方程的根与函数的零点.ppt

花拉子米(约780约850) 给出了一次方程和二次方 程的一般解法。,阿贝尔(18021829) 证明了五次以上一般 方程没有求根公式。,方程解法史话,秦九韶（公元12021261），系统地总结和发展了高次方程数值解法，提出了“正负开方术”，此法可以求出任意次代数方程的正根,问题探究,方程 3x+3=0的根与函数y=3x+3的图象有什么关系？,-1,1,2,-2,问题探究,我们如何对方程f(x)=0的根与函数y=f(x)的图象的关系作进一步阐述？,问题探究,方程 的根 和 函数的零点,我们知道，令一个一元二次函数y=ax2+bx+c（a0）的函数值y0，则得到一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）。,思考,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？,思考讨论,以a0为例,结论：一元二次方程的实数根就是 相应二次函数图象与x轴交点的横坐标,归纳：,x1=-1，x2=3,x1=x2=1,无实数根,两个交点 (-1,0)，(3,0),一个交点 (1,0),没有交点,判别式, 0,= 0, 0,方程ax2 +bx+c=0 (a0)的根,两个不相等的 实数根x1 、x2,有两个相等的 实数根x1 = x2,没有实数根,x1,x2,x1,(x1,0)，(x2,0),(x1,0),问题:其他函数与方程之间也有同样结论吗？请举例!,函数零点的定义：,对于函数y=f(x) 我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（zero point)。,注意：,零点指的是一个实数。,互动交流,2、区别：,1、联系：,数值上相等：求函数零点就是求方程的根. 存在性相同：函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点,零点对于函数而言，根对于方程而言 数目不一定相等,问题4:函数的零点与方程的根有什么联系和区别？,要解方程2-x=x，即2-x-x=0，只要求函数f(x)=2-x-x的零点!,数 学 建 构,方程f (x)=0 有实数根,函数y=f (x) 有零点,函数y=f (x)的图 象与x轴有交点,辨析练习：判断下列说法的正误： 1.函数y=x+1有零点x=-1； 2.函数y=x2-2x-3的零点是(-1,0),(3,0) ； 3.函数y=x2-2x-3的零点是-1和3； 4函数 没有零点.,0,=0,判别式 = b24ac,方程ax2 +bx+c=0 (a0)的根,函数y= ax2 +bx +c(a0)的图象,函数的零点个数,0,两个,没有实根,没有,两个不相等 的实数根x1 、x2,有两个相等的 实数根x1 = x2,一个,探究,以a0为例,3、零点的求法,图像法,代数法,例1 求函数f（x）=lg(x-1)的零点,求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点,学以致用,甲原来在河的北岸,现在在河的南岸,能断定甲过河了吗?过了几趟?,乙原来在河的北岸现在还在河的北岸,乙有没有过河?过了几趟?,问 题,甲,甲,观察与探究,甲,观察函数的图象并填空: 在区间(a,b)上f(a)f(b)_0(“”或“”) 在区间(a,b)上_(有/无)零点； 在区间(b,c)上f(b)f(c) _ 0(“”或“”) 在区间(b,c)上_(有/无)零点； 在区间(c,d)上f(c)f(d) _ 0(“”或”) 在区间(c,d)上_(有/无)零点；,有,有,有,零点存在性的探究：,问题5:在怎样的条件下，函数yf(x)在区间a,b上存在零点？,观察下面函数图象思考:,虽然函数f(x) 满足了f(-1)f(1)0,但它在区间(-1,1)上却没有零点,为什么?,观察与探究,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。,函数零点存在性定理：,c,c,例2 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例 （1）已知函数y=f (x)在区间a,b上连续，且f (a) f(b) 0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点. （ ） （3）已知函数y=f (x)在区间a,b上连续，且在区间(a,b)内存在零点，则有 f (a) f(b) 0 （ ） （4）已知函数y=f (x)在区间a,b 满足f (a) f(b) 0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点. （ ）,画图象举反例：,函数零点存在定理的三个注意点： 1 函数是连续的。 2 定理不可逆。 3 至少存在一个零点，不排除更多。,例3. 求证:函数f(x)= x3+x2+1在区间(-2，-1)上存在零点.,证明:,因为 f(-2)=(-2)3+(-2)2+1=-30,f(-1)=(-1)3+(-1)2+1=10,且函数f(x)的图象在区间-2,-1上是不间断的,所以函数f(x)在区间(-2,-1)上存在零点,小结论,思考：能否确定函数yf(x)在区间(-2，-1)内存在几个零点？,f(-2) f(-1)0,函数y=f(x)在区间a,b上图像连续且是单调函数且f(a)f(b)0,问该函数在区间（a，b）内有几个零点？,尝试画出满足条件的图形进行观察,研讨新知,只有一个,解法1：利用计算机作出函数的图像，然后判断与X轴交点的个数,例4 求函数f(x)=lnx+2x 6的零点的个数，并确定零点所在的区间n，n+1(nZ),零点存在性定理的应用：,由表可知f(2)0，从而f(2)f(3)0， 又f(x)在区间2,3上连续 函数f(x)在区间(2,3)内有零点,由于函数f(x)在定义域(0,+)内是增函数，所以它仅有一个零点,用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表：,例4 求函数f(x)=lnx+2x 6的零点的个数，并确定零点所在的区间n，n+1(nZ),解法2,零点存在性定理的应用：,问题6:如何说明零点的唯一性？,-4,-1.3,1.1,3.4,5.6,7.8,10.0,12.1,14.2,f(x)=lnx+2x 6,解法3：,y=2x +6,y= lnx,例4 求函数f(x)=lnx+2x 6的零点的个数，并确定零点所在的区间n，n+1(nZ),零点存在性定理的应用：,数形结合,lnx+2x6=0的根,lnx=-2x+6的根,可看成y=lnx与y=-2x+6图像交点的横坐标,学以致用, f(1)f(2)0 又f(x)在区间1,2上连续,函数f(x)在区间(1,2)内有零点,方法一：, f(1)0,f(2)0,函数f(x)仅有一个零点,函数f(x)在定义域(-,+)内是增函数,方法二：,学以致用,归纳整理，整体认识,本节课你收获了什么？,一个关系：函数零点与方程根的关系:,两种思想：函数方程思想；数形结合思想,三种题型：求函数零点、确定零点个数、 求零点所在区间,归纳整理，整体认识,布置作业：,1利用函数图象判断下列方程有几个根： （1）2x(x2)3；（2）ex144x 2写出并证明