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基本初等函数知识点总结基本初等函数知识点总结 一、指数函数的概念一、指数函数的概念 （1 1） 、指数函数的定义） 、指数函数的定义 一般地，函数一般地，函数 x ya（0a ，且，且1a ）叫做指数函数，其中叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定是自变量，函数的定 义域是义域是R。 （2 2） 、因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数） 、因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数0a 且且1a 的前提的前提 下，下，xR。 （3 3） 、指数函数） 、指数函数 x ya（0a 且且1a ）解析式的结构特征）解析式的结构特征 1 1、底数：大于、底数：大于0且不等于且不等于1的常数。的常数。 2 2、指数：自变量、指数：自变量x。 3 3、系数：、系数：1。 二、指数函数的图象与性质二、指数函数的图象与性质 一般地，指数函数一般地，指数函数 x ya（0a ，且，且1a ）的图象与性质如下表：）的图象与性质如下表： a 1a 01a 性质性质 定义域是定义域是R，值域是，值域是0 ， 过点过点01 ，即，即0x 时时1y 当当0x 时，时，1y 当当0x 时，时，01y 当当0x 时，时，01y 当当0x 时，时，1y 在在R上是增函数上是增函数 在在R上是减函数上是减函数 三、幂的大小比较方法三、幂的大小比较方法 比较幂的大小常用方法有： （比较幂的大小常用方法有： （1 1） 、比差（商）法； （） 、比差（商）法； （2 2） 、函数单调性法； （） 、函数单调性法； （3 3） 、中间值法：） 、中间值法： 要比较要比较A与与B的大小，先找一个中间值的大小，先找一个中间值C，再比较，再比较A与与C、B与与C的大小，由不等式的的大小，由不等式的 传递性得到传递性得到A与与B之间的大小。之间的大小。 四、底数对指数函数图象的影响四、底数对指数函数图象的影响 （1 1） 、对函数值变化快慢的影响） 、对函数值变化快慢的影响 1 1、 当底数、 当底数1a 时， 指数函数时， 指数函数 x ya是是R上的增函数， 且当上的增函数， 且当0x 时， 底数时， 底数a的值越大，的值越大， 函数图象越“陡” ，说明其函数值增长得越快。函数图象越“陡” ，说明其函数值增长得越快。 2 2、当底数、当底数01a时，指数函数时，指数函数 x ya是是R上的减函数，且当上的减函数，且当0x 时，底数时，底数a的值的值 越小，函数图象越“陡” ，说明其函数值减小得越快。越小，函数图象越“陡” ，说明其函数值减小得越快。 （2 2） 、对函数图象变化的影响） 、对函数图象变化的影响 指数函数指数函数 x ya与与 x yb的图象的特点：的图象的特点： 1 1、1ab时，当时，当0x 时，总有时，总有01 xx ab；当；当0x 时，总有时，总有1 xx ab；当；当 0x 时，总有时，总有1 xx ab。 2 2、01ab时，当时，当0x 时，总有时，总有1 xx ab；当；当0x 时，总有时，总有1 xx ab；当；当 0x 时，时，总有总有01 xx ab。 五、对数的概念五、对数的概念 （1 1） 、对数：一般地，如果） 、对数：一般地，如果 x aN（0a ，且，且1a ） ，那么数） ，那么数x叫做以叫做以a为底为底N的的 对数，记作对数，记作logaxN，其中，其中a叫做对数的底数，叫做对数的底数，N叫做真数。叫做真数。 （2 2） 、常用对数：我们通常把以） 、常用对数：我们通常把以10为底的对数叫做常用对数，为了简便，为底的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对的常用对 数数 10 logN简记为简记为lgN。 （3 3） 、 自然对数： 我们通常把以无理数） 、 自然对数： 我们通常把以无理数e（2.71828e） 为底的对数称为自然对数，） 为底的对数称为自然对数， 为了简便，为了简便，N的自然对数的自然对数logeN简记为简记为lnN。 六、对数的基本性质六、对数的基本性质 根据对数的定义，对数根据对数的定义，对数logaN（0a ，1a ）具有如下性质：）具有如下性质： 1 1、0和负数没有对数，即和负数没有对数，即0N ； 2 2、1的对数是的对数是0，即，即log 10 a ； 3 3、底数的对数等于、底数的对数等于1，即，即log1 aa ； 4 4、对数恒等式：如果把、对数恒等式：如果把 b aN中的中的b写成写成logaN，则，则 logaN aN。 七、对数运算性质七、对数运算性质 如果如果0a 且且1a ，0M ，0N ，那么，那么 （1 1） 、） 、logloglog aaa MNMN； （2 2） 、） 、logloglog aaa M MN N ； （3 3） 、） 、loglog n aa MnM（nR） 。） 。 八、换底公式八、换底公式 设设logaNx， 则， 则 x aN， 两 边 取 以， 两 边 取 以b为 底 的 对 数 ， 则 有为 底 的 对 数 ， 则 有 logloglogloglog x bbbab NaxaNa，又，又log0 ba ， log log log b a b N N a ，由此得，由此得 到对数的换底公式。到对数的换底公式。 换底公式的两个推论：换底公式的两个推论： loglog m n a a n NN m ， 1 log log a b b a 。 九、对数函数九、对数函数 （1 1） 、对数函数的定义） 、对数函数的定义 一般地，我们把函数一般地，我们把函数logayx（0a ，且，且1a ）叫做对数函数，其中）叫做对数函数，其中x是自变量，是自变量， 函数的定义域为函数的定义域为0 ，。 （2 2） 、一个函数是对数函数的条件） 、一个函数是对数函数的条件 1 1、系数为、系数为1；2 2、自变量、自变量x出现在真数的位置上，且出现在真数的位置上，且0x ；3 3、底数、底数0a ，且，且1a 。 （3 3） 、常用对数函数与自然对数函数） 、常用对数函数与自然对数函数 1 1、常用对数函数：以、常用对数函数：以10为底的对数函数为底的对数函数lgyx为常用对数函数。为常用对数函数。 2 2、自然对数函数：以无理数、自然对数函数：以无理数e为底的对数函数为底的对数函数lnyx为自然对数函数。为自然对数函数。 十、对数函数的图象与性质十、对数函数的图象与性质 一般地，对数函数一般地，对数函数logayx（0a ，且，且1a ）图象与性质如下表：）图象与性质如下表： a 1a 01a 性质性质 定义域是定义域是0 ，值域是，值域是R 过点过点10，即，即1x 时时0y 当当1x 时，时，0y 当当01x时，时，0y 当当1x 时，时，0y 当当01x时，时，0y 在在0 ，上是增函数上是增函数 在在0 ，上是减函数上是减函数 十一、幂函数十一、幂函数 一般地，函数一般地，函数yx叫做幂函数，其中叫做幂函数，其中x是自变量，是自变量，是常数。是常数。 十二、幂函数的图象十二、幂函数的图象 幂函数幂函数yx在第一象限的图象特征：在第一象限的图象特征： （1 1） 、） 、1，图象过点，图象过点0 0，11 ，下凸递增，如，下凸递增，如 3 yx。 （2 2） 、） 、01，图象过点，图象过点0 0，11 ，上，上凸递增，如凸递增，如 1 2 yx。 （3 3） 、） 、0，图象过点，图象过点11 ，下凸递减，且向两坐标轴无限逼近，如，下凸递减，且向两坐标轴无限逼近，如 1 yx。 十三、常见的幂函数的性质十三、常见的幂函数的性质 （1 1） 、所有的幂函数在） 、所有的幂函数在0 ，上都有定义，并且图象都通过点上都有定义，并且图象都通过点11 ，； （2 2） 、若） 、若0，则幂函数的图象过原点，并且在区间，则幂函数的图象过原点，并且在区间0 ，上为增函数；上为增函数； （3 3） 、若） 、若0，则幂函数图象在区间，则幂函数图象在区间0 ，上是减函数，在第一象限内，当上是减函数，在第一象限内，当x从右从右 边趋向于原点时，图象在边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近轴右方无限地逼近y轴，当轴，当x趋向于趋向于时，图象在时，图象在x轴上方无轴上方无 限地逼近限地逼近x轴轴； （4 4） 、当） 、当为奇数时，幂函数为奇函数；当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数。为偶数时，幂函数为偶函数。 十四、函数零点的概念十四、函数零点的概念 对于函数对于函数 yf x，我们把使，我们把使 0f x 得实数得实数x叫做函数叫做函数 yf x的零点。的零点。 由函数零点的概念可知，函数由函数零点的概念可知，函数 yf x的零点就是方程的零点就是方程 0f x 的实数根，也就是的实数根，也就是 函数函数 yf x的图象与的图象与x轴的交点的横坐标。轴的交点的横坐标。 十五、函数零点的判定（存在性定理）十五、函数零点的判定（存在性定理） 一般地，如果函数一般地，如果函数 yf x在区间在区间ab，上的图象是连续不断的一条曲线，并且有上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 0f af b，那么，那么，函数函数 yf x在区间在区间ab，内有零点，即存在内有零点，即存在cab，使，使 得得 0f c ，这个，这个c也就是方程也就是方程 0f x 的根。的根。 以上结论称为零点存在性定理，它是判断函数以上结论称为零点存在性定理，它是判断函数 yf x的