若干数学观点中的数学文化.ppt

1,第四章 若干数学观点中的数学文化 第一节 “对称”的观点,2,一、我们身边的对称 人体 雪花 鼠标,3,数学公式中的对称,海伦公式 其中 正弦定理 对称多项式,4,对称 照镜子 夫妻 比赛循环赛 足球 非对称 照哈哈镜 父子 比赛淘汰制 非对称战争,其它的一些例子,5,阿拉伯建筑物的外墙,美国哈佛大学曾发表一份研究报告称，伊斯兰世界对数学有过重要贡献。研究人员认为，中世纪伊斯兰世界的外墙砖设计图案说明它们的设计者掌握了西方世界500年后才掌握的数学概念。,6,文学中的对仗,上联对下联： 明月 清泉 自然景物 明-清（形容词）； 月-泉 （名词）,明月松间照,清泉石上流,7,碳 富勒烯,8,作为多面体的足球,亚正多面体中的一种 足球多面体，它的侧面由正五边形和正六边形组成。,9,碳富勒烯介绍： 碳富勒烯，即笼状的碳原子团簇，是一类新的有机化学物种。由于它具有特殊的分子构型以及量子尺寸效应，因而表现出了异常高的化学活性、催化活性，以及奇特的导电性，在化工、光电材料等领域具有广阔的应用前景。,10,1985，一位来自英国的天文学家克鲁托（H. W. Kroto），和两位美国物理学家斯莫利（R. E. Smalley），柯尔（R. F. Curl）走进美国赖斯大学化学实验室，希望能探讨宇宙中长链碳分子的形成和光谱。在他们短短几个星期的合作过程中意外地发现（9月4日）：在强烈的激光脉冲辐照下产生的碳团簇中，C60具有超常的稳定性。他们并不知道化学的理论游戏C60，所以这样的实验结果让他们一筹莫展。后来受著名建筑学家B富勒最牢固的薄壳拱形结构的启发，他们最终才为其设想了一种与上述理论结果不谋而合的球形结构，并将C60命名为富勒烯。当他们满怀喜悦向数学家们请教时，得到的回答却是“孩子们，你们所发现的，就是一个足球啊！”。一经别人点破，他们也诧异地发现他们所醉心的最完美、最对称的分子结构竟然是一个简单得让人哭笑不得的常识。一个现代足球正是由20块白色的六边形球皮和12块黑色的五边形球皮缝成的。在足球上你恰好可以数出60个顶点。他们的努力是制造了一个全碳分子的、世界上最小的、最精致的“足球”！由此，这三位科学家因其天才式的开创性工作共享了1996年度诺贝尔化学奖。,富勒烯的发现,11,克鲁托 (H. W. Kroto, 1939-),1996年诺贝尔化学奖得主,斯莫利 ( R. E. Smalley,1943-2005),12,柯尔（Robert F. Curl Jr.） 的自传 我1933年8月23日出生在美国德州的Alice. 我的父亲是一个卫理公会的牧师, 母亲是家庭主妇. 我有一个姐姐, 她叫玛丽. 在过去, 卫理公会的牧师游动频繁, 因此我的孩提时代的大部分时间在德州南部的一个又一个的小镇中度过: Alice, Brady, San Antonio, Kingsville, Del Rio, Brownsville, McAllen, Austin, 然后又回到San Antonio. 在此期间教会管理层渐渐认识到我父亲具有组织群众活动及解决冲突方面的管理才能. 所以从我九岁起我父亲就不再当教会牧师, 而成了一名地区教会活动的主管. 这就将我解脱了, 使我有时间担当“儿童传道士” 并成为人们关注的中心,1996年诺贝尔化学奖得主,13,Richard Buckminster Fuller (1895-1983),建筑学家 富勒,富勒(R. B. Fuller)，美国建筑学家。1967 年蒙特利尔世界博览会的美国馆由他设计。富勒的结构设计思想被称之为综合主义。综合主义是表示将结构单位组合起来，以承受更大的结构力量；结构单位组合后承受的力量比结构单位分立所能承受的力量大。这原理被富勒用于建筑设计，蒙特利尔世界博览会的美国馆即是这一综合主义的代表作品。,14,那么，什么是“对称”的共性？ 什么是“对称”的本质？ 如何用数学语言描述“对称”？ “对称即群”,15,二、平面图形的对称,问：正三角形与正方形谁“更”对称一些？,16,1. 在运动中看 “对称”,可以把“平面图形的对称” 轴对称、 n次中心对称、平移对称中用到的 运动分为三类： 反射 旋转 平移,17,2 从不变性看“对称” 这些运动都是变换；这些变换共同的特点 是，都保持平面上任意两点间的距离不变。所 以，把反射、旋转、平移，以及它们的 相继实施，统称为 “保距变换”。 （有意 避开“滑动反射”，含于“相继实施”中）,18,变中有不变 注意，在上述“保距变换”的定义下,“不动”也是一种“保距变换”,它可以看成旋转0o的“保距变换”,也可以看成平移 a=0 的“保距变换”.这样，任何平面图形都会在某种“保距变换”下不变,因为它至少在“不动”下不变.如果一种平面图形（例如一般三角形）只在“不动”这种“保距变换”下才不变,那么我们就认为该平面图形的对称性最差,或者干脆说它“不 对称”.,19,由这一观点自然的延伸,就可以想到描述平 面图形对称性强弱的一种量化的方法.这就是把 所有使某平面图形 K 不变的“保距变换”放在一起, 构成一个集合,记为S(K) 并称其为K的对称集.,20,3. 抽象观点与具体例子的对照,21,正三角形与正方形谁更对称一些？,答：正方形比正三角形更对称一些。,22,4. 小结 从 “对称”的现象，到发现 “变中有不变” 的本质，再提出“保距变换”；把保持图形K不变的“保距变换”放到一起，构成一个集合，称之为“K 的对称集”，用它来描述K的对称性；最后，我们把其中元素的个数，作为衡量平面图形的对称性强弱的一个量化指标。然后，再对照例子，验证我们的理论。 “从实践中来，又到实践中去” 反观前面关于“对称”的例子。,23,我们身边的对称 人体 雪花 鼠标,24,数学公式中的对称,海伦公式 其中 正弦定理 对称多项式,25,对称 照镜子 夫妻 比赛循环赛 足球 非对称 照哈哈镜 父子 比赛淘汰制 非对称战争,其它的一些例子,26,文学中的对仗,上联对下联： 明月 清泉 自然景物 明-清（形容词）； 月-泉 （名词）,明月松间照,清泉石上流,27,作为多面体的足球,亚正多面体中的一种 足球多面体，它的侧面由正五边形和正六边形组成。,28, 思 ：请你用运动的观点，“变中有不变”的语言，叙述氯化钠和金刚石分子结构的对称性。,29,三、子集的对称,把讨论 “平面图形的对称” 中形成的数学思想提炼出来，用“子集的对称” 的语言来统一地描述任一客观事物的 “对称”。,30,任一客观事物都可以看作某一个集合M的子集,M,N,31,1. 集合上的可逆变换 设M是一个集合，则M到自身的一个映射 称为“M上的一个变换”；M到自身的一个可逆 映射称为“M上的一个可逆变换”。,32,2.子集的对称,M,N,考虑M上的有特点的可逆变换,33,变中有不变，“变”,是指集合M上有特点的一些可逆变换,每个可逆变换 都“改变”了集合M中的元素和子集.这里的“不变”,是指对于M的一个具体的子集N,有些 在整体上保持N不变,即 称这样的 为“N的对称变换”.把所有这样的“对称变换”放到一起,构成一个集合,记为 称为“N的对称集”，用来描述N的对称性。,与 对照，基本精神是一致的。,34,3. 小结 这里用大量篇幅，从特殊到一般，把“对称”的本质抽象出来，定义了数学意义上的对称；又从一般到特殊，用抽象观点来返观客观实际中“对称”的例子，看到抽象观点与感性认识是吻合的。所以说，抽象来源于直观，高于直观，而且能反映直观，指导直观，并通过直观来检验。这是一种数学方式的理性思维。这一点在哲学上的叙述为：理论来源于实践，高于实践，而且能反映实践，指导实践，并通过实践来检验。,35,四、对称变换群,上面把“对称”这一概念，用集合及 变换的语言严格叙述出来了，并由 此给出了“子集N的对称变换”和“子 集N的对称集 ”的概念，并用它们来描 述N的对称性。,36,子集 的对称集 ，不是一个普 通的集合，而是一个具有代数结构的集合。它 的结构表现在： 中有运算，即 S(N) 中任意两个 元素的相继作用，记为 ；运算还有规律， 这些规律如下：,37,S(N)中任意两个元素 , 相继作用的结果仍保持N整体不变，故 仍在S(N)中,称之为S(N)中的运算满足封闭律(一般说“运算”,就 隐含封闭,为强调,单列一条)；,S(N)中任意三个元素 ， ， 的运算， 是先做 的运算还是先做 的运算，效果是一样的，即（ ） = ( ), 称之为S(N)中的运算满足结合律；,38,S(N)中总有一个特殊的元素即恒等变换，它如同数的乘法中的1，与任何元素作运算都保持该 元素不变，称之为S(N)中的运算满足幺元律；,对S(N)中任一元素 ，S(N)中一定有一个元素 ，使 与 相继作用的效果，恰相当于中的恒等变换，即不动， 称为 的逆元，这称为 S(N)中的运算满足逆元律。,N的对称集S(N) 叫作“N的对称变换群”。“对称即群”,39,五、群的定义,定义 设G是一个带有运算“ ”的非空集合，且其中的运算满足以下四个条件，则称G； 是一个群,结合律 有,封闭律 有,幺元律 存在 使 ， 有 ，称 为幺元；,逆元律 ，存在 ，使 称b为a的逆元。,群G； 也简记为G,40,与 “N的对称变换群”S(N) 相对照,41,举 例,42,应 用,在晶体分类上的应用 (230种) 用变换群下不变量的观点统一地考察几何学 在讨论“5次方程根式解”问题上的应用