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13.4课题学习,最短路径问题,复习回顾,如图,从A点到B点有三条线路,哪条最短?,依据:两点之间,线段最短。,复习回顾,如图,点A是直线 l 外一点,点A到直线的所有线路中,最短的是?,依据:垂线段最短。,复习回顾,如图,点A,点B是直线l两侧的点,请在直线l上找一点C,使AC+BC最短。,新知探究,问题1 相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者,名叫海伦有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题: 从图中的A 地出发,到一条笔直的河边l 饮马,然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?,新知探究,精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马”。你能将这个问题抽象为数学问题吗?,新知探究,追问1 这是一个实际问题,你打算首先做什么?,将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直 线,新知探究,追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?,如图,在直线l上找一点C,使AC+BC最短。,新知探究,问题转化 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?,新知探究,作法: (1)作点B 关于直线l 的对称 点B; (2)连接AB,与直线l 相交 于点C 则点C 即为所求,问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?,新知探究,追问3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?,新知探究,若直线l 上任意一点(与点 C 不重合)与A,B 两点的距离 和都大于AC +BC,就说明AC + BC 最小,追问4 证明AC +BC 最短时,为什么要在直线l 上 任取一点C(与点C 不重合),证明AC +BC AC +BC?这里的“C”的作用是什么?,运用新知,练习 如图,一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,再返 回P 处,请画出旅游船的最短路径,新课推进,问题2 如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直),新课推进,追问1 如图假定任选位置造桥,连接和,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?,追问2 利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢?如何解决?,新课推进,A1,M,N,解:如图,平移A到A1,使A1等于河宽,连接A1交河岸于作桥,此时路径最短.,理由;另任作桥,连接,.,由平移性质可知,.,AM+MN+BN转化为,而 转化为.,在中,由线段公理知A1N1+BN1A1B,因此 AM+MN+BN
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