2018年全国高中数学联合竞赛加试参考答案(A卷).pdf

2018 年年全国高中数学联合竞赛加试（全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）卷） 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明：说明： 1 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分 2 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，参考本评分标准适当划分档次评分， 10 分为一个档次， 不得增加其他中间档次分为一个档次， 不得增加其他中间档次 一、 （本题满分一、 （本题满分 40 分）分）设n是正整数， 1212 , nn aaab bbA B均为正 实数，满足,1, 2, iii abaA in=，且 1 2 12 n n bbbB a aaA 证明： 12 12 (1)(1)(1)1 (1)(1)(1)1 n n bbbB aaaA + + 证明证明：由条件知，1,1, 2, i i i b kin a =记 B K A =，则 1 2 12 n n bbbB a aaA 化为 1 2n k kkK要证明 1 11 11 n ii i i k aKA aA = + + 对1, 2,in=，由于1 i k 及0 i aA=时，有 1 2 1 11 11 n in i k Ak kk A AA = + + 20 分 对n进行归纳当1n =时，结论显然成立 当2n =时，由 12 0,1Ak k可知 121 212 2 111(1)(1) 0 111(1) k Ak Ak k AA kk AAAA + = + ， 因此2n =时结论成立 30 分 设nm=时结论成立，则当1nm=+时，利用归纳假设知， 1 11 21 11 11111 11111 mm iimmm ii k Ak AkAk kk AkA AAAAA + + = + = + 1 21 1 1 m k kkA A + + + ， 最后一步是在中用 1 21 , mm k kkk + （注意 1 21 1,1 mm k kkk + ）分别代替 12 ,k k 从而1nm=+时结论成立 由数学归纳法可知，对所有正整数n成立，故命题得证 40 分 1 二、 （本题满分二、 （本题满分 40 分）分）如图，ABC为锐角三角形，ABAC，M为BC边 的中点，点D和E 分别为ABC的外接圆BAC和 BC的中点，F为ABC的内 切圆在AB边上的切点，G为AE与BC的交点，N在线段EF上， 满足NBAB 证明：若BNEM，则DFFG （答（答题时请将图画在答卷纸上）题时请将图画在答卷纸上） 证证明明： 由条件知，DE为ABC外接圆的直径，DEBC于M，AEAD 记I为ABC的内心，则I在AE上，IFAB 由NBAB可知 (180)90NBEABEABNADE 90ADEMEI 10 分 又根据内心的性质，有 EBIEBCCBIEACABIEABABIEIB， 从而BEEI 结合BNEM及知，NBEMEI 20 分 于是90180EMIBNEBFEEFI，故, ,E F I M四点共圆 进而可知9090AFMIFMIEMAGM， 从而,A F G M四 点共圆 30 分 再由90DAGDMG知，,A G M D四点共圆，所以,A F G M D五 点共圆从而90DFGDAG，即DFFG 40 分 G D M N F E A BC I G D M N F E A BC 2 三三、 （本题满分、 （本题满分 50 分）分）设,n k m是正整数，满足2k ，且 21k nmn k 情形一：q是奇数则由知， 1 2 q nx + 结合，可知， 1 () 22121 qkk xnxqrxq kk + + ，从而21qk+ ，从而 1(1) 2(21)2121 xqkkx r kkk ，p是素数 假设m不在 n a 中出现 由于 n a各项互不相同， 因此存在正整数N， 当nN时， 都有 n ap 若 对某个nN， n pS，那么p与 n S互素，又 1, , n aa中无一项是p，故由数列 定义知 1n ap + ，但是 1n ap + ，矛盾！ 因此对每个nN，都有| n p S但由 1 | n p S + 及| n p S知 1 | n p a + ，从而 1n a + 与 n S 不互素，这与 1n a + 的定义矛盾 10 分 假设2k ， 且结论对1k 成立 设m的标准分解为 12 12 k k mp pp = 假设m 不在 n a中出现，于是存在正整数 N ，当n N 时，都有 n am取充分大的正 整数 11 , k ，使得 11 11 1 max k kn n N Mppa = 我们证明，对n N ，有 1n aM + 20 分 对任意n N ，若 n S与 12k p pp互素，则m与 n S互素，又m在 1, , n aa中均 未出现，而 1n am + ，这与数列的定义矛盾因此我们推出： 对任意n N ， n S与 12k p pp不互素 ( ) 情形 1若存在(11)iik ，使得| in pS，因 1 (,)1 nn aS + =，故 1in pa + ，从而 1n aM + （因| i pM） 30 分 情形 2若对每个(11)iik ，均有 in pS，则由( ) 知必有| kn pS于是 1kn pa + ，进而 1knn pSa + +，即 1kn pS + 故由( ) 知，存在 00 (11)iik，使得 0 1 | in pS + ，再由 11nnn SSa + =+及前面的假设(11) in pSik ，可知 0 1in pa + ，故 1n aM