19276.77595 120 21952.29689 130 24685.84308 140 27461.48683 150 30263.67184 160 33077.06692 170 35886.43098 180 38676.50932 190 41431.83874 200 44136.68993 210 46774.90759 220 49329.68869 230 51783.0795 240 54115.85564 250 56307.89802 260 58334.34135 270 60168.16448 280 61773.35325 290 63097.6556 300 64028.83635 4.2.3 模型的正确性与可靠性检验 由上面求得的2.1 ,4.45， 代入 2 ( , ,)VfH 得 2 ()Vf H，, 作为确定 值，用 MATLAB 将附件二中的后300个显示油高数据，代入模型 2 ()Vf H，得到理论上 燃油的体积，相邻数据相减得出理论出油量 2( ) V i，并与实际的出油量 2( ) O i，作相对 误差分析，如图十四，相对误差集中在2%以内。 相 对 误 差 图十四：模型的检验相对误差 16 5 误差分析及模型评价 误差分析： 1油位探针、油浮子、进出油管等都有一定的体积，这部分体积不能计入燃油体积。 2附件一数据采集时间从上午 10:32 持续到下午 16:57，期间有明显的温度变化，温度 变化必然引起体积的变化。 3.在进出油的过程中，油位探针与进出油口壁之间存在摩擦。 4.分子之间有间隙，1升燃油加1升燃油的总体积并非两体积的简单加和。 5.由于工艺上的油罐并非几何意义上的卧式球冠油罐， 且其形状可能会因地基变形而改 变。 模型评价 利用积分的数值算法时，我们使用的是最基本的数值积分方法，来逼近体积的真实 值。为了提高数值积分的准确度，可以使用梯形法或者三阶龙格库塔法，但是在遍历 （ ， ）过程中，这将大大增加计算机运算的负担，得出结果较慢。因此权衡之下，可 以只考虑使用精确度已经比较高的基本数值积分方法。 参考文献 1闽发龙，实用油罐体积的计算研究，南方农机，2008 年第 3 期。 2林城森，数值分析，北京：科学出版社，2007 年 1 月。 3 国家技术监督局，JJG_266-1996_卧式金属罐容积检定规程，卧式金属罐容积。 4徐金明、张孟喜、丁涛，MATLAB 使用教程，北京：清华大学出版社、北京交通 大学出版社，2005 年 7 月。 17 附录 附录 1： 积分过程： 2 2 21 h b b x Sadx b 1 2cos(sin ) h b b abd arcsin() arcsin( 1) 1 cos2 2 2 h b b abd arcsin()arcsin() arcsin( 1)arcsin( 1) 1 cos2 2 h bh b bb abdabd arcsin()arcsin( 1)sin2arcsin()sin2arcsin( 1) 2 hbabhb ab bb arcsin()sin2arcsin() 22 hbababhb ab bb 图表一：罐体纵向变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值 显示油面高度/cm 燃油的体积/L 显示油面高度/cm 燃油的体积/L 0 1.674930219 61 1808.246989 1 3.534136628 62 1851.591601 2 6.267865174 63 1894.971909 3 9.980513399 64 1938.375646 4 14.7635551 65 1981.790563 5 20.69971682 66 2025.204425 6 27.86475959 67 2068.604992 7 36.32870562 68 2111.980014 8 46.15672632 69 2155.317219 9 57.40981049 70 2198.604302 10 70.14528217 71 2241.828913 11 84.41721189 72 2284.978647 12 100.2767499 73 2328.041034 13 117.7724005 74 2371.003522 14 136.9502514 75 2413.853473 15 157.8479058 76 2456.578142 16 180.2908224 77 2499.164669 17 204.0332047 78 2541.600067 18 228.942469 79 2583.8712 19 254.9227687 80 2625.964778 20 281.8975588 81 2667.867332 21 309.8026557 82 2709.565204 18 22 338.5825932 83 2751.044525 23 368.1884274 84 2792.291198 24 398.576295 85 2833.290874 25 429.7064091 86 2874.028934 26 461.5423281 87 2914.490465 27 494.050405 88 2954.66023 28 527.1993619 89 2994.522641 29 560.9599529 90 3034.061732 30 595.3046936 91 3073.26112 31 630.2076383 92 3112.103969 32 665.6441972 93 3150.572949 33 701.5909813 94 3188.65019 34 738.0256726 95 3226.317229 35 774.9269112 96 3263.554951 36 812.2741999 97 3300.343527 37 850.04782 98 3336.662333 38 888.2287579 99 3372.489871 39 926.7986408 100 3407.803665 40 965.7396797 101 3442.580149 41 1005.034618 102 3476.794532 42 1012.368 103 3510.420639 43 1048.560076 104 3543.430721 44 1089.070429 105 3575.795227 45 1129.854715 106 3607.482523 46 1170.898072 107 3638.458541 47 1212.185929 108 3668.686335 48 1253.703984 109 3698.125506 49 1295.43818 110 3726.73143 50 1337.374685 111 3754.454194 51 1379.499875 112 3781.237056 52 1421.800314 113 3807.014064 53 1464.262738 114 3831.706035 54 1506.87404 115 3855.212634 55 1549.621254 116 3877.39066 56 1592.491541 117 3897.80