2018年全国高中数学联合竞赛一试(含答案).pdf

2018 年全国高中数学联合竞赛一试 （A 卷） 1. 设集合 = 1，2，3，99， = 2| , = |2 ,则B C中元素个数为 分析：由题意 = 2| = 1,2,99， = 2 | = 1,2,99，则B C = 2|2 b 0),左右焦点分别为1，2， 椭圆 C 的弦 ST 与 UV 分别平行于x轴和y轴， 且相交于点P， 已知线段PU、 PS、PV、PT 的长分别为 1、2、3、6，则P12的面 积为 分析：不妨设点 P 在第一象限，令P(0,0) 则：0= | = = 4 2 = 2 0= | | = 2 1 = 1 故 点 P 的 坐 标 为 P(2，1) 易得 S(4,1),U(2,2),从 而可求得2= 20， 2= 5, 则2= 15, 所以12= 1 2 | 12| 0= 15 5. 设()是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，在区间 0，1上严格递减，且满足() = 1,(2) = 2,则不 等式组1 2 1 () 2的解集为 分析：由题意，可作草图如下： 由图结合对称性得： 1= 2,2= 2 4 + 2(2 6) = 8 2 所以， 由函数单调性， 不等式1 () 2在1， 2内 的解集为 2，8 2 6. 设复数满足|=1，使得关于 的方程z2+ 2 + 2 = 0有实根，则这样的复数的和为 分析：令 = + ，则 = (2+ 2= 1) 则( + )2+ 2( ) + 2 = 0， 整理得：(2+ 2 + 2) + (2 2) = 0 故 2 + 2 + 2 = 0(1) 2 2 = 0 (2) 由(2)得： = 0或 = 2，（舍去 = 0） 由2+ 2= 1 及(1)式，得： = 0时， = 1, = 2时，a = 1 4， = 15 4 所以 = 1或 = 1 4 15 4 ，故结果为-3 2. 7. 设为ABC的外心， 若 = + 2 ， 则 的值为 分析： 由 = + 2 得：2 = = 记 OB=4，则 AC=2 则 cosAOB = cosCAO = 1 4 在AOB中，2= 16 + 16 2 16 1 4 = 24 在AOC中，cosAOC = 16+164 216 = 7 8 cosBOC = cos(AOC + AOB) = 1 4 故2= 16 + 16 + 2 16 1 4 = 40 cosBAC = 2+22 2 = 4+2440 86 = 6 4 sinBAC = 10 4 8. 设整数数列1,2, 10满足10= 31,2+ 8= 25， 且+1 1 + ,2 + , = 1,2,9， 则这样的 数列的个数为 分析： 由+1 1 + ,2 + ， 得+1 = 1或 2， 不妨令= +1 ,( = 1,2,9)，且= 或 2， 由2+ 8= 25得5 2= 8 5 即：2+ 3+ 4= 5+ 6+ 7 不妨令2，3，4中 1 的个数记为 k， 则显然5，6，7中 1 的个数也为 k， 故2，3，4，5，6，7的取法数共有： 3 0 3 0 + 3 1 3 1 + 3 2 3 2 + 3 3 3 3 = 20, 而8，9无限制条件，可任意取 1 或 2，故有 2 1 2 1 = 4种， 又10= 31，且1为整数， 则21= 10 1= 1+ 2+ + 9必为偶数， 故1取值必为定值（因为2，9已确定） 所以数列的个数为20 4 = 80 即数列1,2, 10个数为 80. 9. 已知定义在R+上的函数()为 () = |3 1|,0 9，设,是三个互不 相同的实数， 满足() = () = ()， 求的取值 范围. 分析： 如图，不妨令 ，则由() = () 得：(3 1) + (3 1) = 0，则 = 9 显然9 16, 所以 = 9 81,144) 10. 已知实数列1,2,3，满足：对任意正整数 n，有 (2 ) = 1，其中表示数列有前 n 项和. 证明： （1） 对任意正整数 n，有 2; （2） 对任意正整数 n，有+1 1. 分析： (1)显然1= 1 21，当 2时， 由(2 ) = 1，得2 12= 1( 2) 所以2= ，得= 故当 2 时， = 1 + 1 2 (2) 与+1异号时结论显然成立， 当与+1同号时： 由(1)得= ， 不妨得：= 1 +1= + 1 +1= ( 1)( + 1 ) = 1 1 1 +1+ 1 1 1 +1 = 1 11. 在平面直角坐标系 xoy 中，设 AB 是抛物线2= 4 的过点 F(1,0)的弦，AOB的外接圆交抛物线于点 P （不同于点 O，A，B） ，若 PF 平分，求|PF|的 所有可能值. 分析： 令A(1,1),B(2,2),P(3,3) 因为 AB 过焦点，不妨令 AB： = + 1 由 = + 1 2= 4 得： 2 4my 4 = 0 故1+ 2= 4, 12= 4 因为 P、A、O、B 四点共圆，可令圆方程为： 2+ 2+ + = 0, 由 2 + 2+ + = 0 2= 4 ， 则： 1 16 4 + (1 + 4) 2 + = 0 因为抛物线与圆有四个交点，则有 3 16 + (1 + 4) + = 1 16 ( 1)( 2) ( 3) 由待定系数法可得： 3= (1+ 2) 因为 PF 平分， 则| | = | | = 1 2 即： 1 16 ( 1232)2+(13)2 1 16 ( 2232)2+(23)2 = 1 2 整理得：(12 22)(14+