注册工程师考试-积分学.ppt

,1.3.1 不定积分,1.3.5 平面曲线积分,1.3.4 重积分,1.3 积分学,1.3.2 定积分,1.3.3 广义积分,1.3.6 积分应用,1.3.1 不定积分,1. 直接积分法,通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 (要求记住基本积分公式P16）.,2. 换元积分法,第一类换元的基本思路,第一类换元的关键是凑微分，常用的凑微分结果有,例2. 求,解:,原式,第二类换元的解题思路为,使用该公式的关键为,第二类换元常见类型有 三角代换 倒代换 根式代换等,3. 分部积分法,使用原则:,1) 由,易求出 v ;,2),比,好求 .,一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序,排前者取为 u ,排后者取为,例3 求积分,解,（再次使用分部积分法）,解,两边同时对 求导, 得,2、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,1、定积分定义：,1.3.2 定积分,性质5,推论：,（1）,（2）,性质4,性质7 (定积分中值定理),性质6,积分中值公式,3、积分上限函数的导数,也可写成,牛顿莱布尼茨公式,4、牛顿莱布尼茨公式,5、定积分的计算法,换元公式,（2）第二类换元法,（3）分部积分法,分部积分公式,注：应尽可能先用简便算法： 1、几何意义；2、对称性；3、奇偶性；4、重要结论,（1）凑微分法,6、重要结论,1.3.3 广义积分,(1)无穷限的广义积分,(2)无界函数的广义积分,1.在直角坐标系下计算二重积分,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,1.3.4 重积分（化为累次积分）,解,2. 在极坐标系下计算二重积分,例9.计算二重积分,其中D 为圆周,所围成的闭区域.,提示: 利用极坐标,原式,例10. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,1.3.5 平面曲线积分,计算定积分,且,上的连续函数,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,说明:,(1)积分限必须满足,(2) 注意到,1.对弧长的曲线积分的计算,如果曲线 L 的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,则,例11. 计算,其中 L 是抛物线,与点 B (1,1) 之间的一段弧 .,解:,上点 O (0,0),2.对坐标的曲线积分的计算法,在有向光滑弧 L 上有定义且,L 的参数方程为,则曲线积分,连续,存在, 且有,例12. 计算,其中 L 为,(1) 半径为 a 圆心在原点的,上半圆周, 方向为逆时针方向;,(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ).,解: (1) 取L的参数方程为,(2) 取 L 的方程为,则,则,区域 D 分类,单连通区域 ( 无“洞”区域 ),多连通区域 ( 有“洞”区域 ),域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左,设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,格林公式,函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,3.格林公式,例13. 计算,其中L 为上半,从 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,它与L 所围,原式,圆周,区域为D , 则,1.平面图形的面积,设曲线,与直线,及 x 轴所围曲,则,边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为,1.3.6 积分应用,例14. 计算两条抛物线,在第一象限所围,所围图形的面积 .,解: 由,得交点,例15. 求椭圆,解: 利用对称性 ,所围图形的面积 .,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当 a = b 时得圆面积公式,(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:,所求弧长,2.平面曲线的弧长,(2) 曲线弧由参数方程给出:,所求弧长,连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,有,当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转