2018考研真题专项训练---线性代数(1)-试题.pdf

2018 考研数学专项真题训练（考研数学专项真题训练（1）-线性代数线性代数 一、填空（每题一、填空（每题 4 分，共分，共 40 分）分） 1、设)( ij aA 是三阶非零矩阵，A为其行列式， ij A为元素 ij a的代数余子式，且满足 )3 , 2 , 1,(0jiaA ijij ，则A= 2. n阶行列式 2002 1202 _. 0022 0012 3 设为3阶矩阵， ， 为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则 * B A . 4.设A为 3 阶矩阵，P为 3 阶可逆矩阵，且 1 100 010 002 P AP .若 123 ,P ， 1232 2,Q 则 1 QAQ 【扩展】【扩展】设A为 3 阶矩阵，P为 3 阶可逆矩阵，且 100 010 002 P AP .若 123 ,P ， 1232 2,Q 则Q AQ 5.设 n 阶矩阵 A,B,C，E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB,C=A+CA，则 B-C= 6.设 123 , 是 3 维向量空间 3 R的一组基，则由基 123 11 , 23 到基 122331 , 的过渡矩阵为 7.设 111 122232 333 , abc abc abc ,则三条直线0(1,2,3) iii a xb yci （其中 22 0,1,2,3 ii abi）交于一点的充分必要条件是 12 , ； 123 , A=3A * A 8.设 成的 时， 9.设 2 A 10.设 【类 【类 (A (C 二、二、 1.设 11, a 2. 设 ( ( 3 .设 随矩 设有三张不同平 的线性方程组 这三张平面 设A为 2 阶 212 2 设x为三维单单 类似】设， T = 类似】设为 A). E C). 2E 选择（每选择（每题题 设矩阵(A 1312, ,aa为三 (A) 3 3 设 a b c d A= (A) 2 (ab (C) 2 (ab 设为 矩阵,则( ) (A)交换 A(n n * A 平面的方程 组的系数矩阵 面的位置如图 矩阵， 1, 2则A的非 单单位向量位向量，E 为 3 维列 . 为n维单位列 T 不可逆； T 不可逆; 题题 4 分）分） 33 ) ij a 满足 三个相等的正 3 . (B) bcd ad da cba 222 bcd 222 bcd 阶可逆矩 ) 的第 1 列与 2) * 12ii a xa y 阵与增广矩阵 . 2 为线性无 非零特征值为 为三阶单位 列向量， T 列向量，E为 (B). E (D). 2E 足 T AA * ， 正数，则 11 a为 3. (C) d c b a ，则|A 2 ). (B)(a ). (D)a 矩阵,交换 与第 2 列得 A B 3 , ii a zb i 阵的秩关系 无关的 2 维列 为_ 矩阵，则矩阵 T 为的转置 为n维单位矩 T 不可逆 2 T 不可逆 其中 * A是A 为( ) 3 1 . (D) |=( ). 222 abc 222 bc 的第 1 行与第 ( * B 1,2,3，当 (相等 列向量，A _. 阵 T Exx的 置，若矩阵 矩阵，则（ 逆 A的伴随矩阵 ) 3. 22 )d. 2 d. 第 2 行得矩阵 (B)交换的 * A 它们所组 等或不等) 1 0 ， 的秩为 T 相似于 ） 。 阵， T A为A 阵分 的第 1 行与第 * .,B A B 200 000 000 A的转置矩阵 分别为 第 2 行得 ,A B * B ，则 阵. 若 的伴 (C)交换的第 1 列与第 2 列得 (D)交换的第 1 行与第 2 行得 【类似】【类似】设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 行加到第 1 行得B，再将B的第 1 列的1倍加到 第 2 列得C，记 110 010 001 P ，则( ) （）（） 1 CP AP （）（） 1 CPAP （）（） T CP AP （）（） T CPAP 【类似】【类似】设A为三阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与 第三行得单位矩阵，记 1 100 110 001 P ， 2 100 001 010 P ，则A=（ ） （A） 12 PP （B） 1 12 P P （C） 2 1 PP （D） 1 21 P P 4 .设,A B分别为mn，nm型矩阵，E为m阶单位矩阵，若ABE，则 ( ) (A) 秩 r Am,秩 r Bm. (B) 秩 r Am,秩 r Bn. (C) 秩 r An,秩 r Bm. (D) 秩 r An,秩 r Bn. 5.设,AB均为 2 阶矩阵， * ,A B分别为,AB的伴随矩阵，若2,3AB，则分块矩阵 0 0 A B 的伴随矩阵为( ) （A） * * 03 20 B A （B） * * 02 30 B A （C） * * 03 20 A B （D） * * 02 30 A B 6.设CBA,均为n阶矩阵，若CAB，且B可逆，则( ) （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 【类似】设向量组 123 , 线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ） (A) 122331 , (B) 122331 , * A * B * A * B (C) 122331 2,2,2 . (D) 122331 2,2,2 . 【类似】设 12 , s 均为n维列向量，A为mn矩阵，下列正确的是 (A)若 12 , s 线性相关，则 12 , s AAA线性相关. (B)若 12 , s 线性相关，则 12 , s AAA线性无关. (C)若 12 , s 线性无关，则 12 , s AAA线性相关. (D) 若 12 , s 线性无关，则 12 , s AAA线性无关. 【类似】(2017.I,III,13)设矩阵 101 112 011 A ， 123 , 为线性无关的 3 维向量，则 向量组 123 ,AAA的秩为_ 【类似】设是矩阵的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为,则, 线性无关的充分必要条件是 (A) (B) (C) (D) 7 设 1234 (,)A 是 4 阶矩阵， * A是A的伴随矩阵，若(1,0,1,0) T 是方程组0AX 的一个基础解系，则 * 0A X 的一个基础解系为（ ） （A） 13 , （B） 12 , （C） 123 , （D） 234 , 8 设矩阵 2 111 12 14 a a A, 2 1 d d b.若集合1,2，则线性方程组Axb有无穷多解 的充分必要条件为 ( ) (A) ,ad ;(B) ,ad ; (C) ,ad (D) ,ad 9.设矩阵 211100 121 ,010 112000 AB ，则A与B( ) (A) 合同且相似 （B）合同，但不相似. (C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 21, A 12 , 1 12 ()A 0 1 0 2 0 1 0 2 【类似】矩阵 11 11 a aba a 与 200 0b0 000 相似的充分必要条件为（ ） （A）0,2ab （B）为任意常数ba , 0 （C）0, 2ba （D）为任意常数ba , 2 【类似】已知矩阵 200210100 021 ,020 ,020 001001002 ABC ，则（ ） 。 (A).A 与 C 相似，B 与 C 相似; (B). A 与 C 相似，B 与 C 不相似 (C). A 与 C 不相似，B 与 C 相似; (D). A 与 C 不相似，B 与 C 不相似 10.设二次型 123 ,f x x x在正交变换xPy下的标准形为 222 123 2yyy，其中 123 ( ,)Pe e e,若 132 ( ,)Qee e则 123 (,)fx xx在正交变换xQy下的标准形为( ) (A) 222 123 2yyy (B) 222 123 2yyy (C) 222 123 2yyy (D) 222 123 2yyy 三、简答题三、简答题 1、(本题满分 12 分)设矩阵 10 11 01 a Aa a 且 3 AO. (1) 求a的值； (2) 若矩阵X满足 22 XXAAXAXAE ，E为 3 阶单位阵，求X. 2. (本题满分 11 分)设 1 (1,0,1)T， 2 (0,1,1)T， 3 (1,3,5)T不能由 1 (1,1,1)T， 2 (1,2,3)T， 3 (3,4, )Ta线性表出。 （）求a; （）将 123 , 由 123 , 线性表出 【类似】 （】 （2005 II） （本题满分（本题满分 9 分）分）确定常数 a,使向量组,), 1 , 1 ( 1 T a,) 1 , 1 ( 2 T a T a) 1 , 1 ,( 3 可由向量组,), 1 , 1 ( 1 T a,)4 , 2( 2 T a T aa), 2( 3 线性表示，但向 量组 321 ,不能由向量组 321 ,线性表示. 【类似】(2017.I-III,22)（满分 11 分）设 3 3123 (,)A 有 3 个不同的特征值，且 312 2， （）证明( )2r A ； （）如果 123 ，求方程组Ax的通解。 3（本题满分 11 分）设 3021 1110 4321 A，E为三阶单位矩阵 （1）求方程组0 AX的一个基础解系； （2）求满足EAB 的所有矩阵 4(本题满分本题满分 11 分分)设线性方程组 04 , 02 , 0 3 2 21 321 321 xaxx axxx xxx 与方程12 321 axxx有公共解，求 a 的值及所有公共解 【类似】 （本题满分】 （本题满分 13 分）分）已知齐次线性方程组（I） , 0 , 0532 , 032 321 321 321 axxx xxx xxx 和（II） , 0) 1(2 , 0 32 2 1 321 xcxbx cxbxx 同解，求a,b,c的值. 5.( 本题满分本题满分 13 分分)设二次型 22 1231 122331 12233 ,2f x x xa xa xa xb xb xb x 记 11 22 33 , ab ab ab 。 （I）证明二次型f对应的矩阵为2 TT ； （II） 若, 正交且均为单位向量， 证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型 22 12 2yy。 【类似】(2017.I-III,23)（本题满分 11 分） 设二次型 222 123123121323 (,)2282f x xxxxaxx xx xx x在正交变换xQy下的标 准型为 22 1122 yy，求a的值及一个正交矩阵Q。 6.(本题满分本题满分 12 分分)设 3 阶实对称矩阵A的各行元素之和均为 3,向量 T 1 1,2, 1, T 2 0, 1,1是线性方程组0AX 的两个解. () 求A的特征值与特征向量； () 求正交矩阵Q和对角矩阵,使得 T Q AQ . （）求A及 6 3 2 AE ，其中E为 3 阶单位矩阵. 【类似】(2011 I-II)（本题满分 11 分） 设A是三阶实对称矩阵，A的秩为 2 且 1111 0000 1111 A （I）求A的所有特征值与特征向量 （II）求矩阵A 学霸们，友情提示！ 距离考研还有 天，学霸们是不是迷茫了？被铺天盖地的做题方法整懵逼了? 现由中国石油大学专职数学老师为您解剖真题，回顾考点；以真题训练形式，把 握考点脉络，总结解题方法，提高适考能力。真题训练包含近 10 多年几乎所有