全等三角形辅助线分类.ppt

A,B,D,E,F,M,N,专题讲解,三角形辅助线的方法,连线法,第一关,如图,AB=AD,BC=DC,求证:B=D.,连接AC,构造全等三角形,连线 构造全等,连线 构造全等,如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的长.,连接BD,构造全等三角形,A,C,B,D,O,第二关,中线倍增法,如何利用三角形的中线来构造全等三角形？,可以利用倍长中线法，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。,如图，若AD为ABC的中线，,必有结论：,A,B,C,D,E,1,2,延长AD到E，使DE=AD，连结BE（也可连结CE）。,ABDECD，,1=E，,B=2，,EC=AB，CEAB。,已知，如图AD是ABC的中线，,延长AD到点E，使DE=AD， 连结CE.,思考：若AB=3,AC=5 求AD的取值范围？,倍长中线,第三关,利用角平分线截长补短,可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。,如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？,问题：,如图，在ABC中，AD平分BAC。,方法一：,A,B,C,D,E,必有结论：,在AB上截取AE=AC，连结DE。,ADEADC。,ED=CD，,3,*,2,1,AED=C，,ADE=ADC。,方法二：,A,B,C,D,F,延长AC到F，使AF=AB，连结DF。,必有结论：,ABDAFD。,BD=FD，,如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？,问题：,3,*,2,1,如图，在ABC中，AD平分BAC。,可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。,B=F，,ADB=ADF。,如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？,问题：,A,B,C,D,M,N,方法三：,作DMAB于M，DNAC于N。,必有结论：,AMDAND。,DM=DN，,3,*,2,1,如图，在ABC中，AD平分BAC。,可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。,AM=AN，,ADM=AND。,（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN）,练习1,如图，已知ABC中，AD是BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：C=2B,A,B,C,D,E,1,2,2,1,证明:,在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。, AD是BAC的角平分线（已知） 1=2（角平分线定义） 在AED和ACD中 AE=AC（已知） 1=2（已证） AD=AD（公共边） AEDACD（S.A.S）,3,B=4（等边对等角）,4,*, C3（全等三角形的对应角相等),又 AB=AC+CD=AE+EB（已知） EB=DC=ED（等量代换）, 3= B+4= 2B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和） C=2B（等量代换）,ED=CD（全等三角形的对应边相等）,.角平分线上点向两边作垂线段,典例2:如图,ABC中, C =90o,AC=BC, AD平分BAC,求证:AB=AC+DC.,A,C,D,过点D作DEAB,构造了: 全等的直角三角形且距离相等,B,E,思考: 若AB=15cm,则BED的周长是多少?,.角平分线上点向两边作垂线段,典例3:如图,梯形中, A= D =90o, BE、CE均是角平分线, 求证:BC=AB+CD.,A,C,D,过点E作EFBC,构造了: 全等的直角三角形且距离相等,B,F,思考: 你从本题中还能得到哪些结论?,E,证明：,例1,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180,D,A,B,C,E,在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。, BD是ABC的角平分线（已知） 1=2（角平分线定义） 在ABD和EBD中 AB=EB（已知） 1=2（已证） BD=BD（公共边） ABDEBD（S.A.S）,1,2,4,3, 3+ 4180 （平角定义）， A3（已证） A+ C180 （等量代换）,3,2,1,*, A3（全等三角形的对应角相等）, AD=CD（已知），AD=DE（已证） DE=DC（等量代换）,4=C（等边对等角）,AD=DE（全等三角形的对应边相等）,证明:,例1,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180,D,A,B,C,F,延长BA到F，使BF=BC，连结DF。, BD是ABC的角平分线（已知） 1=2（角平分线定义） 在BFD和BCD中 BF=BC（已知） 1=2（已证） BD=BD（公共边） BFDBCD（S.A.S）,1,2,4,3, FC（已证）4=C（等量代换）,3,2,1,*, FC（全等三角形的对应角相等）, AD=CD（已知），DF=DC（已证） DF=AD（等量代换）,4=F（等边对等角）, 3+ 4180 （平角定义） A+ C180 （等量代换）,DF=DC（全等三角形的对应边相等）,证明:,例1,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180,D,A,B,C,M,作DMBC于M，DNBA交BA的延长线于N。, BD是ABC的角平分线（已知） 1=2（角平分线定义） DNBA，DMBC（已知） N=DMB=90（垂直的定义） 在NBD和MBD中 N=DMB （已证） 1=2（已证） BD=BD（公共边） NBDMBD（A.A.S）,1,2, 4=C（全等三角形的对应角相等）,N,4,3,3,2,1,*, ND=MD（全等三角形的对应边相等）, DNBA，DMBC（已知） NAD和MCD是Rt 在RtNAD和RtMCD中 ND=MD （已证） AD=CD（已知）RtNADRtMCD（H.L）, 3+ 4180（平角定义）， A3（已证） A+ C180（等量代换）,如图所示，已知ADBC，1=2， 3=4，直线DC经过点E交AD于点D， 交BC于点C。求证：AD+BC=AB,E,F,在AB上取点F使得AF=AD,连接EF,截长补短,第四关,周长问题转化,1.如图,ABC中,C=90o,AC=BC,AD平分ACB, DEAB.若AB=6cm,则DBE的周长是多少?,.“周长问题”的转化 借助“角平分线性质”,B,A,C,D,E,BE+BD+DE,BE+BD+CD,BE+BC,BE+AC,BE+AE,AB,2.如图,ABC中, D在AB的垂直平分线上, E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求ADE的周长.,.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”,B,A,C,D,E,AD+AE+DE,BD+CE+DE,BC,5.如图, AB