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文档简介
课时跟踪检测 (四十)空间点、线、面之间的位置关系一抓基础,多练小题做到眼疾手快1“点P在直线m上,m在平面内”可表示为()APm,mBPm,mCPm,m DPm,m解析:选B点在直线上用“”,直线在平面上用“”,故选B2(2015广东高考)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是()Al与l1,l2都不相交Bl与l1,l2都相交Cl至多与l1,l2中的一条相交Dl至少与l1,l2中的一条相交解析:选D由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交3空间四边形两对角线的长分别为6和8,所成的角为45,连接各边中点所得四边形的面积是()A6 B12C12 D24解析:选A如图,已知空间四边形ABCD,设对角线AC6,BD8,易证四边形EFGH为平行四边形,EFG或FGH为AC与BD所成的45角,故S四边形EFGH34sin 456,故选A4若平面,相交,在,内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定_个平面解析:如果这四点在同一平面内,那么确定一个平面;如果这四点不共面,则任意三点可确定一个平面,所以可确定四个答案:1或45如图,平行六面体ABCD A1B1C1D1中,既与AB共面又与CC1共面的棱有_条解析:依题意,与AB和CC1都相交的棱有BC;与AB相交且与CC1平行有棱AA1,BB1;与AB平行且与CC1相交的棱有CD,C1D1故符合条件的有5条答案:5二保高考,全练题型做到高考达标1已知A,B,C,D是空间四点,命题甲:A,B,C,D四点不共面,命题乙:直线AC和BD不相交,则甲是乙成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析:选A若A,B,C,D四点不共面,则直线AC和BD不共面,所以AC和BD不相交;若直线AC和BD不相交,若直线AC和BD平行时,A,B,C,D四点共面,所以甲是乙成立的充分不必要条件2在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是()A相交 B异面C平行 D垂直解析:选A由BC綊AD,AD綊A1D1知,BC綊A1D1,从而四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1BCD1,又EF平面A1BCD1,EFD1CF,则A1B与EF相交3下列命题中,真命题的个数为()如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点,那么这两个平面重合;两条直线可以确定一个平面;空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内;若M,M,l,则MlA1 B2C3 D4解析:选B根据公理2,可判断是真命题;两条异面直线不能确定一个平面,故是假命题;在空间,相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角),故是假命题;根据平面的性质可知是真命题综上,真命题的个数为24如图,ABCD A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()AA,M,O三点共线 BA,M,O,A1不共面CA,M,C,O不共面 DB,B1,O,M共面解析:选A连接A1C1,AC,则A1C1AC,所以A1,C1,C,A四点共面,所以A1C平面ACC1A1,因为MA1C,所以M平面ACC1A1,又M平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线5已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点,则异面直线AE和CF所成的角的余弦值为()A BC D解析:选C如图,设正方体的棱长为a,取线段AB的中点M,连接CM,MF,EF则MF綊AE,所以CFM即为所求角或所求角的补角在CFM中,MFCMa,CFa,根据余弦定理可得cosCFM,所以可得异面直线AE与CF所成的角的余弦值为故选C6如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的对数为_对解析:平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则AB,CD,EF和GH在原正方体中,显然AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行故互为异面的直线有且只有3对答案:37(2017福建六校联考)设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:若ab,bc,则ac;若ab,bc,则ac;若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;若a平面,b平面,则a,b一定是异面直线上述命题中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)解析:由公理4知正确;当ab,bc时,a与c可以相交、平行或异面,故错;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故错;a,b,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故错答案:8如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_解析:取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,因为C是圆柱下底面弧AB的中点,所以ADBC,所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,所以C1D圆柱下底面,所以C1DAD,因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,所以C1DAD,所以直线AC1与AD所成角的正切值为,所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为答案:9如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点问:(1)AM与CN是否是异面直线?说明理由;(2)D1B与CC1是否是异面直线?说明理由解:(1)AM与CN不是异面直线理由如下:如图,连接MN,A1C1,AC因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MNA1C1又因为A1A綊C1C,所以四边形A1ACC1为平行四边形,所以A1C1AC,所以MNAC,所以A,M,N,C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线(2)D1B与CC1是异面直线理由如下:因为ABCDA1B1C1D1是正方体,所以B,C,C1,D1不共面假设D1B与CC1不是异面直线,则存在平面,使D1B平面,CC1平面,所以D1,B,C,C1,这与B,C,C1,D1不共面矛盾所以假设不成立,即D1B与CC1是异面直线10如图所示,在三棱锥P ABC中,PA底面ABC,D是PC的中点已知BAC90,AB2,AC2,PA2求:(1)三棱锥P ABC的体积;(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值解:(1)SABC222,故三棱锥P ABC的体积为VSABCPA22(2)如图所示,取PB的中点E,连接DE,AE,则DEBC,所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中,DE2,AE,AD2,则cosADE即异面直线BC与AD所成角的余弦值为三上台阶,自主选做志在冲刺名校1如图是三棱锥DABC的三视图,点O在三个视图中都是所在边的中点,则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于()A BC D解析:选A由三视图及题意得如图所示的直观图,从A出发的三条线段AB,AC,AD两两垂直且ABAC2,AD1,O是BC中点,取AC中点E,连接DE,DO,OE,则OE1,又可知AE1,由于OEAB,故DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角在直角三角形DAE中,DE,由于O是中点,在直角三角形ABC中可以求得AO,在直角三角形DAO中可以求得DO在三角形DOE中,由余弦定理得cosDOE,故所求余弦值为2如图所示,三棱柱ABC A1B1C1,底面是边长为2的正三角形,侧棱A1A底面ABC,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC2FB2(1)当点M在何位置时,BM平面AEF?(2)若BM平面AEF,判断BM与EF的位置关系,说明理由;并求BM与EF所成的角的余弦值解:(1)法一:如图所示,取AE的中点O,连接OF,过点O作OMAC于点M因为侧棱A1A底面ABC,所以侧面A1ACC1底面ABC又因为EC2FB2,所以OMFBEC且OMECFB,所以四边形OMBF为矩形,BMOF因为OF平面AEF,BM平面AEF,故BM平面AEF,此时点M为AC的中点法二:如图所示,取EC的中点P,AC的中点Q,连接PQ,PB,BQ因为EC2FB2,所以PE綊BF,所以PQAE,P
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