2019年全国1卷理科数学高考真题与答案解析,详细答案.pdf

2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1已知集合 2 4260MxxNx xx= =，则MN= A43xx B42xx C22xx D 23xx 2设复数 z 满足=1iz ，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则 A 22 +11()xy+= B 22 1(1)xy+= C 22 (1)1yx += D 22 ( +1)1yx += 3已知 0.20.3 2 log 0.220.2abc=，则 Aabc Bacb Ccab Dbca 4 古希腊时期， 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 51 2 （ 51 2 0.618， 称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚 脐的长度之比也是 51 2 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长 度为 26 cm，则其身高可能是 A165 cm B175 cm C185 cm D190 cm 5函数 f(x)= 2 sin cos + + xx xx 在, 的图像大致为 A B C D 6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为 阳爻“”和阴爻“ ” ，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻 的概率是 A 5 16 B 11 32 C 21 32 D 11 16 7已知非零向量 a，b 满足| 2| |=ab，且()abb，则 a 与 b 的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 8如图是求 1 1 2 1 2 2 + + 的程序框图，图中空白框中应填入 AA= 1 2A+ BA= 1 2 A + CA= 1 12A+ DA= 1 1 2A + 9记 n S为等差数列 n a的前 n 项和已知 45 05Sa=，则 A25 n an= B 310 n an= C 2 28 n Snn= D 2 1 2 2 n Snn= 10已知椭圆 C 的焦点为 12 1,01,0FF()， ()，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点若 22 | 2|AFF B=， 1 | |ABBF=，则 C 的方程为 A 2 2 1 2 x y+= B 22 1 32 xy += C 22 1 43 xy += D 22 1 54 xy += 11关于函数( )sin|sin |f xxx=+有下述四个结论： f(x)是偶函数 f(x)在区间（ 2 ，）单调递增 f(x)在, 有 4 个零点 f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A B C D 12已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF=90，则球 O 的体积为 A68 B64 C62 D6 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13曲线 2 3()exyxx=+在点(0 )0，处的切线方程为_ 14记 Sn为等比数列an的前 n 项和若 2 146 1 3 aaa=，则 S5=_ 15甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束） 根据前 期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的 概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 41 获胜的概率是_ 16已知双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab =的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C 的两条渐近线 分别交于 A，B 两点若 1 F AAB=， 12 0FB F B=，则 C 的离心率为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17(12 分) ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 22 (sinsin)sinsinsinBCABC= （1）求 A； （2）若22abc+=，求 sinC 18 （12 分） 如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是 BC， BB1，A1D 的中点 （1）证明：MN平面 C1DE； （2）求二面角 AMA1N 的正弦值 19 （12 分） 已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 3 2 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P （1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程； （2）若3APPB=，求|AB| 20（12 分） 已知函数( )sinln(1)f xxx=+，( )fx 为( )f x的导数证明： （1）( )fx 在区间( 1,) 2 存在唯一极大值点； （2）( )f x有且仅有 2 个零点 21（12 分） 为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案 如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以 乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠 多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验， 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈 且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、 乙两种药的治愈率分别记为 和 ，一轮试验中甲药的得分记为 X （1）求X的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，(0,1,8) i p i =表示“甲药的累计得分为i时，最终认 为甲药比乙药更有效”的概率，则 0 0p =， 8 1p =， 11iiii papbpcp + =+(1,2,7)i =，其中 (1)aP X=，(0)bP X=，(1)cP X=假设0.5=，0.8= (i)证明： 1 ii pp + (0,1,2,7)i =为等比数列； (ii)求 4 p，并根据 4 p的值解释这种试验方案的合理性 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2 2 1 1 4 1 t x t t y t = + = + ， （t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为2cos3 sin110+= （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明： （1） 222 111 abc abc +； （2） 333 ()()()24abbcca+ 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、选择题 1C 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养采取数轴法，利用数形结合的思想解题 【详解】由题意得，42 ,23MxxNxx= = ，则 22MNxx= 故选 C 【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分 2C 【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为 1，可选正确答案 C 【详解】,(1) ,zxyi zixyi=+ =+ 22 (1)1,zixy=+= 则 22 (1)1xy+= 故选 C 【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养采取公式法或几何法，利用方程思想解题 3B 【分析】运用中间量0比较 ,a c，运用中间量1比较 ,b c 【详解】 22 log 0.2log 10,a = 0.20 221,b= 0.30 00.20.21,= 则01,cacb故选 B 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养采取中间变量法，利用转化与化归思想解题 4B 【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解 【详解】 设人体脖子下端至腿根的长为 x cm， 肚脐至腿根的长为 y cm， 则 262651 1052 x xy + = + ， 得42.07,5.15xcm ycm 又 其腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26cm，所以其身高约为 42.07+5.15+105+26=178.22，接近 175cm故选 B 【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养采取类比法，利用转化思想解题 5D 【分析】先判断函数的奇偶性，得( )f x是奇函数，排除 A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案 【 详 解 】 由 22 sin()()sin ()( ) cos()()cos xxxx fxf x xxxx + = + + ， 得( )f x是 奇 函 数 ， 其 图 象 关 于 原 点 对 称 又 2 2 1 42 2 ()1, 2 () 2 f + + = 2 ( )0 1 f = + 故选 D 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题 6A 【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情 况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有 3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算 【详解】 由题知， 每一爻有 2中情况， 一重卦的 6爻有 6 2 情况， 其中 6爻中恰有 3个阳爻情况有 3 6 C， 所以该重卦恰有 3个阳爻的概率为 3 6 6 2 C = 5 16 ， 故选 A 【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题本题是重复元素的排列问题，所以 基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题 7B 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养先由 ()abb得出向量, a b的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角 【详解】因为()abb，所以 2 ()ab ba bb = =0，所以 2 a bb= ，所以cos= 2 2 |1 2|2 a bb a bb = ，所以a与b 的夹角为 3 ，故选 B 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为 0, 8A 【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择 【详解】执行第 1 次， 1 ,12 2 Ak= 是，因为第一次应该计算 1 1 2 2 + = 1 2A+ ， 1kk=+ =2，循环，执行第 2 次， 22k = ， 是，因为第二次应该计算 1 1 2 1 2 2 + + = 1 2A+ ， 1kk=+ =3，循环，执行第 3 次， 22k = ，否，输出，故循环体为 1 2 A A = + ， 故选 A 【点睛】秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为 1 2 A A = + 9A 【分析】等差数列通项公式与前 n 项和公式本题还可用排除，对 B， 5 5a =， 4 4( 72) 100 2 S + = ，排除 B，对 C， 2 4554 0,2 58 50105SaSS= =， 排除C 对 D， 2 4554 15 0,52 505 22 SaSS= =， 排除 D，故选 A 【详解】由题知， 41 51 44 30 2 45 d Sa aad =+ = =+= ，解得 1 3 2 a d = = ，25 n an=，故选 A 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前 n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养利用等差数列通项公式与前 n 项公式即可列出关于首项 与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断 10B 【分析】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设 2 F Bn=，则 21 2 ,3AFnBFABn=，由椭圆的定义有 1212 24 ,22aBFBFnAFaAFn=+=在 12 AFF和 12 BFF中，由余弦定理得 22 21 22 21 442 22 cos4, 422 cos9 nnAF Fn nnBF Fn + = + = ，又 2121 ,AF FBF F互补， 2121 coscos0AF FBF F+=，两式消 去 2121 coscosAF FBF F,，得 22 3611nn+= ，解得 3 2 n = 222 242 3 ,3 ,3 12,anabac= =所求椭圆方程为 22 1 32 xy += ，故选 B 【详解】如图，由已知可设 2 F Bn=，则 21 2 ,3AFnBFABn=，由椭圆的定义 有 1212 24 ,22aBFBFnAFaAFn=+=在 1 AFB中，由余弦定理推论得 222 1 4991 cos 2 233 nnn F AB nn + = 在 12 AFF中，由余弦定理得 22 1 442 224 3 nnnn+ =，解得 3 2 n = 222 242 3 ,3 ,3 12,anabac= =所求椭圆方程为 22 1 32 xy += ，故选 B 【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养 11C 【分析】化简函数( )sinsinf xxx=+，研究它的性质从而得出正确答案 【详解】()()( )( )sinsinsinsin,fxxxxxf xf x=+=+=为偶函数，故正确当 2 x 时， ( )2sinf xx= ， 它在区间, 2 单调递减， 故错误 当0 x 时，( )2sinf xx=， 它有两个零点：0 ； 当 0x 时，( )()sinsin2sinf xxxx= ，它有一个零点：，故( )fx在, 有3个零点：0 ，故错误当 ()2, 2xkkk +N时，( )2sinf xx=；当()2, 22xkkk + N时， ( )sinsin0f xxx= ，又( )fx为偶函数，( )fx的最大值为2，故正确综上所述， 正确，故选 C 【点睛】画出函数( )sinsinf xxx=+的图象，由图象可得正确，故选 C 12D 【分析】先证得PB 平面PAC，再求得 2PAPBPC= ，从而得P ABC 为正方体一部分，进而知正方体的 体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PAPBPCABC=为边长为 2 的等边三角形，PABC为正三棱锥， PBAC ，又E，F分别为PA、AB中点， /EFPB ， EFAC ，又EF CE ，,CEACCEF=平面 PAC，PB 平面PAC，2PABPAPBPC= = ， PABC 为正方体一部分，2 2226R =+ += ，即 3 6446 6 ,6 2338 RVR= ，故选 D 解法二: 设 2PAPBPCx= ，,E F分别为,PA AB中点， /EFPB ，且 1 2 EFPBx=，ABC为边长为 2的等边三角形， 3CF= 又 90CEF= 2 1 3, 2 CExAEPAx= AEC 中余弦定理 () 22 43 cos 2 2 xx EAC x + = ，作PD AC 于D， PAPC= ， D为AC中点， 1 cos 2 AD EAC PAx =， 22 431 42 xx xx + + = ， 22 12 212 22 xxx+ = ， 2PAPBPC= ， 又 =2AB BC AC ，,PA PB PC两两垂直， 22226R=+= ， 6 2 R= ， 3 446 6 6 338 VR=，故选 D. 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正 方体解决 二、填空题 13y=3x【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程 【详解】详解： /22 3(21)3()3(31), xxx yxexx exxe=+=+ 所以， / 0 |3 x ky = =所以，曲线 2 3()exyxx=+ 在 点(0,0)处的切线方程为3yx=，即30xy= 【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基 本要求 14121 3 【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到 5 S题目的难度不大，注重了基础 知识、基本计算能力的考查 【详解】设等比数列的公比为q，由已知 2 146 1 , 3 aaa=，所以 3 25 11 (), 33 qq=又0q ， 所以 3,q =所以 5 5 1 5 1 (1 3 ) (1)121 3 11 33 aq S q = 【点睛】准确计算，是解答此类问题基本要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误 150.18【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解题目有一定的难度，注重了基础知 识、基本计算能力及分类讨论思想的考查 【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是 3 0.60.5 0.5 20.108, = 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是 22 0.4 0.60.520.072, = 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+= 【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的 两种情况；易错点之三是是否能够准确计算 16 2 【分析】 通过向量关系得到 1 F AAB=和 1 OAFA， 得到 1 AOBAOF=， 结合双曲线的渐近线可得 21, BOFAOF= 0 21 60 ,BOFAOFBOA= = =从而由 0 tan603 b a =可求离心率. 【详解】如图， 由 1 ,F AAB= 得 1 .FAAB=又 12, OFOF=得 OA 是三角形 12 FF B的中位线，即 22 / /,2.BFOA BFOA=由 12 0FB F B = ，得 121 ,FBF B OAF A则 1 OBOF=有 1 AOBAOF=， 又 OA 与 OB 都是渐近线，得 21, BOFAOF=又 21 BOFAOBAOF+=， 得 0 21 60 ,BOFAOFBOA= = = 又渐近线 OB 的斜率为 0 tan603 b a =， 所以该双曲线的离心率为 22 1 ( )1 ( 3)2 cb e aa =+=+= 【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采取几何法，利用数形结合思想解题 三、解答题 17 【答案】 （1） 3 A =； （2） 62 sin 4 C + = . 【分析】 （1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得： 222 bcabc+= ，从而可整理出cosA，根据()0,A可求得结果； （2）利 用正弦定理可得 2sinsin2sinABC+= ，利用()sinsinBAC=+、两角和差正弦公式可得关于sinC和cosC的方程， 结合同角三角函数关系解方程可求得结果. 【详解】 （1）( ) 2 222 sinsinsin2sinsinsinsinsinsinBCBBCCABC=+= 即： 222 sinsinsinsinsinBCABC+= 由正弦定理可得： 222 bcabc+= 222 1 cos 22 bca A bc + = ()0,A 3 A （2） 22abc+= ，由正弦定理得： 2sinsin2sinABC+= 又()sinsinsincoscossinBACACAC=+=+， 3 A = 331 2cossin2sin 222 CCC+= 整理可得：3sin 63cosCC= 22 sincos1CC+= ()() 2 2 3sin63 1 sinCC= 解得： 62 sin 4 C + = 或 62 4 因 6 sin2sin2sin2sin0 2 BCAC= 所以 6 sin 4 C ，故 62 sin 4 C + = . （2）法二： 22abc+= ，由正弦定理得： 2sinsin2sinABC+= 又()sinsinsincoscossinBACACAC=+=+， 3 A = 331 2cossin2sin 222 CCC+= 整理可得：3sin 63cosCC= ，即3sin3cos2 3sin6 6 CCC = 2 sin 62 C = 由 2 (0,),(,) 366 2 CC ，所以, 6446 CC =+ 62 sinsin() 464 C + =+= . 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对 边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系. 18【答案】 （1）见解析； （2） 10 5 . 【分析】 （1）利用三角形中位线和 11 / /AD BC可证得/ /MEND，证得四边形MNDE为平行四边形，进而证得 /MNDE，根据线 面平行判定定理可证得结论；（2） 以菱形ABCD对角线交点为原点可建立空间直角坐标系， 通过取AB中点F， 可证得DF 平面 1 AMA， 得到平面 1 AMA的法向量DF；再通过向量法求得平面 1 MAN的法向量n，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所 求二面角的正弦值. 【详解】 （1）连接ME， 1 B C M，E分别为 1 BB，BC中点 ME 为 1 B BC的中位线 1 /MEBC 且 1 1 2 MEBC= 又N为 1 AD中点，且 11 / /AD BC 1 /NDBC 且 1 1 2 NDBC= / /MEND 四边形MNDE为平行四边形 /MNDE ，又MN 平面 1 C DE，DE平面 1 C DE / /MN 平面 1 C DE （2）设ACBDO=， 11111 ACBDO= 由直四棱柱性质可知： 1 OO 平面ABCD 四边形ABCD为菱形 ACBD 则以O为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系： 则： () 3,0,0A，()0,1,2M， () 1 3,0,4A，D（0，-1,0） 31 ,2 22 N 取AB中点F，连接DF，则0 3 1 , 22 F 四边形ABCD为菱形且 60BAD= BAD 为等边三角形 DFAB 又 1 AA 平面ABCD，DF 平面ABCD 1 DFAA DF 平面 11 ABB A，即DF 平面 1 AMA DF 为平面 1 AMA一个法向量，且 3 3 ,0 22 DF = 设平面 1 MAN的法向量(), ,nx y z= ，又 () 1 3, 1,2MA =， 33 ,0 22 MN = 1 320 33 0 22 n MAxyz n MNxy =+= = ，令 3x = ，则1y =， 1z = () 3,1, 1n= 315 cos, 515 DF n DF n DFn = 10 sin, 5 DF n= 二面角 1 A MAN 的正弦值为： 10 5 【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法 向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型. 19【答案】 （1）12870xy=； （2） 4 13 3 . 【分析】 （1）设直线l： 3 y =xm 2 +，() 11 ,A x y，() 22 ,B xy；根据抛物线焦半径公式可得 12 1xx =+；联立直线方程与抛物线方程，利用 韦达定理可构造关于m的方程，解方程求得结果； （2）设直线l： 2 3 xyt=+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用 3APPB= 可得 12 3yy=，结合韦达定理可求得 12 y y；根据弦长公式可求得结果. 【详解】 （1）设直线l方程为： 3 y =xm 2 +，() 11 ,A x y，() 22 ,B xy 由抛物线焦半径公式可知： 12 3 4 2 AFBFxx+=+= 12 5 2 xx+= 联立 2 3 2 3 yxm yx =+ = 得：() 22 9121240xmxm+= 则 () 2 2 12121440mm = 1 2 m 12 12125 92 m xx += =，解得： 7 8 m = 直线l的方程为： 37 28 yx=，即：12870xy= （2）设(),0P t，则可设直线l方程为： 2 3 xyt=+ 联立 2 2 3 3 xyt yx =+ = 得： 2 230yyt= 则 4 120t =+ 1 3 t 12 2yy+= ， 1 2 3y yt= 3APPB= 12 3yy= 2 1y=， 1 3y = 12 3y y= 则 () 2 1212 4134 13 144 12 933 AByyy y=+=+= 【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立， 通过韦达定理构造等量关系. 20 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【分析】 （1）求得导函数后，可判断出导函数在1, 2 上单调递减，根据零点存在定理可判断出 0 0, 2 x ，使得() 0 0gx=，进而 得到导函数在1, 2 上的单调性，从而可证得结论； （2）由（1）的结论可知 0x = 为( )fx在(1,0上的唯一零点；当0, 2 x时， 首先可判断出在 0 0,x上无零点，再利用零点存在定理得到( )fx在 0, 2 x 上的单调性，可知( )0f x ，不存在零点；当 , 2 x 时，利用零点存在定理和( )fx单调性可判断出存在唯一一个零点；当(),x+，可证得( )0f x ；综合上述情况可 证得结论. 【详解】 （1）由题意知：( )fx定义域为：()1, +且( ) 1 cos 1 fxx x = + 令( ) 1 cos 1 g xx x = + ，1, 2 x ( ) () 2 1 sin 1 gxx x = + + ，1, 2 x () 2 1 1x+ 在1, 2 上单调递减， 1 111 , 7 nn aa + = 在1, 2 上单调递减 ( )gx 在1, 2 上单调递减 又( )0sin0 1 10 g = + = ， ()() 22 44 sin10 22 22 g = += + 0 0, 2 x ，使得() 0 0gx= 当() 0 1,xx 时，( )0gx； 0, 2 xx 时，( )0gx 即( )g x() 0 1,x上单调递增；在 0, 2 x 上单调递减 则 0 xx=为( )g x唯一的极大值点 即：( )fx在区间1, 2 上存在唯一的极大值点 0 x. （2）由（1）知：( ) 1 cos 1 fxx x = + ，()1,x + 当(1,0x 时，由（1）可知( )fx在(1,0上单调递增 ( )( )00fxf = ( )fx在( 1,0 上单调递减 又( )00f= 0x = 为( )fx在(1,0上的唯一零点 当0, 2 x 时，( )fx在 0 0,x上单调递增，在 0, 2 x 上单调递减 又( )00 f = () 0 0fx ( )fx 在 0 0,x上单调递增，此时( )( )00f xf=，不存在零点 又 22 cos0 2222 f = + 10, 2 xx ，使得() 1 0fx= ( )fx 在() 01 ,x x上单调递增，在 1, 2 x 上单调递减 又()( ) 0 00f xf=， 2 sinln 1lnln10 2222 e f =+= + ( )0f x 在 0, 2 x 上恒成立，此时不存在零点 当, 2 x 时，sinx单调递减，()ln1x+单调递减 ( )fx 在, 2 上单调递减 又0 2 f ，( )()()sinln1ln10f=+= + 即( )0 2 ff ，又( )fx在, 2 上单调递减 ( )fx在, 2 上存在唯一零点 当(),x+时，sin1,1x ，()()ln1ln1ln1xe+= ()sinln10xx+ 即( )fx在(),+上不存在零点 综上所述：( )fx有且仅有2个零点 【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存 在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可. 21 【答案】 （1）见解析； （2） （i）见解析； （ii） 4 1 257 p =. 【分析】 （1）首先确定X所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列； （2） （i）求解出, ,a b c的取值，可得 () 11 0.40.50.11,2,7 iiii ppppi + =+=，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证； （ii）列出证得的等比数列的通项公 式，采用累加的方式，结合 8 p和 0 p的值可求得 1 p；再次利用累加法可求出 4 p. 【详解】 （1）由题意可知X所有可能的取值为： 1 ，0，1 ()()11P X = = ；()()()011P X=+；()()11P X= 则X的分布列如下： X 1 0 1 P ()1 ()()11+ ()1 （2） 0.5= ，0.8= 0.5 0.80.4a = ， 0.5 0.8 0.5 0.20.5b=+= ， 0.5 0.20.1c = （i）() 11 1,2,7 iiii papbpcpi + =+= 即() 11 0.40.50.11,2,7 iiii ppppi + =+= 整理可得：() 11 541,2,7 iii pppi + =+= ()() 11 41,2,7 iiii ppppi + = 1ii pp + ()0,1,2,7i =是以 10 pp 为首项，4为公比的等比数列 （ii）由（i）知：() 1101 44 ii ii ppppp + = 7 871 4ppp= ， 6 761 4ppp= ， 0 101 4ppp= 作和可得： () 88 017 80111 1 441 4441 1 43 ppppp =+= 1 8 3 41 p= () 44 0123 44011 84 1 441