2019合肥一模数学文科试题含答案.pdf

高三数学试题（文科）第 1 页 / 共 4 页 合肥市 2019 年高三第一次教学质量检测 数学试题（文科） （考试时间：120 分钟 满分 150 分） 注意事项： 1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位. 2.答第卷时，每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号. 3.答第卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上 书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题 可先用铅笔在答题卷 规定的位置绘出， 确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指 定的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效 . 在试题卷 、草稿纸上答题无效 . 第卷（满分 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的. 1. 若集合，则 A. B. C. D. 2. 设 虚数单位，复数为纯虚数，则实数 为 A. B. C. D. 3. 设双曲线的虚轴长为，一条渐近线为 ，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 4. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为 A. B. C. D. 5. 设向量，向量 与向量方向相反，且，则向量 的坐标为 A. B. C. D. 6. 设，则 高三数学试题（文科）第 2 页 / 共 4 页 A. B. C. D. 7. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互 联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是 注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980-1989 年间出生，80 前指 1979 年及以前出生. A. 互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C. 互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D. 互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 8. 已知，则 A. B. C. D. 9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某 三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球表面积为 A. B. C. D. 10. 已知函数，对于实数，是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. 已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，抛物线的准线 与 轴 交于点，于点，则四边形的面积为 A. B. C. D. 12. 若关于 的方程没有实根，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 80前 3% 80后 41% 90后 56% 1.60% 6.50% 9.80% 12.30% 13.20% 17% 39.60% 其他 产品 职能 设计 市场 运营 技术 90后从事互联网行业岗位 高三数学试题（文科）第 3 页 / 共 4 页 第卷（非选择题 共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题， 每个实体考生都必须作答.第 22 题，第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13. 设满足约束条件，则的取值范围为 . 14. 部分与整体以某种相似的方式呈现成为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三遍重点连线，将它分成 4 个小三角形，去掉 中间的哪个小三角形后，对其余 3 个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图. 现在上述图（3）中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为 . 15. 设等差数列满足，则数列的前项和等于 . 16. 设内角的对边成等比数列，延长至，若， 则面积的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分 12 分） 将函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像，设函数. （）求函数的单调递增区间； （）若，求的值. 18. （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥中，为等边三角形， ， . （）若点为的中点，求证：平面； （）求四棱锥的体积. 高三数学试题（文科）第 4 页 / 共 4 页 19. （本小题满分 12 分） 某学校九年级三个班共有学生 140 人.为了了解学生的睡眠情况，现通过分层抽样的方法获得这三个班 部分学生周一至周五睡眠时间的数据（单位：小时） 甲班 30 31 32 32.5 34 35 36 乙班 30 32 33 35.5 37 39 39.5 丙班 30 30 31 33.5 39 40 （）试估算每一个班的学生数； （） 设抽取的这 20 为学生睡眠时间的平均数为.若在丙班抽取的 6 名学生中，再随机选取 3 人作进 一步地调查，求选取的这 3 名学生睡眠时间既有多于、又有少于的概率. 20. （本小题满分 12 分） 设椭圆的左、 右焦点分别为， 过的直线交椭圆于两点.若椭圆 的离心率为，的周长为. （）求椭圆的方程； （）设不经过椭圆的中心而平行于弦的直线交椭圆于点,设弦的中点分别为， 证明：三点共线. 21. （本小题满分 12 分） 已知函数（， 是自然对数的底数）. （）设（其中是的导数） ，求的极小值； （）若对，都有成立，求实数 的取值范围. 请考生在第 22、23 题中任意选择一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个 题目计分.作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数）.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （）求，交点的直角坐标 （）设点的极坐标为，点是曲线上的点，求面积的最大值. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 （）若，求实数 的取值范围 （）设，若的最小值为，求 的值. 高三数学试题（文科）答案 第 1 页（共 4 页） 合肥市2019 年高三第一次教学质量检测 数学试题（文科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共12小题，每小题小题，每小题5分分. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共4小题，每小题小题，每小题5分分. 13.1，6 14. 9 16 15. 41 n n 16. 3 4 三、解答题：三、解答题： 17.(本小题满分本小题满分12分分) (I)由已知可得 sin 2 3 g xx ，则 sin2sin 2sin 2 33 h xxxx . 令222 232 kxkkZ ，解得 5 1212 kxkkZ ，. 函数 h x的单调递增区间为 5 1212 kkkZ ，. 5分 (II)由 1 63 g 得 21 sin 2sin 2 6333 ， 1 sin 2 33 ，即 1 3 h . 12分 18.(本小题满分本小题满分12分分) (I)取CD的中点为M，连结EM，BM. BCD为等边三角形，BMCD. BAD=120, AD = AB , ADB=30 ADCD，/BMAD. 又BM平面PAD，AD 平面PAD， BM平面PAD. E为PC的中点，M为CD中点，EMPD. 又EM平面PAD，PD平面PAD， EM平面PAD. EMBMM，平面BEM平面PAD. 又BE 平面BEM， BE平面PAD. 5分 (II)连结AC交BD于O，连结PO. CBCDABAD，ACBD且 O为BD的中点. 又BAD=120，2 3BD，PBDABD. 1AOPO. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A C D D D C B C A A 高三数学试题（文科）答案 第 2 页（共 4 页） 又2PA， 222 PAPOOA，POOA. 又POBD，PO平面ABD，即四棱锥PABCD的高为=1PO， 四棱锥PABCD的体积 2 1314 3 2 32 3 11 3423 V . 12分 19.(本小题满分本小题满分12分分) (I)甲班： 7 14049 20 (人)，乙班 7 14049 20 (人)，丙班 6 14042 20 (人). 5分 (II)34x . 设事件A “3名学生睡眠时间既有多于x、又有少于x的学生”.丙班睡眠时间少于x的有4人， 设为 1234 AAAA， ， ，多于x的有2 人，设为 12 BB，.从这6 名学生中随机选取3 人的基本事件共有 20 种，而不满足条件的基本事件(3 人睡眠时间都低于x)有 432431421321 ,AAAAAAAAAAAA共4 种情况，所以满足条件的基本事件数为16 种， 5 4 20 16 )(AP，即在丙班被抽取的6 名学生中， 再随机地选取3人作进一步地调查， 选取的3人睡眠时间既有多于x、 又有少于x学生的概率为 5 4 . 12分 20.(本小题满分本小题满分12分分) (I)由题意知，44 66aa，. 又 2 2 e ，3c ，3b ， 椭圆E的方程为 22 1 63 xy . 5分 (II)易知，当直线ABCD、的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点MN，在x轴上， OMN，三点共线； 当直线ABCD，的斜率存在时，设其斜率为k，且设 112200 A xyB xyM xy，. 联立方程得 22 11 22 22 1 63 1 63 xy xy 相减得 2222 1122 0 6363 xyxy ， 2222 12121212 1212 6363 xxxxyyyyxxyy ， ， 1212 1212 3 6 yyyy xxxx ， 012 120 3 6 yyy xxx ，即 1 2 OM k k ， 1 2 OM k k . 同理可得 1 2 ON k k ， OMON kk，OMN，三点共线. 12分 高三数学试题（文科）答案 第 3 页（共 4 页） max 23S 23 12 21.(本小题满分本小题满分12分分) (I) 1 1 0 x g xfxea x x ， 1 2 1 x gxe x . 令 11 23 12 00 xx xgxexxe xx ， gx在0 ，上为增函数， 10g. 当0 1x，时， 0gx；当1x，时， 0gx， g x的单调递增区间为1 ，单调递减区间为(0，1) , ( )= (1)2g xga 极小 . 5分 (II)由(I)知， fx在1 ，上单调递增，在(0，1)上单调递减， 12fxfa. 当2a时， 0fx， f x在1 ，上单调递增， 11f xf，满足条件； 当2a时， 120fa. 又 ln 11 ln10 ln1ln1 a faea aa ， 0 1 ln1xa，使得 0 0fx， 此时， 0 1xx， 0fx； 0 ln1xxa， 0fx f x在 0 1x，上单调递减， 0 1xx，都有 11f xf，不符合题意. 综上所述，实数a的取值范围为2，. 12分 22.(本小题满分本小题满分10分分) (I) 22 1: 1Cxy， 2: =2cosC，则 2=2 cos ， 22 2xyx. 联立方程组得 22 22 1 2 xy xyx ，解得 1 1 1 2 3 2 x y ， 2 2 1 2 3 2 x y ， 所求交点的坐标为 13 22 ， ， 13 22 ， . 5分 (II)设B，则=2cos, AOB的面积 11 sin4 sin4cossin 2233 SOAOBAOB 2cos 23 6 ， 当 时， 10分 23.(本小题满分本小题满分10分分