2010年考研数学(二)试题.pdf

数学（二）试题 第 1页 （共 3 页） 2010201020102010 年数学二试题年数学二试题年数学二试题年数学二试题 一、选择题一、选择题 (1)(1) 函数函数( ) 2 22 1 1 1 xx f x xx =+ 的无穷间断点的个数为的无穷间断点的个数为( () ) (A)(A)0.0.(B)(B)1.1.(C)(C)2.2.(D)(D)3.3. (2)(2) 设设 12 ,y y是一阶线性非齐次微分方程是一阶线性非齐次微分方程( )( )yp x yq x + =的两个特解的两个特解, ,若常数若常数，使使 12 yy+是该方程的解是该方程的解, , 12 yy是该方程对应的齐次方程的解是该方程对应的齐次方程的解, ,则则( () ) (A)(A) 11 , 22 =. .(B)(B) 11 , 22 = = . . (C)(C) 21 , 33 =. .(D)(D) 22 , 33 =. . (3)(3) 曲线曲线 2 yx=与曲线与曲线ln (0)yax a=相切相切, ,则则a=( () ) (A)(A)4e.4e.(B)(B)3e.3e.(C)(C)2e.2e.(D)(D)e.e. (4)(4) 设设,m n是正整数是正整数, ,则反常积分则反常积分 () 2 1 0 ln1 m n x dx x 的收敛性的收敛性 ( () ) (A)(A) 仅与仅与m的取值有关的取值有关. .(B)(B) 仅与仅与n的取值有关的取值有关. . (C)(C) 与与,m n取值都有关取值都有关. .(D)(D) 与与,m n取值都无关取值都无关. . (5)(5)设函数设函数( , )zz x y=, ,由方程由方程(, )0 y z F x x =确定确定, ,其中其中F为可微函数为可微函数, ,且且 2 0F , ,则则 zz xy xy += ( () ) (A)(A)x. .(B)(B)z. .(C)(C)x. .(D)(D)z. . (6)(6) ()() 22 11 lim nn n ij n ninj = = + ( () ) (A)(A) ()() 1 2 00 1 11 x dxdy xy+ . .(B)(B) ()() 1 00 1 11 x dxdy xy+ . . (C)(C) ()() 11 00 1 11 dxdy xy+ . .(D)(D) ()() 11 2 00 1 11 dxdy xy+ . . (7)(7) 设向量组设向量组 12 I:, r 可由向量组可由向量组 12 II:, s 线性表示线性表示, ,下列命题正确的是下列命题正确的是( () ) (A)(A) 若向量组若向量组I线性无关线性无关, ,则则rs. .(B)(B) 若向量组若向量组I线性相关线性相关, ,则则rs. . (C)(C) 若向量组若向量组II线性无关线性无关, ,则则rs. .(D)(D) 若向量组若向量组II线性相关线性相关, ,则则rs. . (8)(8) 设设A为为 4 4 阶实对称矩阵阶实对称矩阵, ,且且 2 AAO+=, ,若若A的秩为的秩为 3,3,则则A相似于相似于( () ) 数学（二）试题 第 2页 （共 3 页） (A)(A) 1 1 1 0 . .(B)(B) 1 1 1 0 . . (C)(C) 1 1 1 0 . .(D)(D) 1 1 1 0 . . 二、填空题二、填空题 (9)(9)3 3 阶常系数线性齐次微分方程阶常系数线性齐次微分方程220yyyy+=的通解为的通解为y= . . (10)(10) 曲线曲线 3 2 2 1 x y x = + 的渐近线方程为的渐近线方程为 . . (11)(11)函数函数()ln 1 20yxx=在处的处的n阶导数阶导数 ( ) ( )0 n y= = . . (12)(12) 当当0时时, ,对数螺线对数螺线re=的弧长为的弧长为 . . (13)(13) 已知一个长方形的长已知一个长方形的长l以以 2 2cm/s的速率增加的速率增加, ,宽宽w以以 3 3cm/s的速率增加的速率增加. .则当则当 cm12l=,cm5w=时时, ,它的对角线增加的速率为它的对角线增加的速率为 . . (14)(14)设设,A B为为 3 3 阶矩阵阶矩阵, ,且且 1 32,2ABAB =+=，, ,则则 1 AB+= = . . 三、解答题三、解答题 (15)求函数求函数 2 2 2 1 ( )() x t f xxt ed = 的单调区间与极值的单调区间与极值. . (16)(16)( ( I I ) ) 比较比较() 1 0 lnln 1 n ttdt+ 与与 1 0 ln n tt dt ()1,2,n=的大小的大小, ,说明理由；说明理由； ( ( IIII ) ) 记记() 1 0 lnln 1 n n uttdt=+ ()1,2,n=, ,求极限求极限lim n n u . . (17)(17)设函数设函数( )yf x=由参数方程由参数方程 2 2,( 1) ( ) xtt t yt =+ = 所确定所确定, ,其中其中( )t具有具有 2 2 阶导数阶导数, ,且且 5 (1)(1)6. 2 =，已知已知 2 2 3 , 4(1) d y dxt = + 求函数求函数( )t. . (18)(18)一个高为一个高为l l的柱体形贮油罐的柱体形贮油罐, ,底面是长轴为底面是长轴为2a, ,短轴为短轴为2b的椭圆的椭圆. .现将贮油罐平放现将贮油罐平放, ,当当 数学（二）试题 第 3页 （共 3 页） 油罐中油面高度为油罐中油面高度为 3 2 b时时( (如图如图),),计算油的质量计算油的质量.(.(长度单位为长度单位为 m,m,质量单位为质量单位为 kg,kg,油的密度为油的密度为 常数常数kg/mkg/m 3 3) ) (19(19) )设函数设函数( , )uf x y=具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, ,且满足等式且满足等式 222 22 41250 uuu xx yy += , ,确确 定定a, ,b的值的值, ,使等式在变换使等式在变换,xayxby=+=+下化简为下化简为 2 0 u = . . (20)(20)计算二重积分计算二重积分 22 sin1cos2 D Irrdrd= , , 其中其中(),|0sec ,0 4 Drr = . . (21)(21)设函数设函数( )f x在闭区间在闭区间0,1上连续上连续, ,在开区间在开区间()0,1内可导内可导, ,且且(0)0f=, , 1 (1) 3 f=, ,证证 明：存在明：存在 1 (0, ) 2 , , 1 ( ,1) 2 , ,使得使得 22 ( )( )=.ff+ (22)(22)设设 11 011 1 a Ab = 0= 1 1 ，, ,已知线性方程组已知线性方程组Axb=存在两个不同的解存在两个不同的解 ( ( I I ) ) 求求, ,a; ; ( ( IIII ) ) 求方程组求方程组Axb=的通解的通解. . (23)(23)设设 014 13 40 Aa a = , , 正 交矩阵正 交矩阵Q使 得使 得 T Q AQ为 对角矩 阵为 对角矩 阵 , ,若若Q的 第的 第 1 1 列 为列 为 1 (1,2,1) 6 T , ,求求,a Q 参考答案参考答案参考答案参考答案 一、选择题一、选择题 (1)(1)【答案】【答案】 (B).(B). 【解析解析】因为因为 2 22 1 ( )1 1 xx f x xx =+ 有间断点有间断点0, 1x=, ,又因为又因为 数学（二）试题 第 4页 （共 3 页） 22 000 (1)11 lim ( )lim1lim1 (1)(1) xxx x x f xx xxxx =+=+ + , , 其中其中 22 00 11 lim11, lim11 xx xx xx + +=+= , ,所以所以0x=为跳跃间断点为跳跃间断点. . 显然显然 1 12 lim( )1 1 22 x f x =+ =, ,所以所以1x=为连续点为连续点. . 而而 2 11 (1)1 lim( )lim1 (1)(1) xx x x f x xxx =+= + , ,所以所以1x= 为无穷间断点为无穷间断点, ,故答案选择故答案选择 B.B. (2)(2)【答案】【答案】 (A)(A) 【解析解析】因因 12 yy是是( )0yP x y + =的解的解, ,故故()( )() 1212 0yyP xyy +=, ,所以所以 ( ) 1122 ( )0yP x yyp x y += , , 而由已知而由已知( )( )( )( ) 1122 ,yP x yq xyP x yq x +=+=, ,所以所以 () ( )0q x=, , 又由于一阶次微分方程又由于一阶次微分方程( )( )yp x yq x + =是非齐的是非齐的, ,由此可知由此可知( )0q x, ,所以所以0= 由于由于 12 yy+是非齐次微分方程是非齐次微分方程( )( )yP x yq x + =的解的解, ,所以所以 ()( )()( ) 1212 yyP xyyq x +=, , 整理得整理得( )( )( ) 1122 yP x yyP x yq x += , , 即即() ( )( )q xq x+=, ,由由( )0q x可知可知1+=, , 由由求解得求解得 1 2 =, ,故应选故应选(A)(A) (3)(3)【答案】【答案】 (C).(C). 【解析解析】 因为曲线因为曲线 2 yx=与曲线与曲线ln (0)yax a=相切相切, ,所以在切点处两个曲线的斜率相同所以在切点处两个曲线的斜率相同, , 所以所以2 a x x =, ,即即(0) 2 a xx=. .又因为两个曲线在切点的坐标是相同的又因为两个曲线在切点的坐标是相同的, ,所以在所以在 2 yx=上上, , 当当 2 a x=时时 2 a y=；在；在lnyax=上上, , 2 a x=时时, ,lnln 222 aaa ya=. . 所以所以ln 222 aaa = . .从而解得从而解得2ae=. .故答案选择故答案选择(C).(C). 数学（二）试题 第 5页 （共 3 页） (4)(4)【答案】【答案】 (D).(D). 【解析解析】0x=与与1x=都是瑕点都是瑕点. .应分成应分成 ()()() 222 1 11 2 1 00 2 ln1ln1ln1 mmm nnn xxx dxdxdx xxx =+ , , 用比较判别法的极限形式用比较判别法的极限形式, ,对于对于 () 2 1 2 0 ln1 m n x dx x , ,由于由于 1 2 1 0 12 ln (1) lim1 1 m n x nm x x x + =. . 显然显然, ,当当 12 01 nm ；01x . . (18)(18)【解析解析】油罐放平油罐放平, ,截面如图建立坐标系之后截面如图建立坐标系之后, ,边界椭圆的方程为：边界椭圆的方程为： 22 22 1 xy ab += 阴影部分的面积阴影部分的面积 22 22 2 2 bb bb a Sxdyby dy b = 令令sin ,ybt yb= 时时; 22 b ty = =时时 6 t =. . 2 66 22 1123 2cos2(cos2 )() 2234 Sabtdtabt dtab =+=+ 所以油的质量所以油的质量 23 () 34 mabl=+. . (19)(19)【解析解析】由复合函数链式法则得由复合函数链式法则得 uuuuu xxyx =+=+ , , uuuuu ab yyy =+=+ , , 数学（二）试题 第 10页 （共 3 页） 22222 222 uuuuuuu xxxxxx =+=+ 222 22 2, uuu =+ 22222 22 uuuuuuu x yyyyyy =+=+ 222 22 (), uuu abab =+ 22222 222 ()() uuuuuuu aba abb aa yy =+=+ 222 22 22 2, uuu abab =+ 故故 222 22 4125 uuu xx yy + 222 22 22 (5124)(5124)12() 1080, uuu aabbabab =+= 所以所以 2 2 51240 51240 12() 1080 aa bb abab += += + , , 则则 2 5 a= 或或2, , 2 5 b= 或或2. .又因为当又因为当( , )a b为为 22 ( 2, 2),(,) 55 时方程时方程(3)(3)不满足不满足, , 所以当所以当( , )a b为为 2 (, 2) 5 , , 2 ( 2,) 5 满足题意满足题意. . (20)(20)【解析解析】 22 sin1cos2 D Irrdrd= () 222 sin1cossin D rrrdrd= 22 1 D yxy dxdy=+ 1 22 00 1 x dxyxy dy=+ () 3 1 2 2 0 1 11 3 xdx = () 3 11 2 2 00 11 1 33 dxxdx= 2 0 113 cos4 3316 d = . . 数学（二）试题 第 11页 （共 3 页） (21)(21)【解析】令【解析】令( )( ) 3 1 3 F xf xx=, ,对于对于( )F x在在 1 0, 2 上利用拉格朗日中值定理上利用拉格朗日中值定理, ,得得存存 在在 1 0, 2 使得使得 ( )( ) 11 0 22 FFF = 对于对于( )F x在在 1 ,1 2 上利用上利用拉格朗日拉格朗日中值定理中值定理, ,得存在得存在 1 ,1 , 2 使得使得 ( )( ) 11 1 22 FFF = , , 两式相加得两式相加得( )( ) 22 ff+=+. . 所以存在所以存在 11 0,1 22 , ,使使( )( ) 22 ff+=+. . (22)(22) 【解析】【解析】因为方程组有两个不同的解因为方程组有两个不同的解, ,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于 3,3,进而进而 可以通过秩的关系求解方程组中未知参数可以通过秩的关系求解方程组中未知参数, ,有以下两种方法有以下两种方法. . 方法方法 1 1： ( ( I I ) )已知已知Axb=有有 2 2 个不同的解个不同的解, ,故故( )( )3r Ar A=, ,对增广矩阵进行初等行变换对增广矩阵进行初等行变换, , 得得 11111 01010101 11111 a A a = 22 111111 01010101 0110011aa + 当当1=时时, , 1 1 1 11 1 1 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 00 0 0 0 A a , ,此时此时, ,( )( )r Ar A, ,故故Axb=无解无解( (舍去舍去) ) 当当1= 时时, , 1111 0201 0002 A a + , ,由于由于( )( ) 3r Ar A=, ,所以所以2a= , ,故故1=, ,2a=. . 方法方法 2 2：已知：已知Axb=有有 2 2 个不同的解个不同的解, ,故故( )( )3r Ar A=, ,因此因此0A=, ,即即 数学（二）试题 第 12页 （共 3 页） 2 11 010(1) (1)0 11 A =+=, , 知知1=或或-1.-1. 当当1=时时, ,( )1( )2r Ar A= =, ,此时此时, ,Axb=无解无解, ,因此因此1= . .由由( )( )r Ar A=, ,得得 2a= . . ( ( IIII ) ) 对增广矩阵做初等行变换对增广矩阵做初等行变换 3 101 2 11121112 1 02010201010 2 11110000 0000 A = 可知原方程组等价为可知原方程组等价为 13 2 3 2 1 2 xx x = = , ,写成向量的形式写成向量的形式, ,即即 1 23 3 3 2 1 1 0 2 1 0 x xx x =+ . . 因此因此Axb=的通解为的通解为 3 2 1 1 0 2 1 0 xk =+ , ,其中其中k为任意常数为任意常数. . (23)(23)【解析解析】由于由于 014 13 40 Aa a = , ,存在正交矩阵存在正交矩阵Q,