2011年考研数学微积分基础班8(刘坤林老师).pdf

赛尔教育水木艾迪考试培训网: 第 8 讲 广义积分 阶段综合问题 8.1 广义积分的定义及收敛性 定积分研究的问题: 有界函数在有界区间上的积分. 广义积分研究的问题: 有界函数在无界区间上的积分（第 1 类）.无界函数在有界区间上 的积分（第 2 类） 。 第 8 讲 广义积分 阶段综合问题 8.1 广义积分的定义及收敛性 定积分研究的问题: 有界函数在有界区间上的积分. 广义积分研究的问题: 有界函数在无界区间上的积分（第 1 类）.无界函数在有界区间上 的积分（第 2 类） 。 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 定义 8.1 (第一类广义积分)设函数在定义 8.1 (第一类广义积分)设函数在)(xf),+a内的任意有限区间可积,并且极限 存 在 , 则 称在 内的任意有限区间可积,并且极限 存 在 , 则 称在 + A aA dxxf)(lim), +a)(xf广 义 积 分 收 敛 , 其 广 义 积 分 为 ，若不收敛,则称广义积分发散。 广 义 积 分 收 敛 , 其 广 义 积 分 为 ，若不收敛,则称广义积分发散。 + + = A aAa dxxfdxxf)(lim)( 定义 8.2 (第二类广义积分)设函数在内的任意有限闭子区间可积, 并且极限 存在, 则称在上的广义积分收敛,其广义积分为 定义 8.2 (第二类广义积分)设函数在内的任意有限闭子区间可积, 并且极限 存在, 则称在上的广义积分收敛,其广义积分为 )(xf),ba B a bB dxxf)(lim)(xf),ba = B a bB b a dxxfdxxf)(lim)(。 同样我们可以定义其它广义积分的收敛性: 。 同样我们可以定义其它广义积分的收敛性: = a AA a dxxfdxxf)(lim)(, 。 , 。 + = b A aA b a dxxfdxxf)(lim)( 8.2 收敛性的判断准则 8.2.1 第一类广义积分收敛性的判断准则 8.2 收敛性的判断准则 8.2.1 第一类广义积分收敛性的判断准则 + a dxxf)(准则 8.1 若第一类广义积分收敛,则一定收敛, 此时称 绝对收敛. 准则 8.1 若第一类广义积分收敛,则一定收敛, 此时称 绝对收敛. + a dxxf)( + a dxxf)( 当收敛，而 当收敛，而 + a dxxf)( + a dxxf)(方发散时,称广义积分条件收敛. 准则 8.2 若变限积分单调有界，则 一定收敛。特别，对非 负函数，只要变限积分在 方发散时,称广义积分条件收敛. 准则 8.2 若变限积分单调有界，则 一定收敛。特别，对非 负函数，只要变限积分在 x a dttf)( + a dxxf)(),+a x a dttf)()(xf),+a上有界，则一定收敛。 有界，则一定收敛。 + a dxxf)( 赛尔教育水木艾迪考试培训网: 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 准则 8.3(直接比较法)非负函数准则 8.3(直接比较法)非负函数),),()(0+axxgxf, 若收敛, 一定收敛; 若发散, 一定发散. , 若收敛, 一定收敛; 若发散, 一定发散. + a dxxg)( + a dxxf)( + a dxxf)( + a dxxg)( )(),(xgxf),+a准则 8.4(极限比较法) 设内的任意有限区间可积,非负, 且准则 8.4(极限比较法) 设内的任意有限区间可积,非负, 且)(xg = + )( )( lim xg xf x , 则 (1) 当 , 则 (1) 当0时, 广义积分与有相同的敛散性; 时, 广义积分与有相同的敛散性; + a dxxf)( + a dxxg)( 时, 广义积分时, 广义积分收敛则 收敛; 收敛则 收敛; + a dxxg)( + a dxxf)(0=(2) 当(2) 当 (3) 当(3) 当=时, 广义积分收敛则收敛. 时, 广义积分收敛则收敛. + a dxxf)( + a dxxg)( dx x a p + 1 准则 8.5 （尺度法） 当时收敛;当准则 8.5 （尺度法） 当时收敛;当)0( a1p1p时发散.因此，若 ,且,则 收敛。 时发散.因此，若 ,且,则 收敛。 + a dxxf)(0)(lim= + xfx p x 1p dx x xx + + 15 1 ln 的收敛性. 例 8.1 判断的收敛性. 例 8.1 判断 0 ln lim 3 = + x x x 3 lnxx X0 Xx， ， 1 6 7 , 11 ln 5 3 5 = + p收敛. 【解】 收敛. 【解】 赛尔教育水木艾迪考试培训网: 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 1=p + + = = eB B e xxx dx 1 ln 1 lim ln2 时， 时， xnx p x 21 1 lim + + e x dx +=1= xaaxy a x 补 1. （2007-2-18） （本题满分 11）设是位于曲线D下方、 x轴上方的无界区域。 x（）求区域绕D轴旋转一周所成旋转体的体积； )(aV （）当a为何值时，最小？并求此最小值。 )(aV a ax dxe a a dxxaaV a a x a x ln ln )( 0 ln 0 + = 【解】【解】 （） + + += 0 ln 2 2 0 ln ln lnln x a a de a a e a ax a a x a a x a a x dex a a ln 0 ln + = a a e a a a a x 2 2 0 ln 2 2 lnln 0 = + a a a a 32 ln 2 ln 2 =ea =（）)(aV，令0)(=aV得唯一驻点，在两侧变 号，且为先正后负，所以为最小值。 ea =)(aV 2 )(eeV= 赛尔教育水木艾迪考试培训网: 8.3 阶段复习综合问题 定积分定义在考研中的应用 8.3 阶段复习综合问题 定积分定义在考研中的应用 用于求特定极限用于求特定极限 = + = b a n k dxxfk n ab af n ab )()(lim 1 n 运用定积分求极限常用公式为 。 运用定积分求极限常用公式为 。 )( k fk n ab = k x n ab = 其中 。 ， n n n ! lim n e 1 例 8.11 求极限 。答案：。 （清华大学考研辅导班 2004 强化班例题） 例 8.11 求极限 。答案：。 （清华大学考研辅导班 2004 强化班例题） nk nn n y n k n n lnln 1! lnln 1 = = n n y n n ! =【解】 记，则 ， 或记为 【解】 记，则 ， 或记为 = = n k n k n 1 ln 1 )lnln( 1 ln 1 nnk n y n k n = = )ln(ln 1 1 nk n n k = = ， ， = = n k n n k n 1 ln 1 lim 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 极限 极限 n n ylnlim 等于广义积分的值， 等于广义积分的值， 1 0 ln xdx ), 2, 1(, 1 nk n k n k L= 相应于将区间分割成 相应于将区间分割成 1 , 0的积分和式的极限， 的积分和式的极限， n k f k ln)(=且积分和式中的。 注意到广义积分为第二类广义积分，并且收敛，于是 且积分和式中的。 注意到广义积分为第二类广义积分，并且收敛，于是 1 0 lnxdx n n ylnlim = = n k n n k n 1 ln 1 lim = 1 0 lnxdx 1)ln( 1 0 =xxx， ， = n n n ! lim n e 1 n n y lim所以 。 所以 。 2 sinsin 1 lim 1 0 1 = = xdx n k n n k n 。 类似方法可以计算 。 类似方法可以计算 n k k x kk sinsin, 1 =其中其中。请看 2004 年考题： 请看 2004 年考题： n n n n nn 222 1 2 1 1 1lnlim + + + L（2004-209） 等于 B （2004-209） 等于 B ( ) 2 1 2 .ln xdx ( ) 2 1 .ln2xdx 赛尔教育水木艾迪考试培训网: ( )() + 2 1 .1ln2dxxC ( )() + 2 1 2 .1lndxxD n n n n nn 222 1 2 1 1 1lnlim + + + L + + += n n nnn n 1 2 1 1 1ln 2 limL 【解】【解】 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 = += n k n n k n 1 1ln 1 lim2() += 1 0 1ln2dxx = 2 1 ln2tdt= (B)。 22ln4)ln(2ln2 2 1 2 1 = ttttdt + += )1( 0 1 1 2 3 nn nn n dxxxa= n n nalim B 。 例 8.12 例 8.12 设，则 (A)。 (B)1) 1 1 ( 2/3 + e 1)1 ( 2/3 +e。 1) 1 1 ( 2/3 + e (C) 。 (D)。 1)1 ( 2/3 +e 【解】【解】 积分得 )1 ()1 ( 1 2 3 21 )1/( 0 nn nn n xdx n a+= + 1 0 2/3 )1 ( 1 + + n n n x n 1) 1 (1( 1 2/3 + + n n n n = = 取极限得 1) 1 1 (1) 1 (1 limlim 2/32/3 += + += en n na n n n n 2 )(ln 2 1 x( )xf例 8.13 例 8.13 已知，且 xx xeef =)(0) 1 (=f= , 则 . )(xf【分析分析】 先求出的表达式，再积分即可。 【解解】 令，则，于是有 txln=tex= t t tf ln )(=. ln )( x x xf= ， 即 Cxdx x x xf+= 2 )(ln 2 1ln )( )01 =f积分得 . 利用初始条件, 得 C=0，故所求函数为 = 2 )(ln 2 1 x( )xf. 0， 表示矩形t x t，0 y F(t)的面积. 求 = 0, 0, )( 2 2 xe xe xF x x )( 1 tS (1) S(t) = S 的表达式； )( 1 tS (2) S(t)的最小值. 【分析分析】曲线 y = F(x)关于 y 轴对称，x 轴与曲线 y = F(x)围成一无界区域，所以， 面积 S 可用广义积分表示. ，属于基本题型。 12 0 2 0 2 = + + xx edxeS， 【解解】(I) 矩形t x t，0 y F(t)的面积为， t tetS 2 1 2)( = 因此，t (0 , +). t tetS 2 21)( = 2 1 =t (II) 由于，故 S(t)的唯一驻点为 t ettS 2 )21 (2)( =， 0 4 ) 2 1 (= e S 又， t ettS 2 )1 (8)( = ， e S 1 1) 2 1 (= 所以，为极小值，它也是最小值. 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 例 8.16 例 8.16 设在)(xf)()(, 0)(tftfxf=),(+上连续，且 ， = a a dttftxxF)(|)( （1）证明当时，单调增； )(xF,aax x（2）为何值时取最小值； )(xF （3）当把的最小值记为的函数时，试求 a1)( 2 aaf)(xF)(xf 赛尔教育水木艾迪考试培训网: 【解】【解】 （）， ,aax 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 += a x x a dttfxtdttftxxF)()()()()( )(xF += += x a x a a x x a dttfdttf dttfxxfxxfxxfdttfxxf )()( )()()()()()( , 0)(2)()()(aaxxfxfxfxF=+= 故单调增 )(xF （） += x a x a dttfdttfxF)()()( += x a x a dttfuduf)()()( =+= x x x a x a dttfdttfdttf)()()( 0=x0=x0)(=xF0)0( F因为，0)(xf有唯一解由知是的极小值点 )(xF （），1)()(2)0( 2 0 = aafdtttfF a 1)0(=f。对求导得到一阶线性方程 ， a aafaaf2)()(2= =+= 1)2()( 2 22 a CeCdaaeeaf aa ， 由，得到。 12)( 2 = x exf2, 1)0(=Cf ),( 0 bax 例 8.17例 8.17 设在内有定义，且在)(xf),(ba处可导。数列满足条件：, nn yx 00 limlim,xyxbyxxa n n n nnn =a)(xf,aa+0)0(=f， ， （1）写出的带 Lagrange 余项的一阶麦克劳林公式公式。 （1）写出的带 Lagrange 余项的一阶麦克劳林公式公式。 )(xf （2）证明在上至少存在一点（2）证明在上至少存在一点,aa + ，使得。 ，使得。 = a a dxxffa)(3)( 3 【解】【解】 （1）有 （1）有 ,aax 22 ! 2 )( )0( ! 2 )( )0()0()(x f xfx f xffxf += +=其中其中(变量)在之间。 (变量)在之间。 x, 0 （2）由上式两边取积分得到 （2）由上式两边取积分得到 += a a a a a a dxf x xdxfdxxf)( 2 )0()( 2 = a a dxfx)( 2 1 2 由于在 由于在)(xf )(xf ,aa+,aa+上连续，因此上连续，因此在上存在最大最小值，使 。 在上存在最大最小值，使 。 Mm, Mxfm )( 于是由积分估值定理可得到 于是由积分估值定理可得到 = aa a dxxMdxfx 0 22 )( 2 1 aa a xdxxfdxxm 0 2 )( Mdxxf a m a a )( 3 3 即有 ， 对在上应用连续函数的介值定理，则在 即有 ， 对在上应用连续函数的介值定理，则在)(xf ,aa+,aa+上至少存在一点上至少存在一点，使得 . ，使得 . = a a dxxffa)(3)( 3 注意如下错误做法。由泰勒公式，得注意如下错误做法。由泰勒公式，得 2 0) (“ 2 1 )0( )(xxfxfxf+=a， 其 中, 0 aax。 两 边 从到积 分 ， 得a = a a xfadxxf)(“ 3 1 )( 0 3 。 x错误原因：在之间且与错误原因：在之间且与 0 xx, 0有关。有关。 dx x nxn n + 1 0 1 sin1 lim例 8.21 求极限 . 例 8.21 求极限 . dx x nxn + 1 0 1 sin1 【解】 【解】 + + + = + = 1 0 2 1 0 1 0 )sin1 ( cos sin1sin1x xdxx x x x dx nnn 赛尔教育水木艾迪考试培训网: dx x xx I n n + = 1 0 2 )sin1 ( cos 1 1 0 1 0 + =a)(xf),(+ 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 =+ dttftf )()( 4 1 lim 2 0 B 。 B 。 )0( 2 1 f )2(f(A)。 (B)。 (C)(A)。 (B)。 (C)0(f)(f。 (D)。 (D) 【解】由罗必达法则 【解】由罗必达法则 dttftf + )()( 4 1 lim 2 0 8 )()( lim 0 2 2 0 0 = dxxfdxxf d d )0( 8 )2(2)2(2 lim 0 f ff = = 例 8.23 例 8.23 把时的无穷小量 + 0x dttdttdtt xxx = 0 3 00 2 sin,tan,cos 2 排序，使排在后面的是前一个的高阶无穷 小，则正确的排列次序是 B ,. (B) ,. (A) ,(C) . (D) . 【解解】 首先 0 cos 2tan lim cos tan limlim 2 0 0 2 0 00 2 = = + x xx dtt dtt x x x xx ，可排除(C),(D)选项，另外 xx x x dtt dtt x x x xx tan2 2 1 sin lim tan sin limlim 2 3 0 0 0 3 00 2 = + = + 2 0 lim 4 1 x x x ，可见是比低阶的无 穷小量，故应选(B). 例 8.24例 8.24 设，则 B = 0,1 0,0 0,1 )( x