关于双曲线教学的几点改进意见

1 / 7 关于双曲线教学的几点改进意见 人教版全日制普通高级中学教科书数学第二册（上）在第八章介绍了“圆锥曲线方程”。在对“双曲线”教学的处理上，笔者有三处改进意见。 一、一个教学实验 对教材第 106 页例 2 的教学，笔者在所任教的两个班做了这样一个实验：在甲班按教材上的解法向学生讲解，不到 10分时间完成该题的讲解；在乙班提前两天布置了这样一道作业题： 解方程组 学生对此方程组的解法有下列 6 种： 解法 1： 由，得 a2 16。 把 a2 16 代入，得 b2 9（下略）。 2 / 7 解法 2： 由，得 0， 即 a2。 把 a2代入，得 b2 9，把 b2 9 代入 a2，得 a216（下略）。 解法 3： 由，得 32b2 9a2 a2b2。 由，得 400b2 81a2 16a2b2。 由 16，得 16b2 9a2 0，即 a2（下略）。 解法 4： 由，得。 3 / 7 把代入，得 1，即 a2 16（下略）。 解法 5：令 m a2， n b2， 则原方程 组化为 （下略）。 解法 6：令 x， y，则原方程组化为 解这个方程组，得 即 a2 16， b2 9（下略）。 当讲到教材第 106 页例 2 时，与学生一起列出方程组 学生看到这个方程组后，联想到两天前所做的作业，他们议论纷纷，有的学生的解法与教材一致，有的学生的解法与教材不一致。 笔者用投影仪显示作业中 6 种不同的解法，学生认真分析 6 种不同的解法。通过一个简单的问题调动了他们学习数学的积极性。笔者没有就此罢休，及时提出对例题解法有没有值得改进的地方，教室一下子就安 静下来4 / 7 了，大家都在积极思考着这个问题。过了一会儿，有的学生就抬起头看着老师，这说明他们已经找到了答案。学生受教材中方程组的启发，认为此题可以直接设所求双曲线方程为my2 nx2 1（ m 0， n 0），这样设计计算量较小。其实当椭圆或双曲线中心在原点且对称轴为坐标轴时，设为 x2by2 1 的形式计算量更小。在乙班完成这一例题的讲解用的时间是甲班的 2 倍，而乙班课堂气氛和学习效果是甲班所不能比的。 在甲班的教学基本上照本宣科，仅用了待定系数法和换元法；而在乙班，除了用待定系数法和换元法，还用了整体代换思 想、加减消元法、消常数法等数学思想方法，更可贵的是，学生受教材解题过程的启示，认为直接设 my2 nx2 1（ m 0， n 0）可使计算量减小。 通过这一实验，可以得到一些有益的启示： 1 可不时将后学内容置前。将学生还没有学到但可以解决的局部问题置前，让他们自己解决，这样做可以充分调动学生的学习积极性，避免教材和教师的局限性，还可以培养学生的创造性思维能力，学生对某些问题的解决，往往可以超出教师的想象。2 要充分重视教材中例题的 教学。当前高中数学教学有一种不良倾向，认为教材中的例习题太容易，而高考题目太难，5 / 7 于是在上新课时，对教材例题讲解不够重视，而是草草了事，然后补充大量较难例题占用课堂时间。其实这样做不可取，教材例题是教材编者精心挑选的，是数学题目的精品，如果不好好利用它们，实在是巨大浪费。对教材例题不深入钻研就不知道它的价值。 3 学生自己能够解决的问题要坚决让学生自己解决。由于学生解决问题的途径多而且有些十分巧妙，如果教师代替学生来解决问题，往往会淹没学生很多好的解法。一定要相信学生是聪明的。 二、双曲线渐近方程的证 明改进 对于双曲线渐近方程的证明，教材采用的是间接法，也可以直接证明。 先取双曲线在第一象限内的部分，这一部分的方程可写为 y（ x a）。 设（ m a）是它上面的点，由点到直线距离公式，可得到直线 y x 的距离 d 6 / 7 。 当 x 逐渐增大时， m 逐渐增大， m逐渐增大，当 m 无限增大， m无限增大， d 接近于 0，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线的下方逐渐接近于射线。 在其他象限内，也可以证明类似的情况。我们把两条直线y x 叫做双曲线的 渐近线。 三、一个例题教学设计的改进 例 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（图 1），它的最小半径为 12 m，上口半径为 13 m，下口半径为 25 m，高 55 m，选择适当的坐标，求出此双曲线的方程（精确到 1 m）（教材第 111 页例 2）。 解：如图 2 建立直角坐标系 x y，使小圆的直径在x 轴上，圆心与原点重合。这时，上、下口的直径、平行于 x 轴，且 13 2，25 2。 7 / 7 设双曲线的方程为 1（ a 0， b 0）， 令点的坐标为（ 13， y1），点的坐标为（ 25， y2），因为点、在双曲线上，所以 1， 1。 又 y1 0， y2 0，所以 y1 b， y2 b。 而 y1 y2 55，所以 b 55， 即 b 25。 从而所