2000-数学三真题、标准答案及解析77399.pdfVIP

2000 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析经济数学三试题详解及评析 一、 填空题一、 填空题 （1） 设, xy zfxyg yx =+ 其中, f g均可微，则 z x = _. 【答答】 12 2 1 . y yffg xx + 【详解详解】 212 22 11 . zyy fyfgyffg xyxxx =+ =+ （2） 设 2 1 xx dx ee + = + _ 【答答】 . 4e 【详解详解】 () 2222 111 1 arctan 0 x x xx xx dxe dxdtt et eeetee ee + + = + + 1 244ee = （ 3 ） 已 知 四 阶 矩 阵A与B相 似 ； 矩 阵 为A的 特 征 值 1 1 1 1 , 2 3 4 5 则 行 列 式 -1 B - E=_. 【答答】 24 【详解详解】 因为A与B相似， 而相似矩阵有相同的特征值， 所以B得四个特征值 1 1 1 1 , 2 3 4 5 又由0, ii Bx =x,有( ) -1 1 1 i xx = B - E，可见矩阵B - E有特征值 1 1 i ，即 1，2， 3，4.从而有行列式 -1 B - E=123424 （3） 设随机变量 X 的概率密度为 ( ) 1 , 0,1 , 3 2 , 3,6 , 9 0, x f xx = 其他 若k使得 2 , 3 P Xk=则k的取值范围是_ 梦飞翔考研论坛（发布各大考研机构权威资料） 第 113页梦飞翔考研论坛（发布各大考研机构权威资料） 【答答】 1,3 【详解详解】 由题设 2 , 3 P Xk=知道 21 1, 33 P Xkafaf且 (D) 0)(0)( f，但 2 )(xxf=在点1=x处可导， 排除（C） ； 同样， 2 )(xxf=在点1=x处，0) 1 (f，0) 1 ( f,但 2 )(xxf=,在点1x= 处可导,排除(D). 剩下(B)为正确选项.事实上,当(B)成立,即( )0f a=且( )0fa时,有 ( )( )( ) limlim( ) , xaxa f xf af x fa xaxa = = ( )( )( ) limlim( ) . xa xa f xf af x fa xaxa + + = = 可见当( )0fa时, )(xf在点ax =处的左、右导数不相等,因此导数不存在. 故( )0f a=且( )0fa是)(xf在点ax =处不可导的充分条件. （3）设 123 ,a a a是四元非齐次线形方程组AX = b的三个解向量，且秩 (A)=3, 1 (1,2,3,4)T=a, 23 (0,1,2,3)T+=aa,c 表示任意常数，则线形方程组 梦飞翔考研论坛（发布各大考研机构权威资料） 第 313页梦飞翔考研论坛（发布各大考研机构权威资料） bAX =得通解=X (A) + 1 1 1 1 4 3 2 1 c (B) + 3 2 1 0 4 3 2 1 c (C) + 5 4 3 2 4 3 2 1 c (D) + 6 5 4 3 4 3 2 1 c 【 】 【答答】 （C） 【详解详解】. 由题设,r (A)=3, 可见对应齐次线性方程组的基础解系所包含的解向量的个 数为 4-3=1,即其任一非零解均可作为基础解系. 又根据解的性质知 1231213 2()()()(2,3,4,5)0 T +=+= 为对应齐次线性方程组的解,即可作为基础解系,从而线性方程组b=Ax的通解为 1 212 323 . 434 545 xcc =+=+ 故正确选项为(C) （4） 设 A 为 n 阶实矩阵， T A是A的转置矩阵， 则对于线性方程组 （） ：0=Ax和 （） 0 T =x Ax，必有 （A） （）的解都是（）的解， （）解也是（）的. （B） （）的解都是（）的解，但（）解不是（）的. （C） （）解不是（）的， （）的解不是（）的解 （D） （）解是（）的，但）的解不是（）的解 【 】 【答【答】 （A） 【详解详解】 设x是0=Ax的解，则显然 T A为0=Ax，即（）解是（）的；反过来， 设x为0 T =x Ax的解，即 T A为0=Ax，则有 () ()0, T TT =x A AxAxAx 从而可以推出0=Ax. 梦飞翔考研论坛（发布各大考研机构权威资料） 第 413页梦飞翔考研论坛（发布各大考研机构权威资料） 因为若设() 12 , T n a aa=?Ax,则() () 222 12 0, T n aaa=+=?AxAx 于是有 12 0, n aaa=? 即0=Ax，说明（）的解也是（）的解.故正确选项为(A) （5）在电炉上安装 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两 个温控器显示的温度不低于临界温度 0 t，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电” ，设 )4()3()2()1 ( TTTT为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于事 件 (A) 0)1 ( tT . (B) 0)2( tT. (C) 0)3( tT . (D) 0)4( tT . 【 】 【答答】(C) 【详解详解】. “电炉断电”这一事件E发生,意味着四个温控器至少有两个显示的温度值大 于或等于 0 t,即若将4个温控器上的值 (1)(2)(3)(4) ,TTTT从小到大排列的话,排在第3的温度 值一定大于或等于 0 t,即有 0)3( tT,故正确为(C). 三三、 （本题满分 6 分） 求微分方程 2 20 x yye=满足条件(0)0,(0)1y y =的解. 【详解详解】 对应齐次方程20yy=的特征方程为 2 20.= 其特征根为 12 0,2=对应的齐次方程的解为 2 12 . x yCC e=+ 由于 2 2a=为单根，因此可设非齐次方程的特解为 2 . x yAxe = 将( )()()() 22 2,41. xx yAAx eyAx e =+=+ 将(0)0,(0)1y y =代入通解，求得 12 31 ,. 44 CC=从而所求满足初始条件的特解为 22 311 . 442 xx yexe=+ 四四、 （本题满分 6 分） 梦飞翔考研论坛（发布各大考研机构权威资料） 第 513页梦飞翔考研论坛（发布各大考研机构权威资料） 计算二重积分 22 222 , 4 D xy d axy + 其中D是由曲线() 22 0yaaxa= +和直线 yx= 围成的区域. 【详解详解】 积分区域如下图所示，在极坐标下，有 (),|0,02 sin, 4 Drra = 于是 222 2 sin 4 22220 4 . 44 a D xyr Idddr axyar + = 令2 sinrat=，于是 () 00 22 0 44 1 21 cos22sin2 2 Idat dtad = + 2 2 1 . 162 a = 五五 、 （本题满分 6 分） 假设某企业在两个相互分割的市场上出手同一种产品，两个市场的需求函数分别是 11 218Qp=， 23 212Qp=，其中 21, p p分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万 元/顿） ， 21 QQ 和分别表示改产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：顿） ，并且该企业生 产这种产品的总成本函数是52+=QC，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即 21 QQQ+= （1） 如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场该产品的销售量和价格，使该 企业获得最大利润； （2） 如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上改产品的销售量及其统一 的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种策略的总利润大小。 梦飞翔考研论坛（发布各大考研机构权威资料） 第 613页梦飞翔考研论坛（发布各大考研机构权威资料） 【详解详解】 (1) 根据题意,总利润函数为 1122 (25)LRCpQp QQ=+ 22 1212 216105.QQQQ= + 令 1 2 1 2 4160 , 2100 Q Q LQ LQ = += = += 解得 12 4,5,QQ=对应 1 10p=(万元/吨), 2 7p= (万元/吨). 因驻点(4,5)唯一,且实际问题一定存在最大值,故最大值必在驻点处达到,相应最大利润为 22 2 4516 4 10 5552L= + + =(万元). (2) 若实际价格无差别策略,则 12 pp=,于是有约束条件 12 26.QQ= 构造拉格朗日函数 22 12121212 (, )216105(26).F Q QQQQQQQ= + + 令 1 2 3 1 2 12 41620 2100 260 Q Q Q FQ FQ FQQ = += = += = 解得 12 5,4,2,QQ=对应 12 8pp=. 最大利润 22 2 5416 5 10 4549L= + + =(万元). 由上述结构可知,企业实行差别定价,所得利润总要大于统一价格的利润. 六、六、 （本题满分 7 分） 求函数 x exy arctan 2 ) 1( + = 的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线. 【详解详解】 因为 2 arctan 2 2 ; 1 x xx ye x + + = + 令0,y=得驻点 12 0,1.xx= 列表讨论如下: x (, 1) 1 ( 1,0) 0 (0,)+ 梦飞翔考研论坛（发布各大考研机构权威资料） 第 713页梦飞翔考研论坛（发布各大考研机构权威资料） y + 0 0 + y 极大值 极小值 由此可见,递增区间为(, 1),(0,); +递减区间为( 1,0). 极小值为 2 (0);fe= 极大值为 4 ( 1)2.fe= 又因为 111 ( ) lim,lim ( )2, xx f x aebf xa xe x = 222 ( ) lim1,lim ( )2, xx f x abf xa x x = 故所求渐近线为 11 (2),ya xbex=+= 以及 22 2.ya xbx=+= 七、七、 （本题满分 6 分） 设 4 0 sincos,0,1,2, n n Ixxdx n = ?求 0 . n n I = 【详解详解】 因为 () 1, 1 4 0 112 sincossin4 112 0 n n n n Ixxdxx nn + + = + 所以 1 000 1212 . 122 nn nn nnn II nn + = = + 考虑幂级数( ) 1 , n n x S x n = =其收敛区间为()1,1，则有 ( ) 1 1 1 , 1 n n Sxx x = = 于是( )( )( ) 00 1 0ln 1, 1 xx S xSSx dxdxx x =+= 令() 2 1,1 , 2 x= 得 () 11 1222 ln 1ln 22 . 222 n n ni IS n = = =+ 八、八、 （本题满分 6 分） 梦飞翔考研论坛（发布各大考研机构权威资料） 第 813页梦飞翔考研论坛（发布各大考研机构权威资料） 设函数)(xf在, 0上连续，且0)( 0 = dxxf，0cos)( 0 = xdxxf 试证明：在), 0(内存在两个不同的点 21, ，使0)()( 21 =ff 【详解详解】 令 0 ( )( ),F xf t dt= 则有(0)( )0.FF=又因为 00 0( )coscos( )f xxdxxdF x= 0 0 ( )cos( )sinF xxF xxdx=+ 0 ( )sin.F xxdx= 令 0 ( )( )sin,G xF ttdt= 则(0)( )0,GG= 于是由罗尔定理存在(0, ),使 ( )( )sin0.GF= 因为当(0, ),sin0,所以有( )0F=.这样就证明了 (0)( )( )0.FFF= 再 对( )F x在 区 间0, , , 上 分 别 用 罗 尔 中 值 定 理 知 , 至 少 存 在 ()() 12 0,. 使 12 ( )()0,FF=. 即 12 ( )()0ff= 九、九、 （本题满分 8 分） 设向量组 1 ( ,0,10)Ta= ， 2 ( 2,1,5)T= ， 3 ( 1,1,4)T= ，(1, , )Tb c= ，试问：当 a,b,c 满足什么条件时， （1） 可由 123 , 线性表出，且表示唯一？ （2） 不可由 123 , 线性表出？ （3） 可由 123 , 线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式。 【详解详解 1】 设有一组数 123 ,x x x,使得 112233 ,xxx+= 梦飞翔考研论坛（发布各大考研机构权威资料） 第 913页梦飞翔考研论坛（发布各大考研机构权威资料） 即 123 123 123 21 2 1054 axxx xxxb xxxc = += += 该方程组的系数行列式 21 2114. 1054 a Aa = (1) 当4a 时,行列式0,A 方程组有唯一解, 可由 123 , 线性表出, 且表示唯一. (2) 4a = ,对增广矩阵作初等行变换,有 42112101 21100121, 105400031 b Abb cbc =+ ? ? ? 若31,bc则秩( )( )r Ar A秩,方程组无解, 不可由 123 , 线性表出 (3) 4a = 且31,bc=时. 秩( )( )23r Ar A=? 即当() 1 12 1 n n a aa + ?时，此时二次型() 12 , n f x xx?为正定二次型 . 十一十一、 （本题满分 8 分） 梦飞翔考研论坛（发布各大考研机构权威资料） 第 1113页梦飞翔考研论坛（发布各大考研机构权威资料） 假设 05.50、1.25、0.80、2.00 是来自总体 X 的简单随机样本值.已知lnYX=服从正态分 布(),1N （1） 求 X 的数学期望值 E(X)（记 E(X)为 b） ； （2） 求的置信度为 0.95 的置信区间； （3） 利用上述结果求 b 的置信度为 0.95 的置信区间. 【详解详解】 （1）Y 的概率密度为 ( ) ()2 2 1 , 2 y fyex = + 于是有 ()() ()2 2 22 11 22 yt Yyt bE XE ee edtyteedt + + = ()211 222 y eedte + = . （2） 当置信度10.95=时，标准正态分布对应于0.05=的双侧分位数等于 1.96。 故 1 , 4 YN ,可得参数的置信度为 0.95 的置信区间为 () 11 1.96,1.960.98,0.98 44 YYYY +=+ 其中Y表示总体 Y 的样本均值，有 () 11 ln0.5ln0.8ln1.25ln2ln10, 44 Y =+= 将其代入上式，得的置信度为()0.98,0.98 . （