用留数定理计算实积分.ppt

第六章 留数理论及应用,第6.2节 用留数定计算实积分,留数定理的应用-积分的计算:,在数学分析中，以及许多实际问题中，往往要求计算出一些定积分或反常积分的值，而这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；例如,或者有时可以求出原函数，但计算也往往非常复杂，例如,留数定理的应用-积分的计算:,（2）、利用留数计算积分，没有一些通用的方法，我们主要通过例子进行讨论； （3）我们只讨论应用单值解析函数来计算积分，应用多值解析函数来计算积分在课本中有讨论。由于时间的关系，我们不讨论应用多值解析函数来计算积分的问题，同学们可以自学。,利用留数计算积分的特点： （1）、利用留数定理，我们把计算一些积分的问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数，从而大大化简了计算；,例1、,例1、 计算积分,其中常数a1。,解：令,而且当t从0增加到,解：令 ，那么,时，z按反时针方向绕 圆C:|z|=1一周。,例1、,因此,于是应用留数定理，只需计算,在|z|1内极点处的留数，就可求出I。 上面的被积函数有两个极点：,显然,例1、,因此被积函数在|z|1内只有一个极点z1，而它在这点的留数是：,于是求得,注解：,注解1、应用同样得方法，我们可以计算一般形如,的积分，其中R(x,y)是有理分式，并且在圆C:|z|=1上，分母不等于零。,例2：,例2、 计算积分,解：首先，这是一个广义积分，它显然是收敛的。我们应用留数定理来计算它。考虑函数,这个函数有两个二阶极点，在上半平面上的一个是z=i。作以O为心、r为半径的圆盘。,例2：,考虑这一圆盘在上半平面的部分，设其边界为 Cr。取r1，那么z=i包含在Cr的内区域内。沿 Cr取,其中,其中 表示Cr上的圆弧部分，沿它的积分是按幅角增加的方向取的。,的积分，得,例2：,现在估计积分,我们有,因此,令 ，就得到,从而,注解：,注解1、我们计算所得的值这个广义积分的柯西主值，但由于此积分收敛，所以积分值等于主值。,注解2、应用同样得方法，我们可以计算一般形如,的积分，其中R(x)是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高2次，即积分绝对收敛。,引理6.1：,引理3.1设f(z)是闭区域,上连续的复变函数，并且设,那么我们有,是以O为心、r为半径的圆弧在这闭区域上的一段,如果 当z在这闭区域上时，,引理6.1：,证明：设M(r)是f(z)在,因为当,证明：设M(r)是f(z)在 上的最大值，则有,因为当 时，,引理6.1：,所以,又因为,又因为 所以，,例3：,例3、 计算积分,解：取r0，则有,函数,函数 在,函数 在,去有一阶极点z=i外，在 其他每一点都解析。取积 分区域如图，而只要取 r1。于是我们有,例3：,于是我们有,其中,其中 表示Cr上的圆弧部分，沿它的积分是按幅角增加的方向取的。,例3：,现在应用引理3.1，取,那么在这引理中所设各条件显然成立。,因此，令,从而可见积分I收敛，并且,因此，令 ，就得到,注解：,注解1、应用同样得方法，我们可以计算一般形如,的积分，其中f(x)在,注解2、同样，上面求出的广义积分也是其柯西主值。,上可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，而且当z在,上时，引理中的条件满足。,说明：,如果函数f(x)在上上半平面可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，而且在实轴上有孤立奇点，我们也可以计算某些广义积分，同样，所求出的广义积分（无限积分与瑕积分）也是其柯西主值，如下面的例子。,函数 只是在z=0有一个一阶极点。,例4：,例4、 计算积分,解：取,函数,解：取 ，使,解：取 ，使 ，我们有,例4：,作积分路径如下图。在上半平面上作以原点为心、,于是我们有,在这里沿,现在求当,为半径的半圆,的积分分别是按幅角减小与增加的方向取的。,现在求当 趋近于0时，,现在求当 趋近于0时， 的极限。,例4：,由于，h(z)在z=0的解析，在z=0的一个邻域内，| f(z)|有上界,当,其中h(z)是在z=0的解析函数。因此,于是当,当 时,于是当 充分小时,例4：,从而,令,令 ，应用引理3.1，可以得到所求积分收敛，并且,留数定理的应用-儒歇定理:,应用留数定理，我们也可以解决有关零点与极点的个数问题，因为教学时间的关系，我们只介绍儒歇定理，并应用它来决定方程在一些区域内根的个数。 儒歇定理（定理6.2）设D是在复平面上的一个有界区域，其边界C是一条或有限条简单闭曲线。设函数f(z)及g(z)在D及C所组成的闭区域上解析，并且在C上，|f(z)|g(z)|，那么在D上，f(z)及 f(z)+g(z)的零点的个数相同。,注解：,注解1、应用此定理时，我们只要估计和在区域边界上模的值。 注解2、f(z)及g(z)选择的原则是，f(z)在内的零点个数好计算。,例1:,例1、 求方程,在|z|1内根的个数。,解：令,由于当|z|=1时，我们有,而,已给方程在|z|1内根的个数与-z5+