概率论与数理统计5.1切比雪夫不等式和大数定律.ppt

1,第五章、大数定律和中心极限定理,5.1切比雪夫不等式和大数定律,5.2中心极限定理,2,5.1切比雪夫不等式和大数定律,1、切比雪夫不等式,2、大数定律,3,定理5.1 设随机变量 X 具有数学期望 E(X) 和方差,D(X) , 则对于任意正数 , 不等式,一 、切比雪夫(Chebyshev)不等式 :,(2) 可用切比雪夫不等式近似求某一事件的概率 .,4,证明：仅就X为连续型随机变量的情况进行讨论。,设X的密度为f(x)，X的期望为E(X)=,5,例1、 已知正常男性成人血液中, 单位白细胞数,(单位:个/mL)平均是7300, 均方差是700 .,利用切比雪夫不等式估计单位白细胞数在,52009400之间的概率 .,解 设 X 表示成年男性血液中单位白细胞数, 由,题意知 E(X)= 7300, D(X)= 700 2 , 由切比雪夫,不等式得,6,注 切比雪夫不等式虽然不能准确地求出某事件,的概率, 只是给出一个估计值, 但这在实际,问题的处理中仍然十分有用 .,7,二、大数定律,一、基本概念:,a 是一个常数 , 若对于任意正数 , 有,设 Y1 ,Y2 , , Yn , 是一个随机变量序列,1、定义5.1:,则称序列 Y1 ,Y2 , , Yn , 依概率收敛于 a ,8,2、依概率收敛的性质:,函数 g( x , y ) 在点 ( a , b ) 连续 , 则,9,二、常见的三个大数定理:,1.定理1（伯努利大数定理）设 为n重伯努利实验,中事件A发生的次数，p为每次发生的概率，则,对任意的0，有,10,伯努利大数定律是将概率的统计定义用数学式,先给定的精度 的可能性愈来愈小, 小到可以,表示出来, 它表明随着 n 的增大, 事件 A发生,忽略不计, 这就是说频率是依概率收敛到该事,件发生的概率 .,11,伯努利大数定律提供了用频率确定概率的理论,率难求 , 可以通过这个定律用事件的频率代替,依据. 在处理实际问题的时候, 如果事件的概,概率 . 例如, 估计某产品的不合格率 p , 可从,该种产品中随机抽取 n 件 , 当 n 很大时, 这 n,件产品的不合格品的比例可作为不合格品率 p,的估计值 .,12,具有相同的数学期望和方差:,2、定理5.2(切比雪夫定理的特殊情况):,设随机变量 X1 ,X2 , , Xn , 相互独立 , 且,作前n个随机变量的算术平均,则对于任意正数 , 有,13,证 由于,由切比雪夫不等式, 得,由概率性质知,14,15,定理5.2表明, 当 n 很大时, 随机变量 X1 ,X2 , , Xn,当然这种接近是在概率意义下的接近 . 有定理5.2,作保证, 当变量数学期望未知的时候, 可以选择一,些与该变量独立且有相同数学期望的随机变量, 用,它们的算术平均数作为数学期望的估计值, 选取的,随机变量个数越多, 估计程度就越好, 这在实际问,题的处理中是十分有用的 .,16,同一分布, 具有数学期望,3、定理5.3(辛钦定理):,设随机变量 X1 ,X2 , , Xn , 相互独立 , 服从,则对于任意正数 , 有,17,X1 ,X2 , , Xn 相互独立, 服从同一分布且具有数,伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况 . 在实际,问题的处理中辛钦定